Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI HÀM P(s)/Q(s)

5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI HÀM P(s)/Q(s)

Tải bản đầy đủ - 0trang

_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 15





i(t)= 3e-2t-2e-t



Ò Trường hợp 2

Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r

P(s)

P(s)

K

K2

Kr

=

= 1 +

+ . .... +

r

2

Q(s) (s - si ) s - si (s - si )

(s - si ) r

Để xác định K1, K2, . . . Kr, ta xét thí dụ sau:



(10.21)



Thí dụ 10.15



P(s)

s+ 2

=

Q(s) (s + 1)2

P(s) K 1

K2

=

+

(1)

Q(s) s + 1 (s + 1)2

Nhân 2 vế phương trình (1) với (s+1)2

s+2=(s+1)K1+K2

(2)

Cho s=-1, ta được K2=1

Nếu ta cũng làm như vậy để xác định K1 thì sẽ xuất hiện các lượng vô định

Để xác định K1, lấy đạo hàm theo s phương trình (2)

1+0=K1+0 ⇒ K1=1

Tóm lại

P(s)

1

1

=

+

Q(s) s + 1 (s + 1)2

Và i(t) = e-t + te-t

Với Q(s)=0 có nghiệm kép, một hằng số được xác định nhờ đạo hàm bậc 1.

Suy rộng ra, nếu Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r, ta cần các đạo hàm từ bậc 1 đến

bậc r-1.



Triển khai



Ị Trường hợp 3

Q(s)=0 có nghiệm phức liên hợp s=α ± jω



P(s)

P(s)

=

Q(s) (s - α - jω)(s - α + jω)

P(s)

K

K*

=

+

Q(s) (s - α - jω) (s - α + jω)

Các hằng số K xác định bởi

P(s)

K = (s − α + jω)

= Ae − jθ ,

Q(s) s=α− jω





K* = (s − α − jω)



P(s)

= Ae + jθ

Q(s) s=α+ jω



(10.22)



(10.23)



(10.24)



Thí dụ 10.16



P(s)

1

= 2

Q(s) s + 4s + 5

Q(s)=0 có 2 nghiệm -2 ± j



Triển khai



I(s)=



___________________________________________________________________________

Nguyễn Trung Lập

MẠCH



LÝ THUYẾT



_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 16

I(s)=



P(s)

K

K*

=

+

Q(s) (s + 2 + j) (s - 2 - j)



K = (s + 2 + j)



1 1

P(s)

= j = ej90°

2 2

Q(s) s= −2− j



K* = (s + 2 − j)

I(s)=



P(s)

1 1

= − j = e− j90°

Q(s) s= −2+ j

2 2



j1/2

j1/2



s+ 2 + j s+ 2 - j







ejt − e− jt

1

i(t)= j [e ( −2− j )t − e( −2+ j )t ] = e− 2t [

]

2

2j



Hay



i(t)=e-2tsint A



10.5.2 Cơng thức Heaviside

Tổng qt hóa các bài tốn triển khai hàm I(s)=P(s)/Q(s), Heaviside đưa ra cơng thức

cho ta xác định ngay hàm i(t), biến đổi ngươc của I(s)



10.5.2.1 Q(s)=0 có n nghiệm phân biệt



L



i(t)=



-1



[I(s)] =



L



-1



[



n

P(s)

P(s)e st

] = ∑ (s − s j )

Q(s)

Q(s) s =s

j =1

j



(10.25)



Hoặc



P(sj ) sj t

e

j = 1 Q' (sj )

n



i(t) = ∑



(10.26)



Trong đó sj là nghiệm thứ j của Q(s)=0

Thí dụ 10.17

Giải lại thí dụ 10.14 bằng cơng thức Heaviside

s− 1

I(s)= 2

, xác định i(t)= -1[I(s)]

s + 3s + 2

Phương trình s2+3s+2=0 có 2 nghiệm s1=-2 và s2=-1

Q(s)= s2+3s+2 ⇒ Q’(s) = 2s+3

Ap dụng công thức (10.26)

n P(s )

P(−2) − 2t P(−1) − t

st

j

+

e

e

ej =

i(t) = ∑

Q' (−1)

Q' (−2)

j = 1 Q' (sj )



L







i(t)= 3e-2t-2e-t A



10.5.2.2 Q(s)=0 có nghiệm đa trùng bậc r



L



i(t)=



-1



[I(s)] =



L



-1



r -n

r

P(s)

1

t n − 1 d R(sj )

s jt

[

]=e ∑

Q(s)

dsr - n s = sj

n = 1 (r - n)! (n − 1)!



(10.27)



___________________________________________________________________________

Nguyễn Trung Lập

MẠCH



LÝ THUYẾT



_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 17

sj là nghiệm đa trùng bậc r

P(s)

R(sj ) =

(s − sj ) r

Q(s)



(10.28)



Thí dụ 10.18

Giải lại thí dụ 10.15 bằng cơng thức Heaviside

P(s)

s+ 2

=

I(s)=

Q(s) (s + 1)2

Q(s)=0 có nghiệm kép, r=2, sj=-1

Ap dụng công thức (10.27)

s+ 2

Với

R(sj ) =

(s + 1)2 = s + 2

2

(s + 1)

1 t 0 d(s + 2) 1 t 1

i (t) = e [

+

(s + 2)]

1! 0! ds

0! 1!

i(t) = e-t + te-t A

−t







; s = −1



Thí dụ 10.19

Cho mạch điện (H 10.11), tụ C tích điện đến V0=1V và khóa K đóng ở t=0. Xác định

dòng i(t)

t

di

Ri + L + ∫ i dt = 0

−∞

dt

Lấy biến đổi Laplace

1

L[sI(s)-i(0+)]+RI(s)+

[I(s)+q(0+)]=0

Cs

Dòng điện qua cuộn dây liên tục nên

i(0+)= i(0-)=0

q(0+): điện tích ban đầu của tụ:

q(0+ ) Vo

1

=

=−

Cs

s

s

(Để ý dấu của điện tích đầu trên tụ ngược chiều

điện tích nạp bởi dòng i(t) khi chạy qua mạch)

Thay giá trị đầu vào, sắp xếp lại

1

1

I(s) = 2

=

s + 2s + 2 (s + 1)2 + 1





L



i(t)=



-1



[I(s)]=e-tsint.u(t)



Thí dụ 10.20

Cho mạch (H 10.12), khóa K đóng ở t=0 và mạch khơng tích trữ năng lượng ban đầu.

Xác định i2(t)

Viết pt vòng cho mạch

di 1

+ 20i 1 − 10i 2 = 100u(t) (1)

dt

di 2

+ 20i 2 − 10i 1 = 0

(2)

dt

___________________________________________________________________________

Nguyễn Trung Lập

MẠCH



LÝ THUYẾT



_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 18

Lấy biến đổi Laplace, để ý mạch khơng tích trử năng lượng ban đầu:



(s+20)I1(s)-10I2(s)=



100

s



(3)



-10 I1(s)+ (s+20)I2(s)=0



(4)



Giải hệ (3) và (4)



100

s

− 10

0

1000

I2(s)=

=

2

s + 20 − 10

s(s + 40s+ 300)

− 10 s + 20

Triển khai I2(s)

3,33

5

1,67

I 2 (s) =

+

+

s

s + 10 s + 30

s + 20



⇒ i2(t)= 3,33-5e-10t+1,67e-30t



10.6 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ ĐẦU VÀ GIÁ TRỊ CUỐI

10.6.1 Định lý giá trị đầu

Từ phép biến đổi của đạo hàm:



= sF(s)-f(0+)

L df(t)

dt



Lấy giới hạn khi s→ ∞



lim



] = lim

L df(t)

dt



s→∞



s→∞







lim

s→∞



Vậy



lim



[sF(s)-f(0+)]



[



]= lim

L df(t)

dt



[



s→∞









0



df(t) −st

e dt =0

dt



[sF(s)-f(0+)]=0



s→∞



f(0+) là hằng số nên

f(0+)= lim



sF(s)



(10.29)



s→∞



(10.29) chính là nội dung của định lý giá trị đầu

Lấy trường hợp thí dụ 10.10, ta có:

V − q 0 /C

1

I(s)=

R

s + 1/RC

V − q 0 /C

i(0+)= lim sI(s)=

R

s→∞



10.6.2 Định lý giá trị cuối



___________________________________________________________________________

Nguyễn Trung Lập

MẠCH



LÝ THUYẾT



_________________________________________Chương 10 Phép biến đổi

Laplace - 19

= sF(s)-f(0+)

L df(t)

dt



Từ phép biến đổi đạo hàm:



Lấy giới hạn khi s→ 0



lim

s→0





Vậy



] = lim

L df(t)

dt



[



s→0









0



df(t) −st

e dt = lim [sF(s)-f(0+)]

dt

s→0





df(t) −st

e

dt

lim

=

=

∫0 dt

∫ 0 df(t) = f(∞) - f(0+)

s→0

s→0

f(∞)-f(0+)= lim [sF(s)-f(0+)]







lim



s→0



Hay



f(∞)= lim



sF(s)



(10.30)



s→0



(10.30) chính là nội dung của định lý giá trị cuối, cho phép xác định giá trị hàm f(t) ở

trạng thái thường trực.

Tuy nhiên, (10.30) chỉ xác định được khi nghiệm của mẫu số của sF(s) có phần thực

âm, nếu khơng f(∞)= lim f(t) khơng hiện hữu.

t →∞



Thí dụ, với f(t)=sint thì sin∞ khơng có giá trị xác định (tương tự cho e∞ ). Vì vậy (10.30)

khơng áp dụng được cho trường hợp kích kích là hàm sin.

Lấy lại thí dụ 10.13, xác định dòng điện trong mạch ở trạng thái thường trực

V 1

1

I(s)= ( −

)

R s s + R/L

V

s

V

i(∞)= lim sI(s)= (1 −

)=

R

s + R/L

R

s→0

V

i(∞)=

R



BÀI TẬP

ỊỊ Ị



10.1 Mạch (H P10.1). Khóa K đóng ở t=0 và mạch khơng tích trữ năng lượng ban đầu. Xác

định i(t) khi t> 0

10.2 Mạch (H P10.2). Xác định v(t) khi t> 0. Cho v(0)=10V



(H P10.1)



(H P10.2)



10.3 Mạch (H P10.3). Xác định vo(t)

___________________________________________________________________________

Nguyễn Trung Lập

MẠCH



LÝ THUYẾT



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRIỂN KHAI HÀM P(s)/Q(s)

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×