Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
BĐT vecto tìm min. Dấu = xảy ra khi

BĐT vecto tìm min. Dấu = xảy ra khi

Tải bản đầy đủ - 0trang

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

P = z + B = z + c + di ⇔ P = ( x + c ) + ( y + d ) i ⇔ P 2 = ( x + c ) + ( y + d )

2



Đặt



2



 A = a + bi



 B = c + di



I1 ( − a; −b ) ; I 2 ( −c; −d )



⇒ I1 I 2 =



( a − c)



2



+ ( b − d ) = ( a − c ) + ( b − d ) i = ( a + bi ) − ( c + di ) = A − B

2



Ta có:

Pmax = I1I 2 + k = A − B + k



Pmin = I1 I 2 − k = A − B − k



Tương tự :



Z+A =k



P= z+B



Hỏi



(có tâm đối xứng với



I2



qua trục hoành)



→ Pmax/min = A − B ± k



Loại 2 :

Az + B = k



⇔ z+



P1 = Cz + D



Đặt







B

k

=

A

A



Hỏi :



P1

D

= z+

C

C



hoặc



P2 = C z + D







P2

D

P

D

= z+

⇔ 2 = z + ÷

c

c

c

c



B

D

= a + bi; = c + di

A

C



Tương tự trên ta có





 B D k 

 P1Max / Min = c  − ± ÷





 A C





 B D k 



P

=

c

 − ÷± ÷

 2 Max / Min

 A C A ÷









GIẢI MAX MIN SỐ PHỨC CHỈ 2 DỊNG.(CÁI NÀY DỄ NHỚ THƠI)

z − a − bi = c ⇔ z − (a + bi ) = c ⇒ −c + a + bi ≤ z ≤ c + a + bi



Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hồi Thanh

Tọa độ z làm cho



z max ; z min



lần lượt là :



z max .(a + bi) z min .(a + bi)

;

a + bi

a + bi



Dạng 2:

z+a + z−a = k



Tổng quát :



k 2 − 4 z2

2 z1



với



;



−k + k 2 + 4

;

2



k

2



z1 = a + bi; z2 = c + di



Max z =



Max z =



Max z =



;



2



Dạng 3: Cho a>0 . Tìm Max, min

Min z =



2



2



=>



z1 z + z2 + z1 z − z2 = k



Min z =



Ta có :



Min z =



k2 − 4 a



z



;



z = x + yi



k

2 z1



z+



biết z thỏa mãn



k + k2 + 4

2



1

=a

z



Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hồi Thanh

PHÂN DẠNG MAX MIN SỐ PHỨC

Dù đã rất cố gắng, sử dụng nhiều nguồn tài liệu tham khảo, song vẫn còn nhiều thiếu sót, rất

mong q thầy cơ và các em học sinh bổ sung thêm các cách làm hay và độc đáo để cùng

chung sức giải quyết dạng toán này nhé. Xin chân thành cảm ơn !

Tài liệu nêu các cách giải tự luận là chính, kĩ thuật casio thì dựa vào dữ kiện đề bài ta có thể

thử bằng lệnh CALC hoặc ở đây thầy chủ yếu nêu ra CASIO bằng pp lượng giác hóa và sử

dụng khi xác định được dữ kiện là tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn và elip.

Vì tài liệu mang hướng tổng quát nên chưa có thời gian giải chi tiết cho từng bài tập, mong

quý thầy cô và các em học sinh thông cảm, hoặc gửi bài về group THỦ THUẬT CASIO

THPT để được giải đáp.

GV nên đưa ra 4 phương án trắc nghiệm để có cách thử casio hợp lý cho từng dạng toán !

Dạng 1 :

z



Cho số phức



thỏa mãn



z − ( a + bi ) = c



nhất, giá trị lớn nhất của P với



,



( c > 0)



, tìm giá trị nhỏ



P = z + z3 ; z + z3 ; z3 .z + z4



PHÂN TÍCH

Cách 1:

z − ( a + bi ) = c, ( c > 0 ) ⇒

I ( a; b )



và bán kính



Tập hợp các điểm



M



biểu diễn số phức



z



là đường tròn có tâm



R = c.



Biểu diễn P là 1 điểm M nào đó, dựa vào hình vẽ xác định max min cho thích hợp.

Ví dụ P =



Khi đó :



tức là đường tròn tâm O:



max z = OM 2 = OI + R



min z = OM 1 = OI − R

z =OM

→ 



Ví dụ P =



Khi đó :



z



z +i



tức là đường tròn tâm H (0;-1)



 max z + i = HI + R



min z + i = HI − R

z = HM

→ 



Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

Cách 2:

PP bất đẳng thức tam giác cực nhanh chỉ 2 dòng mà thầy đã hướng dẫn trên youtube,

có đủ các biến thể của dạng này.

https://www.youtube.com/watch?v=WsN84Q502wE

z − a − bi = c ⇔ z − (a + bi ) = c ⇒ −c + a + bi ≤ z ≤ c + a + bi



Tọa độ z làm cho

Ví dụ : Cho



z max ; z min



z − 4 + 3i = 3



Áp dụng cơng thức:

Ta có:



lần lượt là :



z max .(a + bi ) z min .(a + bi )

;

a + bi

a + bi



.



, Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?



z − a − bi = c ⇔ z − (a + bi ) = c ⇒ −c + a + bi ≤ z ≤ c + a + bi



z − 4 + 3i = 3 ⇔ z − (4 − 3i ) = 3 ⇔ −3 + 4 − 3i ≤ z ≤ 3 + 4 − 3i ⇔ 2 ≤ z ≤ 8



Cách tìm số phức:

C1: Tìm Số phức z có module nhỏ nhất là:

10 + 3b



 z − 4 + 3i = 3 ( a − 4 ) 2 + (b + 3)2 = 9

 −8a + 6b + 25 = 5  4a − 3b = 10

a =

⇔

⇔ 2

⇔ 2

⇔

4



2

2

2

2

=2

a + b = 4

a + b = 4

 a + b = 4

a 2 + b 2 = 4

 z



2



6

8

 10 + 3b 

2

2

⇒

÷ + b = 4 ⇔ 25b + 60b + 36 = 0 ⇔ b = − ; a =

5

5

 4 



z=



z min .(a + bi )



C2: Số phức z có module nhỏ nhất là:



a + bi



z=



Tương tự: Số phức z có module lớn nhất là:



=



2(4 − 3i ) 8 6

= − i

5

5 5



z max .(a + bi )

a + bi



=



8(4 − 3i) 32 24

=

− i

5

5

5



Cách 3: PP lượng giác hóa

(Độ chính xác ko tuyệt đối, có sai số nhưng vẫn chấp nhận được)

Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng



X 2 +Y2 =1



(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)

Đặt X = cosa; Y=sina



Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hồi Thanh

Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina



Sử dụng MODE 7 khảo sát với START =0; END=2





(Chú ý dùng lệnh Shift Mode

Ví dụ : Cho



z − 4 + 3i = 3



π



; STEP=



π

12



5 1)



, Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?

2



2



2

2

 x−4  y +3

z − 4 + 3i = 3 ⇔ ( x − 4 ) + ( y + 3) = 9 ⇔ 

÷ +

÷ =1

 3   3 



Đặt



 x = 4 + 3cos α

x−4

y+3

= cos α ;

= sin α => 

3

3

 y = −3 + 3sin α



Ta có



( 4 + 3cos α )



z = x2 + y2 =



2



+ ( −3 + 3sin α )



SHIFT MODE 4 -> SHIFT MODE

Nhập



f ( x) =







5 1 ->MODE 7



( 4 + 3cos ( X ) ) + ( −3 + 3sin ( X ) )

2



START =0; END=2

Đọc bảng => Max



π







; STEP=

8; min







2



2



π

12



2



BÀI TẬP:

Bài 1: : Cho



z − 6 + 8i = 2



Bài 2: Cho z thỏa mãn:

Tìm số phức z sao cho

Bài 3: Cho z thỏa mãn:

Bài 4: Cho z thỏa mãn:



, Tìm số phức có module nhỏ nhất, lớn nhất?

z − 2 − 4i = 5



z +1



đạt GTLN; GTNN?



z − 1 + 2i = 5



z − 2 − 3i = 1



Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

Bài 5: Cho z thỏa mãn

Bài 6: Cho z thỏa mãn



1+ i

z + 2 =1

1− i



zmin ; zmax



; Tìm số phức



( 1 + i ) z − 2i + 1 = 1



. Tìm z để



( 2 + i) z − i +1



đạt GTLN; GTNN



Dạng 2 :

Cho số phức

với



z



z − ( a + bi ) = c



thỏa mãn



P = z + z3 + z + z4



2



hoặc P chứa



,



( c > 0)



, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P



3



z ; z ...



(sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ)



Cách 1: PP lượng giác hóa

Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng



X 2 +Y2 =1



(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)

Đặt X = cosa; Y=sina

Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina



Sử dụng MODE 7 khảo sát với START =0; END=2

(Chú ý dùng lệnh Shift Mode







π



; STEP=



π

12



5 – 1)



Cách 2: Sử dụng pp BĐT

BĐT Bunhia Copski:



BĐT vecto



2



a2 + x2 + b2 + y 2 ≥



Ví dụ: Cho số phức

Ta có:



2



≤ ( A2 + B 2 ) ( x 2 + y 2 )



( a + b)



a +x + b +y ≥

2



BĐT Mincopxki:



( Ax + By )



z



2



2



( a − b)



thỏa mãn



2



2



+ ( x + y)



+ ( x − y)



z −1 = 2



tìm max

2



tìm min.Dấu = xảy ra khi



2



tìm min. Dấu = xảy ra khi



. Tìm GTLN của



a x

=

b y



T = z +i + z −2−i



.



a x

=

b y



Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

rr

2

2

2

2

z + i = z − 1 + 1 + i = z − 1 + 1 + i + 2uv



(1)



rr

2

2

2

2

z − 2 − i = z − 1 − 1 − i = z − 1 + 1 + i − 2uv



r r

u, v



(2). Với



z −1



biểu diễn



1+ i







.



Cộng (1) với (2) ta được:

2



2



2



z + i + z − 2 − i = 2 z −1 + 4 = 8



(không đổi).



Áp dụng đẳng thức BNC:



(



T2 = ( z +i + z − 2−i ) ≤ 2 z +i + z −2−i

2



2



2



) = 16 ⇒ T ≤ 4



VD2:

z1 ; z2



Với 2 số phức



thỏa mãn



5+3 5



A.

B.

GIẢI:

CÁCH 1: Ta có:

2



2



z1 + z2 = 8 + 6i



2 26



(



C.



2



z1 + z2 + z1 − z2 = 2 z1 + z2



2



A +B



2



( A + B)



2



2

2



⇒ z1 + z2



2



1



(z





1



+ z2



)



2



2



2



≤ ( A2 + B 2 ) ( x 2 + y 2 ) ⇒ ( z1 + z2



)



2



2



+ z2



(z

⇒ 52 ≥



(



.Tính GTLN của

D.



1



CÁCH 2:

Ta có:

ÁP dụng BĐT Bunhia Copski:



( Ax + By )



4 6



) ⇔ 100 + 4 = 2 ( z



Lại có: Áp dụng BĐT Cauchy:

2







z1 − z 2 = 2



2



2



34 + 3 2



) ⇔ 52 = ( z



1



+ z2

2



≤ 2 z1 + z2



2



)



2



2



+ z2



2



)



⇒ 104 ≥ ( z1 + z2



) = z +z

1



P = z1 + z2



2

2



)



2



⇒ z1 + z2 ≤ 2 26



2



+ z1 − z2 = 104 ⇒ z1 + z2 ≤ 2 26



Bài tập:



Bài 1: Cho số phức



z thỏa mãn



Bài 2: Cho số phức z thoả mãn

P = z +1 + 2 z −1



z − 1 − 2i = 2



z =1



. Tìm GTLN của



T = z + z − 3 − 6i



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

BĐT vecto tìm min. Dấu = xảy ra khi

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×