Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
§3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương

§3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương

Tải bản đầy đủ - 0trang





a < 0

f có một cực tiểu và hai cực đại ⇔ 

.

b > 0



B. Một số ví dụ

4

2

2

Ví dụ 1. [ĐHB02] Tìm m để hàm số y = mx + ( m − 9 ) x + 10 có 3 điểm cực trị.



Giải. Để hàm số có ba điểm cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm bậc 4 , tức là m ≠ 0 .

Ta có

2

y ' = 4mx 3 + 2 ( m 2 − 9 ) x = 4mx x 2 + m2 m−9

1 4 2 43 .



(



)



t( x)



Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

y ' có 3 nghiệm phân biệt ⇔ t ( x ) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔



m2 − 9

<0

2m



0 < m < 3

⇔ m ( m2 − 9 ) < 0 ⇔ 

.

 m < −3

3

4

2

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y = ( m + 1) x − mx + chỉ có cực tiểu mà khơng có cực đại.

2

Giải. Ta xét hai trường hợp sau đây:









3

⇒ hàm số chỉ có cực tiểu ( x = 0 )

2

mà khơng có cực đại ⇒ m = −1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

m + 1 = 0 ⇔ m = −1 . Khi đó y = x 2 +



m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 . Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc 4 có





m 

y ' = 4 ( m + 1) x 3 − 2mx = 4 ( m + 1) x  x 2 −

.

2 ( m + 1) 



Hàm số chỉ có cực tiểu mà khơng có cực đại ⇔ y ' có đúng một nghiệm và đổi dấu từ

 4 ( m + 1) > 0



⇔ −1 < m < 0 .

âm sang dương khi x đi qua nghiệm này ⇔  m

 2 ( m + 1) ≤ 0



m

Kết hợp những giá trị

tìm được, ta có −1 ≤ m < 0 .

4

2

Ví dụ 3. [ĐHB11] Cho hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + m . Tìm m để đồ thị hàm số có ba

điểm cực trị A , B , C sao cho OA = BC ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị

thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.

Giải. Ta có



y ' = 4 x 3 − 4 ( m + 1) x = 4 x  x 2 − ( m + 1) 

1 44 2 4 43 .

t( x)



Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

y ' có 3 nghiệm phân biệt ⇔ t ( x ) có 2 nghiệm phân biệt khác 0



⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1 .

( *)

Khi đó, ta có

 A 0; m

)

x = 0

 (





y ' = 0 ⇔  x = − m + 1 ⇒  B − m + 1; − m 2 − m − 1 ,





x = m +1

C m + 1; −m 2 − m − 1



(vai trò của B , C trong bài tốn là như nhau nên cung có thể giả

sử

B m + 1; −m 2 − m − 1 , C − m + 1; −m 2 − m − 1 ).



(

(



(



Ta có



)



) (



)



)



uuur

uuu

r

OA ( 0; m ) ⇒ OA = m ; BC 2 m + 1;0 ⇒ BC = 2 m + 1 .



(



)



Do đó

OA = BC ⇔ m = 2 m + 1 ⇔ m 2 − 4m − 4 = 0 ( ∆ ' = 8 ) ⇔



m = 2 ± 8 (thỏa mãn



( *) ).

Vậy m = 2 ± 8 .



4

2

2

Ví dụ 4. [ĐHA12] Tìm m để đồ thị hàm số y = x − 2 ( m + 1) x + m có ba điểm cực trị



tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

Giải. Ta có



y ' = 4 x 3 − 4 ( m + 1) x = 4 x  x 2 − ( m + 1) 

1 44 2 4 43 .

t( x)



Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

y ' có 3 nghiệm phân biệt

⇔ t ( x ) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > −1 .

( *)

Khi đó, ta có

x = 0



y ' = 0 ⇔ x = − m +1 .



x = m +1

Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A ( 0; m 2 ) , B − m + 1; −2m − 1 , C m + 1; −2m − 1 .



(



) (



)



Ta thấy A ∈ Oy , B và C đối xứng nhau qua Oy nên tam giác ABC cân tại A . Do đó

tam giác chỉ có thể vng tại A .

Ta có

uuur

uuur

uuur uuur

2

2

4

AB − m + 1; − ( m + 1) , AC m + 1; − ( m + 1) ⇒ AB. AC = ( m + 1) − ( m + 1) .



(



)



(



Tam giác ABC vuông khi và chỉ khi

uuuruuur

4

AB AC = 0 ⇔ ( m + 1) − ( m + 1) = 0 ⇔



)



( m + 1) ( m + 1)



3



− 1 = 0





m + 1 = 0

 m = −1

⇔ 

⇔ 

, kết hợp với điều kiện ( *) ta có m = 0 .

m + 1 = 1

m = 0



C. Bài tập

4

2

Bài 1. Tìm m để hàm số y = x − ( m − 1) x + 1 − 2m chỉ có đúng một cực trị.



Bài 2. Cho hàm số y = x 4 – 2mx 2 + 2m + m 4 ( m là tham số). Tìm m để

1) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác vuông.

2) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều.

3) Đồ thị hàm số có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác có diện tích bằng 2012

đơn vị diện tích.

Bài 3. [DHA04] Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 . Tìm m để hàm số có cực đại và cực

tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của ( C ) lập thành một tam giác vuông cân.

4

2

Bài 4. Cho hàm số y = x − ( 3m − 1) x + 2m + 1 . Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm



cực đại, cực tiểu A , B , C sao cho ba điểm này cùng với D ( 7;3) cùng thuộc một đường

tròn.



D. Đáp số

Bài 1. m ≤ 1 . Bài 2. 1 m =



2



3



4

2 3 18

;2 m=

;3

4

3



5



 503  . Bài 3. m = ±1 . Bài 4. m = 3 .



÷

 4 



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×