Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Các tính chất của FOURIER

Các tính chất của FOURIER

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có





� �

Y (e j )  FT �

Ai .xi ( n) � ��Ai .xi ( n).e  j n  �Ai �xi (n ).e  j n



i

n �

�i

� n � i









�x (n).e



n �



 j n



i



 FT [ xi (n)]  X i (e j )



, nên nhận được [24].



3.2 Tính chất trễ

Khi dịch trễ dãy x(n) đi k mẫu thì hàm biên độ tần sốX(ej) khơng thay đổi, chỉ

có hàm pha tần số () bị dịch đi lượng k.

Nếu :

Thì :



FT [ x(n)]  X (e j )  X(e j ) .e j ( )



FT  x (n  k )  e  jk X(e j )  X(e j ) .e j[ ( )  k ]



[25]



Nếu k > 0 là x(n) bị giữ trễ k mẫu, nếu k < 0 là x(n) được đẩy sớm k mẫu.



Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :



FT  x(n  k ) 







�x(n  k ).e



e



n �



Ví dụ 5 : Hãy tìm :

Giải:



 j n







 j k







�x(n  k ).e



 j ( n  k )



 e  jk X(e j )



n �



X(e j )  FT [2 n rect (n)]

N



2 n rect (n)  2 n u (n)  2 n u ( n  N )

N



Nên :



X (e j )  FT [2 n u ( n)]  FT [2  N.2  ( n  N ) u ( n  N )]



16 | P a g e



Theo biểu thức [6] và tính chất dịch của biến đổi Fourier nhận được :



X(e j ) 



1

1

 N  j N



.2

e

 j

 j

1  0,5e

1  0,5e



1  (0,5.e  j ) N

X(e )  FT [2 rect (n)] 

1  0,5e  j

j



n



N



Vậy :



[26]



3.3 Tính chất trễ của hàm tần số

Khi nhân dãy x(n) với , trong đó 0 là hằng số, thì hàm tần số X(ej) không bị biến

dạng mà chỉ tịnh tiến trên trục tần số một khoảng bằng 0 , theo chiều ngược với dấu

của 0.

Nếu :



FT [ x (n)]  X (e j )



Thì :



j0 n

j ( 0 )



FT �

e

x

(

n

)



X

(e

)







[27]



Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :

j0 n



FT �

e





x (n) �

�







�x(n).e



n �



j0 n



.e



 j n











�x(n).e



 j ( 0 ) n



 X(e j ( 0 ) )



n �



3.4 Tính chất đối xứng

Biến đổi Fourier của các dãy thực có biến đảo x(n) và x(-n) là hai hàm liên hợp

phức.

Nếu :

Thì :



FT [ x (n)]  X (e j )  X(e j ) .e j ( )



FT  x ( n)   X (e  j )  X * (e j )  X(e j ) .e  j ( )



Chứng minh: Theo biểu thức biến đổi Fourier thuận [2] có :



17 | P a g e



[29]



FT  x(n)  







�x(n).e



 j n



n �











�x(n).e



 j (   ).(  n )



 X (e  j )



n �



 j

*

j

X(

e

)



X

(

e

) , do đó nhận được [29].

Vì x(-n) là dãy thực nên



Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có hàm biên độ tần

số giống nhau, còn hàm pha tần số ngược dấu.

Ví dụ 7 : Hãy tìm

Giải:



X (e j )  FT[ 2nu (n)]



Theo biểu thức [6] và tính chất biến đảo có :



FT [ 2n u ( n)] 



1

1  0,5.e j



4. FOURIER 2 Chiều

Ta sẽ xét sự biến đổi giá trị điểm ảnh theo 2 chiều tọa độ Ox và Oy, tương ứng có 2

chiều trong miền tần số, đặt là u và v.



Hình trên minh họa biến đổi DFT 2 chiều. Ảnh gốc chỉ có sự biến đổi giá trị theo

chiều Ox nên tương ứng trong miền tần số chỉ có sự thay đổi giá trị theo u.

Biến đổi DFT cho ảnh kích thước N × N tính theo cơng thức sau:



18 | P a g e



Một đặc tính quan trọng của biến đổi DFT là tính lặp lại, hay chu kỳ. Ta sẽ chứng minh DFT

2 chiều có đặc tính này. Với biến đổi DFT của ảnh kích thước N × N , với m và n là các số

nguyên, ta tính:



Do m, n nguyên nên nguyên. Áp dụng



Kết quả cho thấy



được:



tuần hoàn với chu kỳ N, với N × N là kích thước của ảnh đầu vào.



Như vậy, mặc dù các biến u và v không bị chặn (từ -∞ đến ∞ ), nhưng do tính chất tuần hồn

nên kết quả của biến đổi DFT 2 chiều của ảnh N × N chỉ cần biểu diễn dưới dạng ma trận N

× N.

Giá trị



còn gọi là hệ số DC (Direct Current). Thay u = v = 0 vào phương trình



ta được:



Hay



là tổng giá trị tất cả các điểm ảnh chia cho .



Hình dưới bên trái biểu diễn kết quả biến đổi DFT dưới dạng ma trận. Ta sử dụng phép dịch

để được kết quả như hình bên phải, điểm tần số 0 (hệ số DC) nằm ở giữa ma trận, các điểm

biểu diễn tần số tăng dần theo chiều tiến ra biên.

19 | P a g e



Dịch hệ số DC vào giữa ma trận kết quả



Phương trình trên cho thấy khi nhân mỗi điểm ảnh với



, điểm biểu diễn DFT bị dịch



đi một đoạn

theo cả 2 trục. Tức là điểm tần số 0 sẽ nằm chính giữa ma trận kết quả biểu

diễn miền tần số.



III.



Trích rút đặc trưng của ảnh từ miền tần số

Nhóm em sử dung các đặc trưng để trích đo sự tương đồng tìm ảnh như sau:

1. Năng lượng của ảnh



20 | P a g e



2. Tần suất xuất hiện các giá trị của điểm ảnh (tong từ 0 đến giá trị max)

3. Entropy của ảnh (năng lượng: ảnh mang thông tin)

4. Giá trị trung bình của biên độ ảnh trong miền tần số

CODE

1. Các cấu trúc sử dụng :



 Freq: chứa giá trị x và tần suất xuất hiện fre của x.





Destance: chứa tên ảnh x và khoảng cách L1-norm của ảnh mới và x.



 Pix: chứa các giá trị màu của điểm ảnh.



21 | P a g e



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Các tính chất của FOURIER

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×