Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Bài toán 1: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

Bài toán 1: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

Tải bản đầy đủ - 0trang

L

L



kπx � kπat �2

kπx � kπat �

��2

� kπx

u  x,t  = ��� �

g  x  sin

dx �

sin

+� �

f  x  sin

dx �

cos

�sin

kπa 0

L

L0

L

L � L

k = 1�



� L �







Bài tốn 2: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

�0 �x �L

�2 u 2 �2 u

-a

= 0 trên miền D: �

2

2

0 �t �+�

�t

�x





u t=0 = f  x 



với điều kiện ban đầu: ��u

= g x

��t

� t=0



và điều kiện biên:



��u

=0

��x

� x=0



u x =L = 0





Trong đó a là hằng số khác 0; các hàm f(x) và g(x) giải tích trên D.



�� 4

Đáp số: u(x,t) = ��

a  2k+1π



��



L



g  x  cos





 2k+1πx





0



2L



� a 2k+1



πt

dx �

sin

2L





�2 L

 2k+1 x dx �cos a  2k+1 t �

�  2k+1 x

+� �

f  x  cos

�cos



L

2L

2L

2L



�0





3.3. Phương pháp đặt hàm phụ

Ví dụ 1: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

0 �x �L



�2 u 2 �2 u

D

:

a

=

0

trên

miền



0 �t �+�

�t 2

�x 2





u t = 0 = f  x



với điều kiện ban đầu: ��

u

= g x

��

�t t=0



và điều kiện biên:





u x=0 = A



�u x = L = B



Trong đó a, A, B là các hằng số khác 0, các hàm f(x); g(x) giải tích trên D.

Bài giải



61



Ta sẽ tìm nghiệm u(x,t) của phương trình dưới dạng:

u  x,t  = v  x,t  + w1  x  + w 2  x 



(3.43)



2

�2 u

2 �u

a

= 0 ta được:

Thay (3.43) vào phương trình 2



t



x2



�2 v 2 �2 v 2 d 2 w1 2 d 2 w 2

-a

-a

-a

=0

�t 2

x2

dx 2

dx 2



Ta sẽ tìm các hàm v(x,t); w1(x); w2(x) như sau:

Hàm v(x,t) là nghiệm của phương trình:



2

�2 v

2 �v

a

=0



t2



x2



�v t = 0 = f  x  - w1  x  - w 2  x 



với điều kiện ban đầu: ��

v

= g x

��

�t t=0



và điều kiện biên:



�v x = 0 = 0



�v x = L = 0



(3.44)



(3.45)



(3.46)



d 2 w1

=0

Hàm w1(x) là nghiệm của phương trình: -a

dx 2

2





�w1 x = 0 = A

�w1 x = L = 0



và thỏa mãn điềukiện biên: �



(3.47)



(3.48)



d2w 2

=0

Hàm w2(x) là nghiệm của phương trình: -a

dx 2

2



�w 2 x = 0 = 0

�w 2 x = L = B



và thỏa mãn điều kiện biên: �



(3.49)



(3.50)



Dạng nghiệm w1(x) của phương trình (3.47) là:

w1  x  a1 x + a 2



trong đó a1 ; a2 là các hằng số tích phân



62



(3.51)



Sử dụng điều kiện biên:

�w1 x =0 = A �

a =A

� �2



a1 L + a 2 = 0



�w1 x =L = 0

a =A



�2

��

A

a1 = �



L



(3.52)



Thay (3.52) vào (3.51) thì w1(x) là tường minh:

w1  x  = -



Ax

� x�

+ A � w1  x  = A �

1- �

L

� L�



(3.53)



Dạng nghiệm w2(x) của phương trình (3.49) là:

w 2  x  = b1x + b 2



(3.54)



trong đó b1 ; b2 là các hằng số tích phân.

Sử dụng điều kiện biên:



�w 2



�w 2



=0



b =0



� �2

b1L + b 2 = B

=B �

x=L

x=0



b =0



�2

�� B

b1 =



� L



(3.55)



Thay (3.55) vào (3.54) thì w2(x) là tường minh: w 2  x  =



Bx

L



(3.56)



Thay (3.53) và(3.56) vào (3.45) thì điều kiện ban đầu của hàm v(x,t) là hoàn toàn

xác định:



� x � Bx

1 - ��v t =0 = f  x  - A �

� L� L





v

��

= g x



t t=0

��



63



x



v t = 0 = f  x - A -  B - A



L



��

v

��

= g x



t t=0

��



(3.57)



Nghiệm v(x,t) của phương trình (3.44) được tìm dưới dạng:

v  x,t  = X  x  T  t 



(3.58)



Thay (3.58) vào (3.44) ta được:





XT�

- a 2 X�

T=0�



� 1 T�



X�

= 2

X a T



(3.59)



Từ đẳng thức (3.59) ta nhận thấy rằng: vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào

biến x, còn vế phải của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào biến t nên để cho đẳng thức xảy

ra thì:

� 1 T�



X�

= 2

= const = C

X a T



X�

- CX = 0



��



T�

- a 2 CT = 0





(3.60)

(3.61)



 Trường hợp 1: Đặt C = λ 2 > 0



Thay vào (3.60) ta được: X�

- λ2X = 0

λx

-λx

Phương trình (3.60) có nghiệm dạng: X  x  = A1e + A 2e



(3.62)



trong đó A1, A2 là các hằng số tùy ý.

Sử dụng điều kiện biên:

�v x = 0 = 0



�v x = L = 0

A1 +A 2 =0



� � λl

A1e +A 2 e-λl =0







�X  x  x=0 = 0

��

X  x  x=L = 0



�A = 0

��1

A2 = 0





(3.63)



64



Thay (3.63) vào (3.62) thì X  x  = 0 � u  x, t  = 0

Bài toán cho nghiệm tầm thường



 Trường hợp 2: Đặt C = 0



=0

Thay vào (3.60) ta được X�



Phương trình (3.60) có nghiệm dạng: X  x  = B1x + B2



(3.64)



trong đó B1, B2 là các hằng số tùy ý.

Từ điều kiện biên:

�v x = 0 = 0



�v x = L = 0

B =0



� �2

B1L+B2 = 0







�X  x  x = 0 = 0

��

X x x = L = 0



�B = 0

� �1

B2 = 0





(3.65)



Thay (3.65) vào (3.64) thì X  x  = 0 � u  x,t  = 0

Bài toán cho nghiệm tầm thường

 Trường hợp 3: Đặt C = -λ2 < 0



Thay vào (3.60) ta được: X�

+λ 2 X=0



Phương trình (3.60) có dạng: X  x  = C1cosλx + C2sinλx

trong đó C1, C2 là các hằng số tích phân.

Sử dụng điều kiện biên:

�v x = 0 = 0



�v x = L = 0





�X  x  x = 0 = 0

��

X x x = L = 0





C =0

C =0





� �1

� �1

C1cosλL + C2sinλL = 0

C 2sinλL = 0







65



(3.66)



Để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường thì C 2 �0

� sinλL = 0 � λL = kπ



�λ=



 k �Z 





L



(3.67)



Thay C1 = 0 và (3.67) vào (3.66) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một hàm X k(x)

tương ứng dạng: X k  x  = C k sin



kπx

L



(3.68)



Thay (3.67) vào phương trình (3.61) thì ứng với mỗi giá trị của k ta có một phương

trình tương ứng đối với Tk(t) dạng:



Tk�

 t +



a 2 kπ2

L2



2



� Tk  t  = D k cos



Tk  t  = 0

kπat

kπat

+ E k sin

L

L



(3.69)



trong đó Dk, Ek là hằng số tùy ý.

Thay (3.68) và (3.69) vào (3.58) thì ứng với mỗi cặp  X k  x  ;Tk  t   ta xác

định tương ứng một nghiệm riêng vk(x,t) dạng:

kπat

kπat � kπx



v k  x,t  = X k  x  Tk  t  = �

a k cos

+ b k sin

sin



L

L � L





(3.70)



với a k = D k C k , b k = E k Ck

Nghiệm v(x,t) thu được là chồng chập của các nghiệm riêng:





kπat

kπat � kπx



v  x,t  = �v k  x,t  = ��

a k cos

+ b k sin

sin



L

L � L

k=1

k = 1�



Sử dụng điều kiện ban đầu (3.44):



66



(3.71)



x



v t=0 = f  x  - A-  B- A 



L





��v = g  x 



��t t=0

kπx

x

��

��a k sin L = f  x  - A - L  B - A 

�= 1

� �k �

� kπa b sin kπx = g  x 

� k L



�k = 1 L

L



2 �

x

� kπx

a

=

f  x - A -  B - A �

sin

dx

�k





L

L

L







0

��

L

2

kπx



bk =

g  x  sin

dx





kπa 0

L



L



2

kπx

2Bcoskπ 2A

ak = �

f  x  sin

dx +



L0

L







��

L

2

kπx



bk =

g  x  sin

dx





kπa

L

0





L



2 B - A

2

kπx

2A

ak = �

f  x  sin

dx +

coskπ

 coskπ - 1 +



L0

L







��

L

2

kπx



bk =

g  x  sin

dx



� kπa

L

0





(3.72)



Thay (3.72) vào (3.71) thì v(x,t) là hồn tồn tường minh:

L

� �

� kπat

kπ x

2

��2

v  x, t  = ��� �

f  x  sin

dx+

cos

+

 Bcoskπ - A  �

L0

L



k =1 �



� L



�2 L

kπx � kπat �

� kπx

+� �

g  x  sin

dx �

sin

�sin

kπa 0

L



� L � L



(3.73)



Thay (3.53), (3.56) và (3.72) vào (3.43) thì nghiệm u(x,t) là hồn toàn tường minh:

u  x,t  =



 B-A  x

L



+A+



��2 L

� kπat

kπx

2



f  x  sin

dx +

cos

+

 Bcoskπ - A  �

�� �



L0

L



k = 1�



� L





67



�2 L

kπx � kπat �

� kπx

� �

g  x  sin

dx �cos

�sin

kπa 0

L

L � L







Vận dụng phương pháp đặt hàm phụ giải các bài toán sau

Bài tốn 1: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

�0 �x �L

�2 u 2 �2 u

D

:

a

=

0

trên

miền



0 �t �+�

�t 2

�x 2





u t = 0 = f  x



với điều kiện ban đầu: ��

u

= g x

��

�t t=0



và điều kiện biên:



��

u

=A

��

� x x=0



u x=L =B





Đáp số:

u  x,t  =



 B - A x + A +

L



L



� kπat

kπx

2

��2

f  x  sin

dx +

cos

 Bcoskπ - A  �

�� �



L

L



k = 1�

�0

� L





�2 L

kπx � kπat �

� kπx

+� �

g  x  sin

dx �cos

�sin

kπa 0

L

L � L







Bài tốn 2: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

2

0 �x �L



�2 u

2 �u

a

= 0 trên miền D : �

2

2

0 �t �+�



t



x







u t=0 = f  x 



với điều kiện ban đầu: ��u

= g x

��t

� t=0



68



và điều kiện biên:



��

u

= Acosαt

��

�x x = 0



u

��

= Bsinβt



x x=l

��



βx

acos

αx

αL

αx

aA





a Bsinβt

+ cotg

cos � cosαt Đáp số: u  x,t  = �sin

βL

a

aα�

� a

βsin

a

�1 L

� 1L

+ ��

G  x  dx �t + �

F  x  dx +

L0



� L0

l

L

� �

� kπx

kπx � kπat �2

kπx � kπat �

��2

+ ��� �

G  x  cos

dx �

sin

+ ��

F  x  cos

dx �cos

�cos

kπa 0

L

L

L0

L

L �

L

k =1�











69



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Bài toán 1: Tìm nghiệm u(x,t) của phương trình

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×