Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Giai các bài thách thc vol.3

Giai các bài thách thc vol.3

Tải bản đầy đủ - 0trang

The art of Mathematics — 39/48

Thử thách 2. Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng



a

4( a3 + bc)



3



+



b

4(b3 + ca)



3



c



+



4(c3 + ab)



3







3

2abc



Đề xuất bởi Lê Minh Cường



Lời giải 1 của Nguyễn Đức Việt

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có

a

3



3



4 ( a3 + bc)



a





=



8. a3 bc



1

2



6



a3

bc



1

12



1

+a+a+a+1+1

bc



Tương tự, ta có

a

3



4( a3 + bc)



+



b

3



4(b3 + ca)



+



c

3



1

1

1

+ + + 15

ab bc ca



1

12



4(c3 + ab)



Ta cần chứng minh rằng

1

12



1

1

1

3

+ + + 15

ab bc ca

2abc

1

1

1

1

1

1

1



+ + + 15

+

+

12 ab bc ca

2ab 2bc 2ca

1

1

1

+ +

3



ab bc ca

Bất đẳng thức trên đúng theo bất đẳng thức AM-GM và CBS:

1

1

1

+ +

ab bc ca



9

ab + bc + ca



27



( a + b + c )2



=3



Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.



Lời giải 2 của Đặng Tiến Dũng

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có

a

3



4( a3 + bc)



+



Mặt khác ta có

abc



b

3



4(b3 + ca)



+



c

3



4(c3 + ab)



( a + b + c )3

= 1 ⇒ abc

27





6



1

2





6



abc ⇒



a

a3 bc



3

2abc



+√

6



b

b3 ca



3



6

2 abc



+√

6



c

c3 ab



The art of Mathematics — 40/48



Ta cần chứng minh rằng





6



a

a3 bc



+√

6



b



+√

6



b3 ca



c





6



c3 ab



3

abc









3



a2 +





3



b2 +





3



c2



3



Theo bất đẳng thức AM-GM ta có





3



a2 +





3





3



b2 +



a+a+1 b+b+1 c+c+1

+

+

=3

3

3

3



c2



Thử thách 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng



a2



( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )



+



b2



(b2 + bc + c2 ) (b2 + ba + a2 )



+



c2



(c2 + ca + a2 ) (c2 + cb + b2 )



Đề xuất bởi Nguyễn Ngọc Tú



Lời giải 1 của Nguyễn Đức Việt

Bất đẳng thức trên tương đương với



∑ a2



b2 + bc + c2



⇔ 2 ∑ a2 b2



2



a2 + ab + b2



b2 + bc + c2



( a2 + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 )



c2 + ca + a2



∑ a3 b3 + 2abc ∑ a2 b + ∑ ab2



+ 3a2 b2 c2



Mặt khác theo bất đẳng thức CBS, ta có



( a2 + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 )



a+



c

2



2



+



3c2

.

4



b+



c

2



2



+



3c2

4



a+



c

2



b+



c

3c2

+

2

4



Tương tự, ta có

LHS



2 ∑ a2 b2



a+



c

2



b+



c

3c2

+

2

4



Đặt x = ab, y = bc, z = ca, ta quy bài toán về

2 ∑ a2 b2



a+



c

2



b+



⇔ x3 + y3 + z3 + 3xyz



c

3c2

+

2

4



∑ a3 b3 + 2abc ∑ a2 b + ∑ ab2



x2 y + xy2 + y2 z + yz2 + x2 z + xz2



Đúng theo bất đẳng thức Schur bậc 3.



Lời giải 2 của Nguyễn Ngọc Tú



+ 3a2 b2 c2



1



The art of Mathematics — 41/48



Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có







a2



1





( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )



( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )

a2 + b2

a2

+

=∑ 2



( a + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )

( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 )

a



1

= ∑

2



+∑



( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )







2



b



(b2 + ba + a2 ) (b2 + bc + c2 )



a2 + ab + b2



( a2 + ab + b2 )



( a2 + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 )

a2 + ab + b2

∑ (a2 + ab + b2 ) (a2 + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 )

1

=∑

2

2

2

( a + ab + b ) ( a + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 )

Vậy

a2



( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )



+



b2



(b2 + bc + c2 ) (b2 + ba + a2 )



+



c2



(c2 + ca + a2 ) (c2 + cb + b2 )



Lời giải 3 của Đỗ Quốc Chính

Ta có



a2



( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )

=



a2



( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )

( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )



3c2

c 2 3c2

.

b+

+

4

2

4

=

( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )

c

c

3c2

a2 a +

b+

+

2

2

4

2

2

2

( a + ab + b ) ( a + ac + c2 )

a2 a2 + ab + ca + 2bc

1

= . 2

2 ( a + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )

a2



a+



c 2

2



+



Vậy







a2



( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )



Dành cho THPT



a2 a2 + ab + ca + 2bc

1

.∑ 2

=1

2

( a + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 )



1



The art of Mathematics — 42/48

Thử thách 4. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi số thực dương a, b, c



a3 + b3 + c3

abc



b2 + c2 1

+

2

b



1

a



c2 + a2 1

+

2

c



a2 + b2

2



Đề xuất bởi Nguyễn Việt Hùng



Lời giải 1 của Diego Alvariz

Ta có

1

a



=



b2 + c2 1 c2 + a2 1 a2 + b2

+

+

2

b

2

c

2

1 b2 + c2

1 c2 + a2

1 a2 + b2

.

+

.

+

.

a 2a

b 2b

c

2c

b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2

+

+

2a

2b

2c



1 1 1

+ +

a b c



=



1

abc



1

. ( ab + bc + ca) ( ab3 + a3 b + ac3 + a3 c + bc3 + b3 c)

2



Mặt khác ta có

a2 + b2 + c2

a2 + b2 + c2



2

2



3 ab3 + ac3 + bc3

3 a3 b + b3 c + ac3



Vì vậy

1

1

. ( ab + bc + ca) ( ab3 + a3 b + ac3 + a3 c + bc3 + b3 c)

abc 2

a2 + b2 + c2 √



. ab + bc + ca

3abc

Nhưng theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có

a2 + b2 + c2 √



. ab + bc + ca

3abc



a2 + b2 + c2 ( a + b + c )

3abc



a3 + b3 + c3

abc



Vậy

a3 + b3 + c3

abc



1

a



b2 + c2 1

+

2

b



c2 + a2 1

+

2

c



Lời giải 2 của Triệu Tấn Hưng



a2 + b2

2



The art of Mathematics — 43/48



Ta có



a3 + b3 + c3

1



abc

a



b2 + c2 1

+

2

b



c2 + a2 1

+

2

c



a2 + b2

2



a3 + b3 + c3 ≥ bc



b2 + c2

+ ca

2



c2 + a2

+ ab

2



a2 + b2

2



Hay



Mặt khác theo bất đẳng thức Holder inequality, ta có

a3 + b3



a3 + b3 (1 + 1) ≥ a2 + b2



3



Nhưng

a2 + b2



3



2



= a2 + b2



a2 + b2 ≥ 4a2 b2 a2 + b2



Vậy

2 a3 + b3



2



Hay

a3 + b3 ≥



≥ 4a2 b2 a2 + b2





Tương tự, ta có



2ab







b3 + c3







c3 + a3



a2 + b2



2bc



b2 + c2



2ca



c2 + a2



Vậy

a3 + b3 + c3

abc



1

a



b2 + c2 1

+

2

b



c2 + a2 1

+

2

c



a2 + b2

2



Lời giải 3 của Nguyễn Thanh Hiếu

Ta có



a3 + b3 + c3

1



abc

a



b2 + c2 1

+

2

b



c2 + a2 1

+

2

c



a2 + b2

2



a3 + b3 + c3 ≥ bc



b2 + c2

+ ca

2



c2 + a2

+ ab

2



a2 + b2

2



Hay



Ta cần chứng minh rằng

a3 + b3

≥ ab

2



a2 + b2

2



Bất đẳng thức trên tương dương với

a3 + b3 ≥





ab.2.



ab



a2 + b2

2



The art of Mathematics — 44/48



Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có

2.

Mặt khác, ta có



ab



a2 + b2

a2 + b2

( a + b )2

≤ ab +

=

2

2

2







3

2

(

a

+

b

)

2

ab

(

a

+

b

)

ab( a + b)2

a3 + b3 ≥



=

4

4

2



Ta chứng minh rằng

a3 + b3

≥ ab

2



a2 + b2

2



Tương tự ta có

a3 + b3 + c3

abc



b2 + c2 1

+

2

b



1

a



c2 + a2 1

+

2

c



a2 + b2

2



Lời giải 4 của Đặng Tiến Dũng

Ta có

4 a3 + b3



( a + b)3 = ( a + b) a2 + 2ab + b2





2 ab.2



( a2 + b2 ) .2ab = 4ab 2 ( a2 + b2 )



Vậy

a3 + b3

2abc



1

c



a2 + b2

2



Tương tự ta thu được

b3 + c3

2abc



1

a



b2 + c2 c3 + a3

,

2

2abc



a3 + b3 + c3

abc



1

a



b2 + c2 1

+

2

b



1

b



c2 + a2

2



Vậy

c2 + a2 1

+

2

c



a2 + b2

2



Thử thách 5. Nếu x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 3 thì



27 + 6xyz + 5



x

y

z

+

+

9 − 4yz 9 − 4zx 9 − 4xy



12 ( xy + yz + zx )

Đề xuất bởi Đỗ Quốc Chính



Lời giải 1 của Nguyễn Thanh Hiếu



The art of Mathematics — 45/48



Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có

x3 + y3 + z3 + 3xyz ≥ ∑ xy( x + y)



⇔ ( x + y + z)( x2 + y2 + x2 ) + 3xyz ≥ 2 ∑ xy( x + y)



⇔ 3( x2 + y2 + x2 ) + 9xyz ≥ 2( x + y + z)( xy + yz + zx )

⇔ 3( x + y + z)2 + 9xyz ≥ 12( xy + yz + xz)

⇔ 27 + 9xyz ≥ 12( xy + yz + xz)

12( xy + yz + xz) − 27

⇔ xyz ≥

9



Chú ý rằng

4xy ≤ ( x + y)2 < ( x + y + z)2 = 9 ⇔ 9 − 4xy > 0

Ta có



y

z

( x + y + z )2

9

x

+

+



=

9 − 4yz 9 − 4zx 9 − 4xy 9( x + y + z) − 12xyz 27 − 12xyz



Đặt a = xy + yz + xz, với a ≤



( x + y + z )2

= 3. Ta cần chứng minh rằng

3



27 + 6.



12a − 27

+ 5.

9



9

≥ 12a

12a − 27

27 − 12.

9



Bất đẳng thức trên tương đương với

4( a − 3)(16a − 51)

≥0

63 − 16a

Luôn đúng do a ≤ 3.



Lời giải 2 của Đặng Tiến Dũng

Đặt p = a + b + c = 3, q = ab + bc + ca, r = abc.

LHS = p3 + 6r + 5 ∑



x

; RHS = 4pq

9 − 4yz



Theo bất đẳng thức Schur bậc 3 ta có

P = 5∑



x

9 − 4yz



3r



Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarzt, ta có

P = 5∑



x

9 − 4yz



5.



p2

45

=

9p − 12r

27 − 12r



The art of Mathematics — 46/48



Ta cần chứng minh rằng

45

27 − 12r



3r ⇔ 45 + 36r2



81r



Bất đẳng thức trên đúng theo AM-GM.

36r2 + 36

9 9r



72r



Thử thách 6. Cho a1 , a2 , ..., an là các số thực dương, n là số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh



rằng

n



n

1

1



n − 1 i,j=1,i = j 1 + ai a j



1







i =1 (1 + a i )



2



Đề xuất bởi Phạm Hữu Hiệp



Lời giải của Nguyễn Đứcc Việt, Đỗ Quốc Chính

Đầu tiên, ta chứng minh Bổ đề. sau:

Nếu a, b là các số thực dương thì

1



(1 + a )



+



2



1



(1 + b )



1

1 + ab



2



Bất đẳng thức trên được đề xuất bởi Vasile Cirtoaje, 1994.

Chứng minh. Theo bất đẳng thức CBS, ta có

1

b

1

( a + b) b +

a



( a + 1)2



( a + b) a +



( b + 1)2



Vậy

1



(1 + a )



2



+



1



1



(1 + b )



2



Nên



( a + b) a +

1



(1 + a i )



2



+



1

b



( a + b) b +



1

1 + aj



1



+



2



1

1 + ai a j



Hoàn toàn tương tự, ta có

n







1



i =1 (1 + a i )



2



n

1

1



n − 1 i,j=1,i = j 1 + ai a j



1

a



=



1

1 + ab



The art of Mathematics — 47/48



6. Giải đáp câu đố thú vị: Khung số 4 × 50 trong vol.3

Các bạn hãy chia khung số (xem ảnh phía dưới) ra thành 4 phần bằng nhau về hình dạng và

kích thước sao cho tổng các số của mỗi phần là 50.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Giai các bài thách thc vol.3

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×