Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Bài 3. Cho bài toán qui hoạch tuyến tính:

Bài 3. Cho bài toán qui hoạch tuyến tính:

Tải bản đầy đủ - 0trang

3

2



Giải hệ phương trình, ta được y* = (1, - ).

3

2



Với gmax = 6.1 + 8.(- ) = -6 = fmin

Bài 4. Xét bài tốn quy hoạch tuyến tính

 f = 15 x1 + 19 x 2 → min

3 x + x ≥ 3,

2

 1

,

 x1 + x 2 ≥ 2,

3 x + 4 x ≥ 7,

2

 1

 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0.



a Phát biểu bài toán đối ngẫu của bài toán trên.

b Hãy giải một trong hai bài rồi suy ra phương án tối ưu của bài tốn còn lại.

Giải

a Bài tốn đối ngẫu của bài tốn gốc:

 g = 3 y1 + 2 y 2 + 7 y 3 → max,

3 y + y + 3 y ≤ 15,

 1

2

3



y

+

y

+

4

y

2

3 ≤ 19,

 1

 y1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0.



b Ta giải bài tốn đối ngẫu:

Thêm vào hai ẩn phụ

bảng đơn hình, ta có:

C

ơ



H





s





Phư

ơng án



s



y 4 ≥ 0, y 5 ≥ 0



A

1



vào rng buc th nht v th hai. Lp

A



2



A

3



A

4



A







5



3



2



7



0



0





A



0



15



3



1



3



1



0



5



A



0



19



1



1



[4



0



1



19/



4



]



5



Bng 1



0



-3



4



-



-7



0



0







0



1



-



1/3

19



2

A



0







[9

/4]



4



A



7



3/4



19/











1



0







133



-



-



0



0



7/



4



3



Bng 2

/4

A



3



5/4

1/3



1/4

1



4

[



0



1/9]



1



A



7



14/



0



3



3



Bng 3



9

2



1



/9

101



0



/3



4/

-



0



1/9



3



1/



21



1/3



1/9

-



-



3

5/



9



4/

3



A



2



3



9



1



0



4



-3



A



7



4



-2



0



1



-1



1



34



1



0



0



1



1



2



3



Bảng 4



⇒ Phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu: y* = (0, 3, 4)

Gọi x* = (x1, x2) là phương án tối ưu của bài toán gốc.

Do y2*, y3* >0, nên theo định lí về độ lệch bù, x *là nghiệm đúng hệ phương

trình:

 x1 + x 2 = 2



3x1 + 4 x 2 = 7



Giải hệ phương trình, ta được: x* = (1, 1)

Với fmin = gmax = 34

Bài 5. Cho bài toán gốc



f ( x) = x1 + 3x2 + 2x3 → min

2x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 2

x1 − 2x2 − x3 + x4 ≥ 5

− x1 − x2 + x3 + x4 ≥ 1

xj ≥ 0, j = 1,4

a) Viết bài toán đối ngẫu

b) Hãy cho biết nếu giải bằng đơn hình thì bài tốn nào ít biến hơn

c) Hãy tổng qt hóa nhận xét trên

Giải

a) Bài tốn đối ngẫu là :

g( y) = 2y1 + 5y2 + y3 → max

2y1 + y2 − y3 ≤ 1

y1 − 2y2 − y3 ≤ 3

y1 − y2 + y3 ≤ 2

y1 + 3y2 − y3 ≤ 0

uur

yj ≥ 0, j = 1,3

b) Bài toán gốc: có 4 biến, thêm 3 biến phụ để chuyển về dạng chính tắc, thêm 3 biến

giả để chuyển về dạng chuẩn tắc. Vậy phải dùng 10 biến

Bài toán đối ngẫu: có 3 biến thêm 4 biến bù để chuyển về dạng chính tắc. bài

tốn chính tắc cũng là bài toán chuẩn. Vậy phải dùng 7 biến

Suy ra nếu giải bằng đơn hình thì bàu tốn đối ngẫu dùng ít biến hơn

c) Tổng quát hóa nhận xét trên:

Xét cặp bài tốn đối ngẫu có dạng:

g( y) = BY → max

f ( x) = CX → min

AX ≥ B

X≥0







ATY ≤ C

Y ≥0



Trong đó A là ma trận cấp m.n và



C≥0



Bài tốn gốc (min): có n biến, thêm n biến bù để chuyển về dạng chính tắc,



(n+ 2m)



thêm m biến chuyển về dạng chuyển dạng chuẩn tắc. Vậy phải dùng

biến

Bài toán đối ngẫu (max): có m biến, thêm n biến bù để chuyển về dạng chính

tắc. Bài tốn chính tắc cũng là bài toán chuẩn tắc. Vậy phải dùng (m+n) biến

Suy ra nếu giải bằng đơn hình thì bài tốn đối ngẫu dùng ít biến hơn.

Bài 6. Hãy chứng tỏ rằng có thể tìm phương án tối ưu của bài tốn quy hoạch

tuyến tùy ý bằng cách giải một hệ gồm các phương trình tuyến tính và các bất

phương trình tuyến tính

Giải

Vì mọi bài tốn quy hoạch tuyến tính đều đưa được về dạng chính tắc nên ta

xét bài tốn chính tắc. Bài tốn chính tắc và bài tốn đối ngẫu của nó là cặp bài

tốn đối ngẫu khơng đối xứng

Xét hệ gồm các phương trình tuyến tính và các bất phương trình tuyến tính .

 AX = B



X ≥ 0

 T

A Y ≤ C

CX = BY

Nghiệm X,Y của hệ này chính là phương án của bài toán min và bài toán max

f ( x) = g( y)



thỏa điều kiện

Vậy X,Y là phương án tối ưu của bài toán min và max.



KẾT LUẬN

Quá trình nghiên cứu đề tài đã giải quyết được các vấn đề đặt ra cụ thể là:

1 Hệ thống lại kiến thức của bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu.

2. Đã hệ thống được một số dạng bài tập và ứng dụng của bài toán đối ngẫu.



2.1. Viết bài tốn đối ngẫu của các bài tốn dạng chính tắc, chuẩn tắc, và

dạng tổng quát

2.2. Chứng tỏ tính tối ưu của một phương án

2.3. Tìm tập phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu

2.4. Ý nghĩa kinh tế của bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu

2.5. Bài tốn hậu tối ưu

2.6. Giải bài tốn có dạng đặc biệt

Ở mỗi dạng tơi đều có những bài tập minh họa cụ thể và cách giải chi tiết để

độc giả tiếp tục nghiên cứu.

Hi vọng đề tài là tài liệu tham khảo tốt cho các bạn sinh viên chuyên nghành

Toán và các sinh viên chuyên nghành khác quan tâm đến chuyên đề này.

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, mặc dù bản thân tơi đã có nhiều cố gắng,

nhưng đề tài cũng khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng

góp của q thầy cơ giáo và các bạn sinh viên để đề tài ngày càng hồn thiện và

hữu ích hơn.

Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến cô …. đã hướng dẫn, đọc bản thảo và

cho ý kiến đóng góp quý báu.

Chân thành cảm ơn cơ!



TÀI LIỆU THAM KHẢO



[1] Phí Mạnh Ban. Quy hoạch tuyến tính (tái bản lần thứ hai) NXB Đại học

Sư phạm, 2001

[2] Phí Mạnh Ban, bài tập Quy hoạch tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm,

2004

[3] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương.Quy hoạch tuyến tính. NXB

Giáo dục, 2000.

[4] Lê Khánh Luận, Quy hoạch tuyến tính, NXB Lao động, 2006.

[5] Bùi Phúc Trung, Quy hoạch tuyến tính, NXB Lao động - X. hội 2003.

[6] Lê Dũng Mưu, Nhập môn các phương pháp tối ưu. NXB Khoa học Kĩ

thuật, 1998

[7]Nguyễn Đức Nghĩa, Tối ưu hóa. NXB Giáo dục, 1996



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Bài 3. Cho bài toán qui hoạch tuyến tính:

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×