Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn khi nửa nhóm có nhị phân mũ

2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn khi nửa nhóm có nhị phân mũ

Tải bản đầy đủ - 0trang

22



2.2



Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn khi nửa nhóm

có nhị phân mũ



Trong phần này, chúng tơi xét các phương trình (2.3) trong trường hợp nửa nhóm

(eAt )t≥0 có nhị phân mũ. Ở đây, sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình (2.3)

(tức là, nghiệm đủ tốt bị chặn của phương trình (2.1)) được suy ra từ Định lý 2.1.1

bằng cách chọn điều kiện ban đầu thích hợp.

Trước tiên, chúng tôi đưa ra công thức biểu diễn nghiệm bị chặn của phương

trình (2.3).

Bổ đề 2.2.1. Cho nửa nhóm (eAt )t≥0 có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân

tương ứng P và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử f ∈ Cb (R+ , X). Khi đó, nếu

u ∈ Cb (R+ , X) là nghiệm của phương trình (2.3) thì u có thể biểu diễn dưới dạng





G (t, τ) f (τ)dτ với ζ0 ∈ X0 := P(0)X,



At



u(t) = e ζ0 +



(2.17)



0



ở đó G (t, τ) là hàm Green được xác định trong (1.10).





Chứng minh. Đặt y(t) := G (t, τ) f (τ)dτ với t ≥ 0. Từ f ∈ Cb (R+ , X), sử dụng

0



ước lượng (1.11) ta có





y(t) ≤ (1 + H)N f



e−ν|t−τ| dτ



Cb (R+ ,X)

0







2(1 + H)N f

ν



Cb (R+ ,X)



với mọi t ≥ 0.



Chúng ta chứng minh y(t) với t ≥ 0 có biểu diễn như sau

t

At



eA(t−τ) f (τ)dτ với t ≥ 0.



y(t) = e y(0) +

0



(2.18)



23

Thật vậy, với t ≥ 0 ta có

t







eAt e−Aτ (I − P(τ)) f (τ)dτ −



eAt y(0) = −



t





0

t



eA(t−τ) (I − P(τ)) f (τ)dτ −



=−



eAt e−Aτ (I − P(τ)) f (τ)dτ



eA(t−τ) (I − P(τ)) f (τ)dτ.

t



0

t



t



eA(t−τ) f (τ)dτ +



=−

0





eA(t−τ) P(τ) f (τ)dτ

0



eA(t−τ) (I − P(τ)) f (τ)dτ.





t



Do đó,

t



eA(t−τ) f (τ)dτ với t ≥ 0.



At



y(t) = e y(0) +

0



Vì u(t) là một nghiệm của phương trình (2.3) nên ta có

u(t) − y(t) = eAt (u(0) − y(0)) với t ≥ 0.

Đặt ζ0 = u(0) − y(0). Từ tính bị chặn của u(·) và y(·) trên [0, ∞) suy ra ζ0 ∈ X0 .

Cuối cùng, từ u(t) = eAt ζ0 + y(t) với t ≥ 0, ta có đẳng thức (2.17).

Nhận xét 2.2.2. Phương trình (2.17) được gọi là phương trình Lyapunov-Perron.

Chúng ta sẽ đi chứng minh khẳng định ngược lại của Bổ đề 2.2.1 cũng đúng. Tức

là, nghiệm của phương trình (2.17) thỏa mãn phương trình (2.3) với t ≥ 0.

Thật vậy, từ phương trình (2.3) ta có



t



e



A(t−s)



eA(t−τ) f (t)dτ



u(s) +

s















t



G (s, τ) f (t)dτ  +



= eA(t−s) eAs ν1 +



s



0

s



eA(s−τ) P(τ) f (t)dτ



= eAt ν1 + eA(t−s)

0



eA(t−τ) f (t)dτ



24

t





A(s−τ)







e

s



s



s



= eAt ν1 +



eA(t−τ) f (t)dτ



(I − P(τ)) f (t)dτ +



eA(t−τ) P(τ) f (t)dτ

0



t







eA(t−τ) (I − P(τ)) f (t)dτ −





s



t



+



eA(t−τ) (I − P(τ)) f (t)dτ

t



eA(t−τ) f (t)dτ



s



t



At





A(s−τ)



= e ν1 +



e



eA(s−τ) (I − P(τ)) f (t)dτ



P(τ) f (t)dτ −

t



0





G (t, τ) f (t)dτ = u(t).



= eAt ν1 +

0



Do đó, u(t) là nghiệm của phương trình (2.17) với mọi t ≥ s ≥ 0.

Tiếp theo, chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình

(2.3) (tức là nghiệm bị chặn của (2.1)) từ đó ta chỉ ra phương trình (2.3) có nghiệm

tuần hồn thơng qua định lý sau.

Định lý 2.2.3. Cho Y là không gian Banach khả ly với X = Y , xét phương trình

(2.3). Giả sử Giả thiết 1 thỏa mãn; nửa nhóm (eAt )t≥0 có nhị phân mũ với phép

chiếu nhị phân P và N, ν là các hằng số nhị phân; f ∈ Cb (R+ , X) là tuần hồn với

chu kì T . Khi đó, phương trình (2.3) có duy nhất một nghiệm tuần hồn chu kì T .

Chứng minh. Với mỗi f ∈ Cb (R+ , X) và chọn giá trị ban đầu ζ0 = 0 ∈ X0 :=

P(0)X, từ phương trình (2.17) ta có





G (t, τ) f (τ)dτ.



u(t) =

0



Áp dụng bất đẳng thức (1.11) ta có đánh giá

u



Cb (R+ ,X)



2N(H + 1)

f

ν



Cb (R+ ,X) .



Do đó, phương trình (2.3) có nghiệm bị chặn, áp dụng Định lý 2.1.1 với mỗi hàm

f ∈ Cb (R+ , X) tuần hồn chu kì T tồn tại nghiệm uˆ tuần hồn chu kì T của phương



25

trình (2.3) (tức là nghiệm đủ tốt tuần hồn chu kì T của phương trình (2.1)) thỏa

mãn





Cb (R+ ,X)



2N(H + 1)

+ T KeαT f

ν



Cb (R+ ,X) .



(2.19)



Tính duy nhất của nghiệm tuần hồn với chu kì T của phương trình (2.3) được

chứng minh như sau. Giả sử uˆ và vˆ là hai nghiệm tuần hồn với chu kì T (bị chặn

trên R+ ), khi đó, từ (2.17) chúng ta có

u(t)

ˆ − v(t)

ˆ

= eAt (u0 − v0 ) ≤ Ne−νt u0 − v0 → 0

khi t → ∞ với u0 , v0 ∈ X0 kết hợp với tính tuần hồn suy ra u(t)

ˆ = v(t)

ˆ với mọi

t ≥ 0.



Kết luận Chương 2

Trong chương này, chúng tơi đã trình bày trường hợp riêng của bài báo [8] đăng

trên tạp chí JMAA theo cách hiểu của chúng tôi và sử dụng phương pháp tôpô

*-yếu và Định lý Banach-Alaoglu, nguyên lý điểm bất động để chứng minh sự tồn

tại nghiệm tuần hoàn của phương trình tiến hóa tuyến tính khơng thuần nhất thơng

qua sự tồn tại của nghiệm bị chặn trên nửa trục thời gian và tồn tại nghiệm bị chặn

trong trường hợp nửa nhóm có nhị phân mũ.



26



Chương 3

SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT VÀ ỔN ĐỊNH CĨ ĐIỀU KIỆN

CỦA NGHIỆM TUẦN HỒN ĐỐI VỚI

PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HĨA NỬA TUYẾN TÍNH



Trong chương này, chúng tôi áp dụng các kết quả của Chương 2 để chứng minh

sự tồn tại duy nhất và ổn định có điều kiện của nghiệm tuần hồn đối với phương

trình tiến hóa nửa tuyến tính.



3.1



Nghiệm tuần hồn của phương trình tiến hóa nửa tuyến

tính



Cho Y là khơng gian Banach khả ly với X = Y , xét phương trình tiến hóa nửa

tuyến tính





 du = Au(t) + g(t, u) với t > 0,

dt



u(0) = u0 ∈ X,



(3.1)



trong đó tốn tử A thỏa mãn giả thiết của Định lý 2.1.1, và toán tử g : R+ ×

Cb (R+ , X) → Cb (R+ , X) thỏa mãn

(1) g(t, 0)



Cb (R+ ,X)



≤ γ, γ là hằng số không âm và với mọi t ∈ R+ ;



(2) g là ánh xạ biến hàm tuần hồn với chu kì T thành một hàm

tuần hồn với chu kì T ;



(3.2)



(3) tồn tại các hằng số dương ρ và L sao cho

g(t, v1 ) − g(t, v2 )



Cb (R+ ,X)



≤ L v1 − v2



Cb (R+ ,X)



với mọi v1 , v2 ∈ Cb (R+ , X),t ∈ R+ và v1



Cb (R+ ,X) ,



v2



Cb (R+ ,X)



≤ ρ.



27

Hơn nữa, nghiệm đủ tốt của phương trình (3.1) là hàm u liên tục thỏa mãn phương

trình tích phân sau

t

At



eA(t−τ) g(τ, u)dτ



u(t) = e u0 +



với mọi t ≥ 0.



(3.3)



0



Tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày kết quả cho sự tồn tại và duy nhất của nghiệm đủ

tốt tuần hồn cho phương trình (3.1)

Định lý 3.1.1. Với giả thiết của Định lý 2.1.1, và g thỏa mãn điều kiện (3.2). Khi

đó, nếu L và γ là đủ nhỏ thì phương trình (3.1) có một và chỉ một nghiệm đủ tốt uˆ

tuần hoàn với chu kì T trong hình cầu nhỏ thuộc Cb (R+ , X).

Chứng minh. Xét tập đóng BρT ⊂ Cb (R+ , X) xác định như sau

BρT := {v ∈ Cb (R+ , X) : v là tuần hoàn với chu kì T và v



Cb (R+ ,X)



ρ}.



Xét phương trình

t



eA(t−τ) g(τ, v)d



At



u(t) = e u(0) +



τ với t ≥ 0.



(3.4)



0



Với mỗi v ∈ BρT cố định, chúng ta xác định phép biển đổi Φ được cho bởi công

thức Φ(v) := u, trong đó u ∈ Cb (R+ , X) là nghiệm đủ tốt duy nhất tuần hồn với

chu kì T của phương trình (3.4) (sự tồn tại duy nhất của u được suy ra từ Định lý

2.1.1 với g(v) thay bởi f ).

Chúng ta sẽ chứng minh nếu L và γ đủ nhỏ thì phép biến đổi Φ tác động từ BρT

vào BρT và là một ánh xạ co. Để làm được điều này, lấy v ∈ BρT bất kì, từ tính chất

(1) và (3) của hàm g trong (3.2) ta có

g(t, v)



Cb (R+ ,X)



≤ g(t, v) − g(t, 0)

≤L v



Cb (R+ ,X) +



g(t, 0)



Cb (R+ ,X)



Cb (R+ ,X) + γ



≤ Lρ + γ với mọi t ≥ 0.

Áp dụng Định lý 2.1.1 với vế phải g(t, v) được thay bằng f ta có, với v ∈ BρT tồn

tại duy nhất nghiệm đủ tốt u tuần hồn chu kì T của phương trình (3.4) thỏa mãn

u



Cb (R+ ,X)



≤(M + T )KeαT g(t, v)



Cb (R+ ,X)



≤(M + T )KeαT (Lρ + γ).



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

2 Sự tồn tại duy nhất nghiệm tuần hoàn khi nửa nhóm có nhị phân mũ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×