Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Biến đổi FOURIER thuận

Biến đổi FOURIER thuận

Tải bản đầy đủ - 0trang

1.2 Sự tồn tại của biến đổi FOURIER

Theo định nghĩa, biến đổi Fourier thuận [2] chỉ tồn tại nếu dãy x(n) thoả mãn

điều kiện khả tổng tuyệt đối [1]. Điều đó có nghĩa là, nếu dãy x(n) thoả mãn điều kiện

[1] thì chuỗi [2] sẽ hội tụ về hàm X(ej), nên x(n) tồn tại biến đổi Fourier. Ngược lại,

nếu dãy x(n) khơng thoả mãn điều kiện [1] thì chuỗi [2] sẽ phân kỳ, vì thế hàm X(ej)

khơng tồn tại và x(n) khơng có biến đổi Fourier.

Các tín hiệu số x(n) có năng lượng hữu hạn :

Ex 







� x ( n)



2



�



[5]



n �



ln thỏa mãn điều kiện [1] , do đó ln tồn tại biến đổi Fourier.

Ví dụ 1 : Hãy xét sự tồn tại và tìm biến đổi Fourier của các dãy sau:

a. u ( n)



b.



2 n u ( n)



c.



Giải:



a.











n �



n0



�u (n)  �1  �



Hàm u(n) không thoả mãn [1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.





b.







� 2 u (n)  �2

n



n �



n



�



n 0



Hàm 2nu(n) không thoả mãn [1] nên không tồn tại biến đổi Fourier.





c.



�rect



n �



N 1



N



(n)  �1  N  �

n0



Hàm rect N(n) thoả mãn [1] nên tồn tại biến đổi Fourier, :



10 | P a g e



FT [rect N (n)] 







�rect (n).e



 j n



N







n �



N 1



� e 



 j n



n 0



1  e  j



1  e  j



N



[8]

Có thể thấy rằng, các dãy có độ dài hữu hạn ln tồn tại biến đổi Fourier, còn các

dãy có độ dài vơ hạn sẽ tồn tại biến đổi Fourier nếu chuỗi [1] của nó hội tụ.

1.3 Các dạng biểu diễn của hàm X()

a. Dạng phần thực và phần ảo



X(e j )  X R ( )  j X I ( )



[9]



Theo cơng thức Euler có :





X(e )  �x (n) e

j



n �



 j n







 �x (n)  cos(n  )  j sin(n  ) 

n �



j



X R ( )  Re[X(e )] 

Hàm phần thực :

j



X I ( )  Im[X(e )]  

Hàm phần ảo :



[10]







�x(n).cos(n )



n �



[11]







�x(n).sin(n )



n �



[12]



b. Dạng mô đun và argumen



X(e j )  X(e j ) .e j ( )

Mô đun :

[14]



Argumen :

[15]

11 | P a g e



X(e j ) 



[13]



X R2 ( )  X I2 ( )



�X I ( ) �

j



 ( )  Arg �

X(

e

)



arctg









X

(



)

�R





-



X(ej) được gọi là hàm biên độ tần số, nó là hàm chẵn và đối xứng qua trục

tung : X(ej)=X(e- j)

() được gọi là hàm pha tần số, nó là hàm lẻ và phản đối xứng qua gốc toạ

độ : () = - (-).

c. Dạng độ lớn và pha



X(e j )  A(e j ).e j ( )  A(e j ) .e j ( )



[16]



Hàm độ lớn A(ej) có thể nhận các giá trị dương hoặc âm, và :



A(e j )  X(e j )



[17]



Còn :



Arg[A(e j )]   ( )   ( )



[18]



Hàm pha :



 ( )   ( )  Arg[A(e j )]



[19]



Với



Arg[A(e j )] phụ





�0

j

Arg[A(e )]  �

�

Một



cách

j



Arg[A(e )] 



tổng



2



thuộc



vào



dấu



của



A(e j ) như



hàm



Khi A(e j ) �0

Khi A(e j )  0

quát,





� A( e j ) �



1



�

j



� A( e ) �







2







thể









1 Sign A( e



viết

j )



 ( )   ( ) 



12 | P a g e



2



� A( e j ) �

1





j

A(

e

)

















Theo [19] , có thể biểu diễn hàm pha () dưới dạng như sau :





sau



:



Ví dụ 2 : Hãy xác định các hàm phần thực và phần ảo, mô đun và argumen, độ lớn và

j

 j

X(

e

)



cos(2



).

e

pha của hàm tần số



Giải:



X(e j )  cos(2 ).cos( )  j cos(2 ).sin( )



Theo [11] có :

Hàm phần thực :



X R ( )  cos(2 ).cos( )



Hàm phần ảo :



X I ( )   cos(2 ).sin( )



Môđun:



X(e j )  cos 2 (2 ).cos 2 ( )  cos 2 (2 ).cos 2 ( )  cos(2 )



Argumen :

Hàm độ lớn :





cos(2 ).sin( ) �

 ( )   arctan �

 



cos(2 ).cos( ) �





A(e j )  cos(2 )



 ( )    



Hàm pha :





2



cos( 2 ) �



1

� cos( 2 ) �



2. Biến đổi FOURIER ngược

Biến đổi Fourier ngược cho phép tìm dãy x(n) từ hàm ảnh X(ej). Để tìm biểu

thức của phép biến đổi Fourier ngược, xuất phát từ biểu thức Fourier thuận [2] :





X(e )  �x(n) e  j n

j



n �



[20]



Nhân cả hai vế của [20] với ejm rồi lấy tích phân trong khoảng

(- ,  ) , nhận được :



13 | P a g e







j



X(e ).e





j m



d 











��x(n).e



 j n



.e



j m



2



j ( m  n )

e

d









0









Vì :







X(e







Nên :



j







n �







e

�x(n) �



d 



 n �











j ( m  n )



d



khi m  n

khi m �n



).e j n d   2 .x (n )







Từ đó suy ra biểu thức của phép biến đổi Fourier ngược :



1

x(n) 

2







X(e







j



).e j n d 

[21]







Phép biến đổi Fourier ngược được ký hiệu như sau :



IFT[X(e j )]  x(n)



[22]



IFT

X(e j ) ���

x ( n)



Hay :



[23]



(IFT là chữ viết tắt của thuật ngữ tiếng Anh Inverse Fourier Transform).

Biểu thức biến đổi Fourier thuận [20] và biểu thức biến đổi Fourier ngược [21] hợp

thành cặp biến đổi Fourier của dãy số x(n).

Ví dụ 3 : Hãy tìm tín hiệu số x(n) có hàm phổ là



X(e j )  cos( ).e  j 2



Giải:



1

x ( n) 

2

Ta có :

1

x ( n) 

2

x ( n) 



14 | P a g e











cos( ).e







 j 2



.e jn d







(e j  e  j )  j 2 j n

1

.

e

.

e

d





� 2

4









j ( n 1)





e















 �

1 � 1

1

j ( n 1)

j ( n 3) 

e

|



e

| �

4 �

j (n  3)



 �

�j ( n  3)



 e j ( n 3) �

d





Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Biến đổi FOURIER thuận

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×