Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Kế hoạch nghiên cứu

Kế hoạch nghiên cứu

Tải bản đầy đủ - 0trang

PHẦN HAI: NỘI DUNG

Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC



1.1. Phương trình vi phân tuyến tính

1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính khơng thuần nhất

+ p(x)y = C(x)

Phương trình dạng: y�



(1.1)



Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số

+ p(x)y = 0

 Bước 1: Giải phương trình thuần nhất: y�



Nếu y �0 khi đó phương trình (1.2) trở thành



(1.2)



dy

p  x  dx

= -p  x  dx nên y = C e- �

1

y



Đây chính là nghiệm tổng qt của phương trình (1.2), ( y = 0 là nghiệm riêng ứng

với C1 = 0 )

 Bước 2: Biến thiên hệ số, đặt C1 = C  x 

- p  x  dx



thay y = C1  x  e �



vào (1.1)



- p x  dx



ta có C1 = �

C(x)e � dx + K

 Bước 3: Nghiệm của phương trình là:

- p  x  dx



y = Ke �



- p  x  dx



+e�



C  x e





p  x  dx



dx



1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

1.1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số khơng đổi



+ py�

+ qy = 0

Phương trình dạng: y�



(1.3)



 Bước 1: Giải phương trình đặc trưng k 2 + pk + q=0



4



(1.4)



Trong tập số phức C phương trình này có nghiệm là k1 , k 2

 Bước 2: Xác định nghiệm tổng quát

+ Nếu k 1 và k 2 là các nghiệm thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của

kx

k x

phương trình là: y1 = e , y 2 = e .

1



2



kx

k x

Do đó: y=C1e +C2e

với C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý

1



2



 Nếu k 1 và k 2 là các nghiệm thực trùng nhau. Khi đó 2 nghiệm riêng của

kx

phương trình độc lập tuyến tính với nhau có dạng: y1 = e , y 2 = u  x  y1

1



Thay y 2 = u  x  y1 vào (1.3) ta được u(x) = x, do đó nghiệm tổng quát của (1.3) có dạng:

y = e k1x  C1x + C 2  với C 1 , C 2 là các hằng số







Nếu k 1 và k 2 là các nghiệm liên hợp phức: k1 = α + iβ , k 2 = α - iβ



α + iβ x

α - iβ x

khi đó hai nghiệm riêng của (1.3) là: y1 = e  , y 2 = e 

αx

αx

Sử dụng công thức Euler, ta có: y1 =  cosβx + isinβ  e , y 2 =  cosβx - isinβx  e



Do y1 , y 2 là các nghiệm riêng của (1.3) nên:

y=



y1 + y 2

y - y2

= eαx cosβx , y = 1

= eαx sinβx

2

2i



cũng là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính. Thay vào (1.3) ta có nghiệm tổng qt

αx

của (1.3) có dạng: y = e  C1cosβx + C2sinβx  .



1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng thuần nhất có hệ số

khơng đổi



+ py�

+ q = f(x)

Phương trình dạng: y�



Nghiệm tổng qt của phương trình có dạng y = y + y* ,trong đó:



5



(1.5)







y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng





y�

+ py�

+ q = 0 (cách giải phương trình này đã trình bày ở trên).







y* là một nghiệm riêng của phương trình (1.5).



Khi f(x) có dạng đặc biệt thì nghiệm y* này được xác định như sau:

 Trường hợp 1: f(x) = eαx Pn (x)



(1.6)



Trong đó α là hằng số thực, Pn (x) là đa thức bậc n của x.

+ Nếu α khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm

riêng của phương trình có dạng: y*αx= e Q n (x) .



(1.7)



+ Nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng

của phương trình có dạng: y*αx= xe Q n (x) .



(1.8)



+ Nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng

e Q n (x) .

của phương trình có dạng: y* = x 2αx



(1.9)



Thay y* vào phương trình (1.5) và đồng nhất ta hai vế ta được (n+1) phương

trình bậc nhất của (n+1) ẩn là hệ số của Q n (x) từ đó xác định được Q n (x) .

 Trường hợp 2: f(x) = eαx  Pm (x)cosβx + Pn (x)sinβx 

Trong đó Pm (x) và Pn (x) là các đa thức bậc m, n; α, β là hằng số thực.

+ Nếu α ± iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một

*αx

nghiệm riêng của phương trình có dạng: y = e



 Q1 (x)cosβx + R1 (x)sinβx  .



(1.10)



+ Nếu α ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng

*αx

của phương trình có dạng: y = xe



 Q1 (x)cosβx + R1 (x)sinβx  .



Trong đó: Q1 (x), R 1 (x) là các đa thức bậc l = max  m,n  .



6



(1.11)



Để xác định Q1(x), R1(x) thay y* vào phương trình rồi cân bằng hệ số của

sinβx , cosβx .



1.2. Chuỗi Fourier

1.2.1. Khái niệm chuỗi Fourier







1,sin

Tập các hàm �



nπx

nπx �

,cos

�là các hàm riêng trực giao nhau trong khoảng

L

L



(-L,L). Hàm f(x) được gọi là trơn từng khúc trong một khoảng nào đó có nghĩa là

khoảng này có thể chia ra nhiều khoảng nhỏ, mà trong mỗi khoảng nhỏ đó, hàm f(x)

và đạo hàm f’(x) liên tục.

Tập các hàm trực giao ở trên có thể dùng để biểu diễn hàm trơn từng khúc f(x)







n = 1�



dưới dạng chuỗi: f(x) = a 0 + ��a n cos



nπx

nπx �

+ b n sin



L

L �



(1.12)



(1.12) được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng (-L,L)

Các hằng số a 0 , a n và b n được gọi là các hệ số Fourier của chuỗi, trong đó:

a0 =



 f,l 

l



2



L



1



f(x)dx .

2L -L�



nπx �



f,cos



� L

nπx

L � 1



an =

 �

f(x)cos

dx .

2

L -L

L

nπx

cos

L

� nπx �

f,sin



� L

nπx

L � 1



bn =

 �

f(x)sin

dx .

2

L -L

L

nπx

sin

L



1.2.2. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier

 Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là:

- Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hồn với chu kỳ 2L



7



- Hàm f(x) có một số hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các

điểm gián đoạn trong khoảng (-L,L).

 Giả sử khoảng (-L,L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x). Chuỗi Fourier xác

định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x), khi đó cho phép khai triển

tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng Fourier đầy đủ.

 Dấu bằng (=) trong biểu thức (1.12) có thể được trình bày bằng dấu gần bằng

(), có nghĩa là "tương đương với ", bởi vì chuỗi bên phải khơng phải hội tụ thành

hàm f(x) đối với mọi giá trị của x. Chuỗi Fourier chỉ biểu diễn hàm f(x) trong

khoảng Fourier đầy đủ.

% là sự mở rộng của hàm

Một cách chọn khác, người ta có thể xác định hàm f(x)

% là mở rộng tuần hoàn của

f(x) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ. Như vậy, hàm f(x)

%

% , ngược lại hàm f(x) đối với mọi x

= f(x)

hàm f(x), -L  x  L có tính chất f(x+2L)



khơng phải là hàm tuần hồn.

 Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi các hệ số a o, an và bn được

tính cụ thể. Do đó, có một số hàm khơng có biểu diễn chuỗi Fourier, ví dụ như các

hàm:



1 1

,

khơng có biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier trong khoảng (-L,L). Chú

x x2



ý rằng, các hàm này không xác định ở một hoặc vài điểm trong khoảng (-L,L).

 Hàm f(x) được gọi là có bước nhảy gián đoạn tại điểm xo nếu:

f  x -o  = lim f  x 0 - ε  �f  x 0+  = lim f  x 0 + ε 

 �0

 0



 �0

 0



 x  là hàm liên tục từng khúc trong khoảng (-L,L) thì

Nếu hàm f(x) và hàm f �

biểu diễn chuỗi Fourier của hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện:

 Hội tụ về hàm f(x) tại điểm mà hàm f(x) là liên tục.



8







Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng



Fourier đầy đủ.

+ Tại điểm x0 có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi Fourier của

hàm f(x) hội tụ về



1



f  x 0+  +f  x 0-  �



�là giá trị trung bình của giới hạn trái và phải

2



của bước nhảy gián đoạn.





N

nπx

nπx �



S

x

=

a

+

a n cos

+ bn sin

Hàm N  

0 �



�được gọi tổng riêng thứ N, nó biểu

L

L �

n = 1�



diễn tổng của N số hạng đầu tiên. Người ta thường vẽ xấp xỉ hàm SN  x  khi biểu

diễn chuỗi Fourier bằng đồ thị. Hàm f(x) bất kỳ có một điểm bước nhảy gián đoạn

thì hàm SN  x  có đồ thị tại lân cận bước nhảy gián đoạn là dạng hàm dao động.

Hiệu ứng này gọi là hiệu ứng Gibb. Hiệu ứng Gibb ln có mặt khi người ta dùng

một chuỗi hàm liên tục để biểu diễn một hàm gián đoạn, hiệu ứng này vẫn tồn tại

cho dù tăng giá trị N rất lớn.





Chuỗi có dạng: a 0 +











a cos

��



n



n=1



Có thể viết dưới dạng: a 0 +







nπx

nπx �

+ b n sin



L

L �

�nπx



�C sin �

�L

n



n=1





+ n �



�a �

�b n �



Trong đó: C n = a n2 +b n2 được gọi là biên độ; φ n = arctg � n �được gọi là pha; số

�nπx



+φ n �được gọi là dao động điều hòa thứ n. Dao động điều

�L





hạng thứ n: C n sin �



hòa thứ nhất (n = 1) được gọi là dao động điều hòa cơ bản.

1.2.3. Hàm chẵn và hàm lẻ

Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn của x nếu f(-x) = f(x) với mọi giá trị của x,

hàm chẵn đối xứng dọc theo trục y. Hàm f(x) được gọi là hàm lẻ của x nếu



9



f(-x) = -f(x) với mọi giá trị của x. Các tính chất sau của hàm chẵn và hàm lẻ cho



phép đơn giản biểu diễn Fourier.

L



L



-L



0



f  x  dx = 2 �

f  x  dx





 Nếu f(x) là một hàm chẵn của x thì



Thật vậy, vì f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x) , do đó:

L



0



L



L



L



L



-L



-L



0



0



0



0



fξ dξ

ξ dξ

ξ dξ

ξ dξ

 = f�ξ dξ

 + f�ξ dξ = f�

 + f�

 = 2 f�





L



f  x  dx = 0

 Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là f(-x) = - f(x) thì �

-L



L



0



L



L



L



-L



-L



0



0



0



fξ dξ

ξ dξ

-ξ dξ

ξ dξ

 = f�ξ dξ

 + f�

 = f�

 + f�

 =0

Thật vậy: �



 Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn,

tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.

- Nếu f(x) là một hàm lẻ, biểu diễn (1.12) có dạng:

f(x) =







�b sin

n



n=1



nπx

,0
L



L



2

nπx

f  x  sin

dx .

trong đó: b n = �

L0

L



- Nếu f(x) là một hàm chẵn, biểu diễn Fourier của nó là:

f  x  = a0 +







�a cos

n



n=1



nπx

,0
L



trong đó a0 và an được xác định theo công thức:

L



L



1

2

nπx

a0 = �

f  x  dx ; a n = �

f  x  cos

dx .

L0

L0

L



1.2.4. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier



10



1.2.4.1. Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác

Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác có dạng:

f  x  = a0 +











a cos

��



n



n=1



nπx

nπx �

+ b n sin

�, -L < x < L

L

L �



Với các hệ số:

a0 =



 f,l 

l



2



L



=



1

f(x)dx .

2L -L�



nπx �



f,cos



� L

nπx

L � 1

an = �

 �

f(x)cos

dx .

2

L -L

L

nπx

cos

L

� nπx �

f,sin



� L

nπx

L � 1



bn =

 �

f(x)sin

dx .

2

L -L

L

nπx

sin

L



Đôi khi người ta còn biểu diễn dưới dạng đối xứng sau:

f  x =



A0

+

2







nπx

nπx �

+ Bn sin

�, -L < x < L

L

L �







A cos

��



n



n=1



L



trong đó: A n =



L



1

nπx

1

nπx

f  x  cos

dx và Bn = �

f  x  sin

dx .



L -L

L

L -L

L



Ngoài ra, trong một số trường hợp dạng của hàm f(x) được xác định như sau:

 Trường hợp 1: Hàm f(x) xác định trong khoảng   x  2L

Với f  x + 2L  = f  x  có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như

sau:

f(x) = a 0 +











a cos

��



n



n=1



nπx

nπx �

+ b n sin



L

L �



Với các hệ số được xác định theo công thức:



11



a0 =



1

2L



α+2L



�f(x)dx .

α



1

an =

L



α+2L



1

L



α+2L



bn =



�f(x)cos

α



�f(x)sin

α



nπx

dx .

L

nπx

dx .

L



 Trường hợp 2: Hàm f(x) xác định trong khoảng   ,  

Hàm f(x) có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau:

f(x) = a 0 +







�(a cosnx + b sinnx)

n



n



n=1



Các hệ số được xác định như sau:

π



1

a0 =

f(x)dx .

2π -π�

π



an =



1

f(x)cosnxdx .

π -π�

π



1

bn = �

f(x)sinnxdx .

π -π



 Trường hợp 3: Hàm f(x) liên tục, khả vi, đơn trị trên khoảng  -π,π 

Hàm f(x) có thể phân tích thành tích phân Fourier như sau:





f(x) = �

 A(α)cosαx + B(β)sinβx  dx

-�







A(α) =



1

f(x)cosαxdx

2π -�





12







B(β) =



1

f(x)sinαxdx

2π -�









�1 �



f(x) = �

f(ξ)(cosαξcosαx + sinαξsinαx)dξ �

dx =

� �



- �� - �









�1 �



f(ξ)cosα(x

ξ)dξ

dx





�2π �

- �� - �





Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng đồng nhất thức Euller:

e



inπx

L



= cos



nπx

nπx

+ isin

; i 2 = -1

L

L



nπx

e

� cos

=

L



inπx

L



+e

2



-inπx

L



; sin nπx = e

L



inπx

L



-e

2i



-



inπx

L



(1.13)



1.2.4.2. Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ

Từ (1.13) ta có khai triển chuỗi Fourier dạng mũ

f  x =



=





An





n = 1 �2





A0

+

2



inπx

-inπx



�inπx

� -iBn �inπx



L

L

L

L

e

+

e

+

e

e















� 2 �





inπx

-inπx

A0

1 �

1 �

+ � A n - iBn  e L + � A n + iBn  e L .

2

2 n=1

2 n=1



Các hằng số được xác định như sau:

L



C0 =



A0

1

=

f  x  dx .

2

2L -L�



L



Cn =



L



-inπx

1

1 �

nπx

nπx �

1

A

iB

=

f

x

cos

if

x

sin

dx

=

f

x

e

 n n

 

  L dx .

� 







2

2L -L �

L

L �

2L -L



L



L



inπx

1

1 �

nπx

nπx �

1

C- n =  A n + iBn  =

f  x  cos

+ if  x  sin

dx =

f  x  e L dx .







2

2L -L�

L

L

2L





-L



Như vậy: f  x  = C0 +







�C e

n



n=1



inπx

L



+







�C



n=1



13



-n



e



-inπx

L



.



Thay tổng cuối cùng n bằng (–n) ta có: f  x  = C0 +







�Cn e



inπx

L



n=1



Biểu thức này là dạng phức của chuỗi Fourier: f  x  =







+



�C- n e



inπx

L



.



n = -1







�Cn e



inπx

L



.



n=1



L



trong đó: C n =



-inπx

1

L

f

x

e

dx .







2L -L



1.3. Phương trình sóng một chiều

1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình tốn lý

Phương trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng:

� �

u



u �2 u �2 u

�m u

F �x,u,

,...,

, 2,

,..., k1

x1



xn �

x1 �

x1�

x2



x1 ...�

xn kn

� �





� 0 .





trong đó:

 F là hàm nhiều biến.

 x = (x1 , x 2 ,..., x n ) là vectơ trong không gian Euclide n chiều Rn.

+ u  x  là hàm chưa biết k1 + k 2 +...+ k n = m .

Cấp của phương trình là cấp của đạo hàm cao cấp nhất trong phương trình.

Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với

hàm chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng.

Phương trình vật lý tốn là các phương trình mơ tả sự biến thiên của trường

theo thời gian có dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng. Các phương trình vật lý

tốn cơ bản thường gặp đó là các phương trình dao động sóng, phương trình truyền

nhiệt, phương trình Laplace.

Trong các bài tốn vật lý, phương trình thường gặp là các phương trình vi

phân đạo hàm riêng cấp hai (m = 2). Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai



14



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Kế hoạch nghiên cứu

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×