Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Thay vào (3.60) ta được

Thay vào (3.60) ta được

Tải bản đầy đủ - 0trang

Để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường thì C 2 �0

� sinλL = 0 � λL = kπ



�λ=



 k �Z 





L



(3.67)



Thay C1 = 0 và (3.67) vào (3.66) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một hàm X k(x)

tương ứng dạng: X k  x  = C k sin



kπx

L



(3.68)



Thay (3.67) vào phương trình (3.61) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một phương

trình tương ứng đối với Tk(t) dạng:



Tk�

 t +



a 2 kπ2

L2



2



� Tk  t  = D k cos



Tk  t  = 0

kπat

kπat

+ E k sin

L

L



(3.69)



trong đó Dk, Ek là hằng số tùy ý.

Thay (3.68) và (3.69) vào (3.58) thì ứng với mỗi cặp  X k  x  ;Tk  t   ta xác

định tương ứng một nghiệm riêng vk(x,t) dạng:

kπat

kπat � kπx



v k  x,t  = X k  x  Tk  t  = �

a k cos

+ b k sin

sin



L

L � L





(3.70)



với a k = D k C k , b k = E k Ck

Nghiệm v(x,t) thu được là chồng chập của các nghiệm riêng:





kπat

kπat � kπx



v  x,t  = �v k  x,t  = ��

a k cos

+ b k sin

sin



L

L � L

k=1

k = 1�



Sử dụng điều kiện ban đầu (3.44):



66



(3.71)



x



v t=0 = f  x  - A-  B- A 



L





��v = g  x 



��t t=0

kπx

x

��

��a k sin L = f  x  - A - L  B - A 

�= 1

� �k �

� kπa b sin kπx = g  x 

� k L



�k = 1 L

L



2 �

x

� kπx

a

=

f  x - A -  B - A �

sin

dx

�k





L

L

L







0

��

L

2

kπx



bk =

g  x  sin

dx





kπa 0

L



L



2

kπx

2Bcoskπ 2A

ak = �

f  x  sin

dx +



L0

L







��

L

2

kπx



bk =

g  x  sin

dx





kπa

L

0





L



2 B - A

2

kπx

2A

ak = �

f  x  sin

dx +

coskπ

 coskπ - 1 +



L0

L







��

L

2

kπx



bk =

g  x  sin

dx



� kπa

L

0





(3.72)



Thay (3.72) vào (3.71) thì v(x,t) là hoàn toàn tường minh:

L

� �

� kπat

kπ x

2

��2

v  x, t  = ��� �

f  x  sin

dx+

cos

+

 Bcoskπ - A  �

L0

L



k =1 �



� L



�2 L

kπx � kπat �

� kπx

+� �

g  x  sin

dx �

sin

�sin

kπa 0

L



� L � L



(3.73)



Thay (3.53), (3.56) và (3.72) vào (3.43) thì nghiệm u(x,t) là hoàn toàn tường minh:

u  x,t  =



 B-A  x

L



+A+



��2 L

� kπat

kπx

2



f  x  sin

dx +

cos

+

 Bcoskπ - A  �

�� �



L0

L



k = 1�



� L





67



�2 L

kπx � kπat �

� kπx

� �

g  x  sin

dx �cos

�sin

kπa 0

L

L � L







Vận dụng phương pháp đặt hàm phụ giải các bài tốn sau

Bài tốn 1: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

�0 �x �L

�2 u 2 �2 u

D

:

a

=

0

trên

miền



0 �t �+�

�t 2

�x 2





u t = 0 = f  x



với điều kiện ban đầu: ��

u

= g x

��

�t t=0



và điều kiện biên:



��

u

=A

��

� x x=0



u x=L =B





Đáp số:

u  x,t  =



 B - A x + A +

L



L



� kπat

kπx

2

��2

f  x  sin

dx +

cos

 Bcoskπ - A  �

�� �



L

L



k = 1�

�0

� L





�2 L

kπx � kπat �

� kπx

+� �

g  x  sin

dx �cos

�sin

kπa 0

L

L � L







Bài tốn 2: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

2

0 �x �L



�2 u

2 �u

a

= 0 trên miền D : �

2

2

0 �t �+�



t



x







u t=0 = f  x 



với điều kiện ban đầu: ��u

= g x

��t

� t=0



68



và điều kiện biên:



��

u

= Acosαt

��

�x x = 0



u

��

= Bsinβt



x x=l

��



βx

acos

αx

αL

αx

aA





a Bsinβt

+ cotg

cos � cosαt Đáp số: u  x,t  = �sin

βL

a

aα�

� a

βsin

a

�1 L

� 1L

+ ��

G  x  dx �t + �

F  x  dx +

L0



� L0

l

L

� �

� kπx

kπx � kπat �2

kπx � kπat �

��2

+ ��� �

G  x  cos

dx �

sin

+ ��

F  x  cos

dx �cos

�cos

kπa 0

L

L

L0

L

L �

L

k =1�











69



PHẦN BA: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ



1.



Các kết quả đạt được

Nhằm đạt được mục đích đã đề ra là “nghiên cứu nội dung một số phương



pháp thường giải phương trình vật lý tốn phần dao động tự do của sợi dây”. Chúng

tơi đã làm được những việc chính sau đây

1.1. Trình bày chi tiết cơ sở khoa học

Đó là những kiến thức thường gặp trong Vật lý như: phương trình vi phân

tuyến tính cấp một, phương trình tuyến tính cấp hai thuần nhất, không thuần nhất;

chuỗi Fuorier, khai triển Fuorier dưới dạng lượng giác và dạng phức

1.2. Lập bảng phân loại các dạng bài tập về phương trình dao động của sợi dây

Với mỗi dạng phương trình chúng tơi đã giới thiệu khái quát về đặc điểm và

phân tích, đánh giá từ đó đưa ra chỉ dẫn về các phương pháp giải.

1.3. Phân tích 3 phương pháp kèm ví dụ minh họa

- Phương pháp D’Alembert

- Phương pháp tách biến Fuorier

- Phương pháp đặt hàm phụ

Trên các mặt sau: đưa ra trình tự các bước cụ thể, phạm vi áp dụng, những

thuận lợi và khó khăn khi áp dụng chúng. Những phân tích, chỉ dẫn đều được minh

họa bằng ví dụ cụ thể.

1.4. Áp dụng kết quả thu được vào việc giải bài tập

Giải một số bài toán cụ thể có ứng dụng các phương pháp đã phân tích trong

mỗi dạng bài tốn.

2. Các vấn đề còn tồn tại và cần tìm hiểu tiếp theo

Do thời gian tìm hiểu, năng lực của bản thân và tài liệu tham khảo còn có hạn. Vì



70



vậy trong khóa luận này chúng tơi mới xem xét và vận dụng ba phương pháp giải bài

tập cho các bài toán dao động tự do của sợi dây. Chúng tơi biết rằng bài tập về phương

trình Vật lý- Toán phần dao động tự do của sợi dây rất đa dạng. Trong thời gian tới

chúng tôi sẽ tiếp tục tìm hiểu sâu hơn các phương pháp giải bài tốn loại này.

Khóa luận được hồn thành là nhờ sự giúp đỡ tận tình của các thầy giáo, cơ

giáo và tất cả các bạn, riêng bản thân em cũng đã rất cố gắng. Tuy nhiên, vì thời

gian nghiên cứu còn chưa nhiều, hơn nữa vì kiến thức còn hạn chế, chưa phong phú,

đa dạng nên khóa luận khơng tránh khỏi những thiếu xót. Em rất mong nhận được

sự chỉ bảo của các thầy cơ và ý kiến đóng góp của tất cả các bạn để khóa luận được

đầy đủ và hoàn thiện hơn.



71



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Thay vào (3.60) ta được

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×