Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Trong đó và là các đa thức bậc m, n; là hằng số thực.

Trong đó và là các đa thức bậc m, n; là hằng số thực.

Tải bản đầy đủ - 0trang

Để xác định Q1(x), R1(x) thay y* vào phương trình rồi cân bằng hệ số của

sinβx , cosβx .



1.2. Chuỗi Fourier

1.2.1. Khái niệm chuỗi Fourier







1,sin

Tập các hàm �



nπx

nπx �

,cos

�là các hàm riêng trực giao nhau trong khoảng

L

L



(-L,L). Hàm f(x) được gọi là trơn từng khúc trong một khoảng nào đó có nghĩa là

khoảng này có thể chia ra nhiều khoảng nhỏ, mà trong mỗi khoảng nhỏ đó, hàm f(x)

và đạo hàm f’(x) liên tục.

Tập các hàm trực giao ở trên có thể dùng để biểu diễn hàm trơn từng khúc f(x)







n = 1�



dưới dạng chuỗi: f(x) = a 0 + ��a n cos



nπx

nπx �

+ b n sin



L

L �



(1.12)



(1.12) được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng (-L,L)

Các hằng số a 0 , a n và b n được gọi là các hệ số Fourier của chuỗi, trong đó:

a0 =



 f,l 

l



2



L



1



f(x)dx .

2L -L�



nπx �



f,cos



� L

nπx

L � 1



an =

 �

f(x)cos

dx .

2

L -L

L

nπx

cos

L

� nπx �

f,sin



� L

nπx

L � 1



bn =

 �

f(x)sin

dx .

2

L -L

L

nπx

sin

L



1.2.2. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier

 Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là:

- Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hồn với chu kỳ 2L



7



- Hàm f(x) có một số hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các

điểm gián đoạn trong khoảng (-L,L).

 Giả sử khoảng (-L,L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x). Chuỗi Fourier xác

định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x), khi đó cho phép khai triển

tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng Fourier đầy đủ.

 Dấu bằng (=) trong biểu thức (1.12) có thể được trình bày bằng dấu gần bằng

(), có nghĩa là "tương đương với ", bởi vì chuỗi bên phải khơng phải hội tụ thành

hàm f(x) đối với mọi giá trị của x. Chuỗi Fourier chỉ biểu diễn hàm f(x) trong

khoảng Fourier đầy đủ.

% là sự mở rộng của hàm

Một cách chọn khác, người ta có thể xác định hàm f(x)

% là mở rộng tuần hoàn của

f(x) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ. Như vậy, hàm f(x)

%

% , ngược lại hàm f(x) đối với mọi x

= f(x)

hàm f(x), -L  x  L có tính chất f(x+2L)



khơng phải là hàm tuần hồn.

 Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi các hệ số a o, an và bn được

tính cụ thể. Do đó, có một số hàm khơng có biểu diễn chuỗi Fourier, ví dụ như các

hàm:



1 1

,

khơng có biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier trong khoảng (-L,L). Chú

x x2



ý rằng, các hàm này không xác định ở một hoặc vài điểm trong khoảng (-L,L).

 Hàm f(x) được gọi là có bước nhảy gián đoạn tại điểm xo nếu:

f  x -o  = lim f  x 0 - ε  �f  x 0+  = lim f  x 0 + ε 

 �0

 0



 �0

 0



 x  là hàm liên tục từng khúc trong khoảng (-L,L) thì

Nếu hàm f(x) và hàm f �

biểu diễn chuỗi Fourier của hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện:

 Hội tụ về hàm f(x) tại điểm mà hàm f(x) là liên tục.



8







Hội tụ về đoạn mở rộng tuần hoàn của hàm f(x) nếu x ở ngoài khoảng



Fourier đầy đủ.

+ Tại điểm x0 có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi Fourier của

hàm f(x) hội tụ về



1



f  x 0+  +f  x 0-  �



�là giá trị trung bình của giới hạn trái và phải

2



của bước nhảy gián đoạn.





N

nπx

nπx �



S

x

=

a

+

a n cos

+ bn sin

Hàm N  

0 �



�được gọi tổng riêng thứ N, nó biểu

L

L �

n = 1�



diễn tổng của N số hạng đầu tiên. Người ta thường vẽ xấp xỉ hàm SN  x  khi biểu

diễn chuỗi Fourier bằng đồ thị. Hàm f(x) bất kỳ có một điểm bước nhảy gián đoạn

thì hàm SN  x  có đồ thị tại lân cận bước nhảy gián đoạn là dạng hàm dao động.

Hiệu ứng này gọi là hiệu ứng Gibb. Hiệu ứng Gibb luôn có mặt khi người ta dùng

một chuỗi hàm liên tục để biểu diễn một hàm gián đoạn, hiệu ứng này vẫn tồn tại

cho dù tăng giá trị N rất lớn.





Chuỗi có dạng: a 0 +











a cos

��



n



n=1



Có thể viết dưới dạng: a 0 +







nπx

nπx �

+ b n sin



L

L �

�nπx



�C sin �

�L

n



n=1





+ n �



�a �

�b n �



Trong đó: C n = a n2 +b n2 được gọi là biên độ; φ n = arctg � n �được gọi là pha; số

�nπx



+φ n �được gọi là dao động điều hòa thứ n. Dao động điều

�L





hạng thứ n: C n sin �



hòa thứ nhất (n = 1) được gọi là dao động điều hòa cơ bản.

1.2.3. Hàm chẵn và hàm lẻ

Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn của x nếu f(-x) = f(x) với mọi giá trị của x,

hàm chẵn đối xứng dọc theo trục y. Hàm f(x) được gọi là hàm lẻ của x nếu



9



f(-x) = -f(x) với mọi giá trị của x. Các tính chất sau của hàm chẵn và hàm lẻ cho



phép đơn giản biểu diễn Fourier.

L



L



-L



0



f  x  dx = 2 �

f  x  dx





 Nếu f(x) là một hàm chẵn của x thì



Thật vậy, vì f(x) là hàm chẵn nên f(-x) = f(x) , do đó:

L



0



L



L



L



L



-L



-L



0



0



0



0



fξ dξ

ξ dξ

ξ dξ

ξ dξ

 = f�ξ dξ

 + f�ξ dξ = f�

 + f�

 = 2 f�





L



f  x  dx = 0

 Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là f(-x) = - f(x) thì �

-L



L



0



L



L



L



-L



-L



0



0



0



fξ dξ

ξ dξ

-ξ dξ

ξ dξ

 = f�ξ dξ

 + f�

 = f�

 + f�

 =0

Thật vậy: �



 Tích của hai hàm chẵn là một hàm chẵn, tích của hai hàm lẻ là một hàm chẵn,

tích của một hàm chẵn với một hàm lẻ là một hàm lẻ.

- Nếu f(x) là một hàm lẻ, biểu diễn (1.12) có dạng:

f(x) =







�b sin

n



n=1



nπx

,0
L



L



2

nπx

f  x  sin

dx .

trong đó: b n = �

L0

L



- Nếu f(x) là một hàm chẵn, biểu diễn Fourier của nó là:

f  x  = a0 +







�a cos

n



n=1



nπx

,0
L



trong đó a0 và an được xác định theo công thức:

L



L



1

2

nπx

a0 = �

f  x  dx ; a n = �

f  x  cos

dx .

L0

L0

L



1.2.4. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier



10



1.2.4.1. Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác

Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác có dạng:

f  x  = a0 +











a cos

��



n



n=1



nπx

nπx �

+ b n sin

�, -L < x < L

L

L �



Với các hệ số:

a0 =



 f,l 

l



2



L



=



1

f(x)dx .

2L -L�



nπx �



f,cos



� L

nπx

L � 1

an = �

 �

f(x)cos

dx .

2

L -L

L

nπx

cos

L

� nπx �

f,sin



� L

nπx

L � 1



bn =

 �

f(x)sin

dx .

2

L -L

L

nπx

sin

L



Đơi khi người ta còn biểu diễn dưới dạng đối xứng sau:

f  x =



A0

+

2







nπx

nπx �

+ Bn sin

�, -L < x < L

L

L �







A cos

��



n



n=1



L



trong đó: A n =



L



1

nπx

1

nπx

f  x  cos

dx và Bn = �

f  x  sin

dx .



L -L

L

L -L

L



Ngoài ra, trong một số trường hợp dạng của hàm f(x) được xác định như sau:

 Trường hợp 1: Hàm f(x) xác định trong khoảng   x  2L

Với f  x + 2L  = f  x  có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như

sau:

f(x) = a 0 +











a cos

��



n



n=1



nπx

nπx �

+ b n sin



L

L �



Với các hệ số được xác định theo công thức:



11



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Trong đó và là các đa thức bậc m, n; là hằng số thực.

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×