Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Biên tp viên, cng tác viên, các tác gia và các thành viên tham gia vol.4

Biên tp viên, cng tác viên, các tác gia và các thành viên tham gia vol.4

Tải bản đầy đủ - 0trang

The art of Mathematics — 4/48



• Trần Hồng Nam.

Học sinh trường THPT Nguyễn Du, Vũng Tàu, Việt Nam..

Các thành viên tham gia vol.4

• Diego Alvariz.

Kolkata, West Bengal, Ấn Độ - Thành viên của tạp chí tốn học Romania, RMM.

• Nguyễn Việt Hùng.

Giáo viên trường THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội, Việt Nam.

• Nguyễn Ngọc Tú.

Giáo viên trường THPT chuyên Hà Giang, Hà Giang, Việt Nam.

• Hồng Lê Nhật Tùng.

Sinh viên trường ĐH Sư Phạm Hà Nội, Việt Nam.

• Tiến Sĩ Tạ Hồng Quảng.

Vũng Tàu, Việt Nam - Huy chương đồng IMO năm 1974.

• Sanong Huayrerai..

Nakon Pathom, Thái Lan - Thành viên của tạp chí tốn học Romania, RMM..

• Sarah El.

Thành viên của tạp chí tốn học Romania, RMM..

• Christos Eythymioy.

Athens, Hy Lạp - Thành viên của tạp chí tốn học Romania, RMM..

• Nguyễn Đức Việt.

Học sinh trường THPT Ngơ Gia Tự, Vĩnh Phúc, Việt Nam..

• Triệu Tấn Hưng.

Học sinh trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam, Việt Nam..

• Trần Hoàng Nam.

Học sinh trường THPT Nguyễn Du, Vũng Tàu, Vit Nam..

Marion Cucones.

Focsáani, Romania - Thnh viờn ca tp chí tốn học Romania, RMM..

• Đỗ Hữu Đức Thịnh.

Học sinh trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TPHCM, Việt Nam.

• Đỗ Quốc Chính.

Học sinh trường THPT Ngơ Gia Tự, Vĩnh Phúc, Việt Nam.

• Đặng Quốc Thành.

Học sinh trường THPT chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh, Việt Nam.

• Trần Nguyễn Quy.

Học sinh trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi, Việt Nam.



The art of Mathematics — 5/48



• Prompt Kerdphoksup.

Học sinh trường THCS Suankularb Wittayalai, Băng Cốc, Thái Lan.

• Phan Ngọc Châu.

Học sinh trường THPT số 1 Phù Cát , Bình Định, Việt Nam.

• Đặng Tiến Dũng.

Học sinh trường THCS Hai Bà Trưng, Vĩnh Phúc, Việt Nam.

• Nguyễn Bá Linh.

Học sinh trường THPT Quỳnh Lưu, Nghệ An, Việt Nam

• Rich Choi.

Học sinh trường THCS Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam.

• Fozi M Dannan.

Thành viên của tạp chí tốn học Romania, RMM.

• Nguyễn Thanh Hiếu.

Sinh viên trường ĐH Bách Khoa Hà Nội, Hà Nội, Việt Nam.



The art of Mathematics — 6/48



2. Tính giá trị biểu thức

Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn



P=



a

b

c

= = . Tính giá trị của biểu thức:

b

c

a



4a + 6b + 2017c

4a − 6b + 2017c

Đề thi vào 10, Chuyên Bắc Ninh, 2017



Ta có



a

b

c

a+b+c

= = =

=1⇒a=b=c

b

c

a

b+c+a



Suy ra

P=



4a + 6a + 2017a 2027

=

4a − 6a + 2017a 2015

1 1 1 1

+ + = . Tính giá trị của biểu

a b c

3



Bài toán 2. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 3 và



thức:



P = ( a − 3)2017 .(b − 3)2017 .(c − 3)2017

Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định vòng 2, 2017



Ta có



( a − 3)(b − 3)(c − 3) = abc + 9( a + b + c) − 3( ab + bc + ca) − 27 = abc − 3( ab + bc + ca)

Mặt khác, ta có

1 1 1 1

+ + =

a b c

3

⇔ abc = 3( ab + bc + ca)

Vậy P = 0.

Bài toán 3. Cho a là số thực dương, a > 1 và x =



biểu thức:



a+







a2 − 1 +



a−







a2 − 1. Tính giá trị của



P = x3 − 2x2 − 2 ( a + 1) x + 4a + 2021

Đề thi vào 10, Sở giáo dục Quãng Ngãi, 2017



Từ a > 1 ta suy ra a2 > 1 ⇒ x =

Ta có



a+







a2 − 1 +



a−







a2 − 1 xác định và x > 0.



2



x2 =



=a+



a+



a2 − 1 +



a2 − 1 + 2



a−



a+



a2 − 1



a2 − 1.



a−



a2 − 1 + a −



a2 − 1



The art of Mathematics — 7/48



= 2a + 2

Thay vào P ta có

P = x2 .x − 2x2 − 2 ( a + 1) x + 4a + 2021

= 2( a + 1) x − 2(2a + 2) − 2( a + 1) x + 4a + 2021 = −4a − 4 + 4a + 2021 = 2017





Vậy P = 2017 khi x = a + a2 − 1 + a − a2 − 1.

Bài toán 4. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn a2 + b = b2 + c = c2 + a. Tính giá



trị của biểu thức:

T = ( a + b − 1)(b + c − 1)(c + a − 1).

Đề thi vào 10, Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ, Vòng 1, 2017

Ta có

a2 + b = b2 + c

⇒ ( a − b)( a + b) = c − b

c−b

⇒a+b=

a−b

c−a

⇒a+b−1=

a−b

b−c

a−b

và c + a − 1 =

.

Tương tự, ta có b + c − 1 =

b−c

c−a

Suy ra T = 1.

Bài toán 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãnab + a + b = 1. Chứng minh rằng



1 + ab



b

a

+

=

2

1+a

1 + b2



2(1 + a2 )(1 + b2 )



.



Đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội vòng 2, 2017

a

b

+

=

2

1+a

1 + b2



1 + ab

2(1 + a2 )(1 + b2 )



⇔ ( a + b + ab2 + ab2 + 1) 2(1 + a2 )(1 + b2 ) = (1 + ab)(1 + a2 )(1 + b2 )

⇔ ( a + b)(1 + ab) 2(1 + a2 )(1 + b2 ) = (1 + ab)(1 + a2 )(1 + b2 )

⇔ 2( a + b)2 = (1 + a2 )(1 + b2 )

⇔ a2 + b2 + 4ab = 1 + a2 b2

⇔ ( a + b)2 = (1 − ab)2

Do a, b > 0 và ab + a + b = 1 nên 0 < a, b < 1 và

ab + a + b = 1 ⇔ a + b = 1 − ab ⇔ ( a + b)2 = (1 − ab)2



The art of Mathematics — 8/48



1



1



2



+

=

Bài toán 6. Cho x, y là các số thực thỏa mãn x = y và 2

. Tính giá trị biểu

xy + 1

x + 1 y2 + 1

thức:

S=



x2



1

1

2

+ 2

+

+ 1 y + 1 xy + 1

Đề thi vào 10, Trường THPT chuyên ĐHSP - Vòng 1, 2017



Ta có

x2



1

2

1

+ 2

=

+ 1 y + 1 xy + 1



⇒ (y2 + 1)( xy + 1) + ( x2 + 1)( xy + 1) = 2( x2 + 1)(y2 + 1)

⇔ xy3 + x3 y − 2x2 y2 = x2 − 2xy + y2

⇔ xy( x − y)2 = ( x − y)2

⇔ ( x − y)2 ( xy − 1) = 0

⇔ xy = 1 ( do x = y)

Suy ra,

1

1

2

+ 2

+

+ 1 y + 1 xy + 1

1

x2

+

+1

= 2

x + 1 x2 + 1

2

2x + 2

= 2.

= 2

x +1



S =



x2



Vậy S = 2.

Bài toán 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c +



a(2 − b)(2 − c) +



b(2 − c)(2 − a) +







2abc = 2. Chứng minh rằng



c(2 − a)(2 − b) =









8+



abc



Đề thi vào lớp 10 chuyên, Sở giáo dục Lâm Đồng, 2017

Ta có

a(2 − b)(2 − c) = a(4 − 2(b + c) + bc)



= a(2a + 2 2abc + bc)

√ 2



=a

2a + bc

Vậy



√ √





√ √

bc + b

2b + ca + c

2c + ab





= 2( a + b + c) + 3 abc



VT =







a











2a +



The art of Mathematics — 9/48







2 2 − 2abc + 3 abc





= 2 2 + abc = VP



=







Bài toán 8. Cho x, y, z là các số thực đôi một khác nhau x + y + z = 0. Tính giá trị biểu thức:



P=



2018( x − y)(y − z)(z − x )

2xy2 + 2yz2 + 2zx2 + 3xyz

Đề thi vào 10, Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, 2017



Ta có

2xy2 + 2yz2 + 2zx2 + 3xyz = 2xy2 + xyz + 2yz2 + 2zx2 + 2xyz



= xy (2y + z) + 2yz2 + 2xz ( x + y)

= xy (2y + z) + 2yz2 − 2xz2

= xy(y − x ) + 2z2 (y − x )

= (y − x )( xy + 2z2 )

= (y − x )( xy + z2 + z2 )

= (y − x )[ xy + z2 − z ( x + y)]

= (y − x ) ( x − z) (y − z)

Từ đó suy ra,

P=



2018( x − y)(y − z)(z − x )

= 2018

( x − y)(y − z)(z − x )



Bài toán 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2, ab + bc + ca = 1. Chứng minh



rằng

















b2 + 1. c2 + 1

c2 + 1. a2 + 1

a2 + 1. b2 + 1







+

+

=4

a2 + 1

b2 + 1

c2 + 1

Đề xuất bởi Phạm Quốc Sang



Ta có









b2 + 1. c2 + 1



=

a2 + 1



(b + a) (b + c) . (c + a) (c + b)

=b+c

( a + b) ( a + c)



Tương tự, ta có













b2 + 1. c2 + 1

c2 + 1. a2 + 1

a2 + 1. b2 + 1







+

+

= 2 ( a + b + c) = 4

a2 + 1

b2 + 1

c2 + 1

Chú ý. Từ đẳng thức trên, ta có thể chứng minh bất đẳng thức dưới đây:

Nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1 thì















b2 + 1. c2 + 1

c2 + 1. a2 + 1

a2 + 1. b2 + 1







+

+

≥2 3

a2 + 1

b2 + 1

c2 + 1



The art of Mathematics — 10/48



Bài toán 10. Cho x +







2011 + x2



y+



2011 + y2 = 2011. Tính giá trị biểu thức:



P = x2011 + y2011

Học sinh giỏi tốn 9, Phú Thọ, 2011-2012

Ta có







2011 + x2 y + 2011 + y2 = 2011







⇔ x + 2011 + x2

2011 + x2 − x y + 2011 + y2 = 2011

2011 + x2 − x



⇔ 2011 y + 2011 + y2 = 2011

2011 + x2 − x



(1)

⇔ y + 2011 + y2 = 2011 + x2 − x

x+



Tương tự, ta có

x+



2011 + x2 =



2011 + y2 − y



(2)



Lấy (1) + (2), ta có

x + y = 0 ⇔ x = −y

Vậy

P = x2011 + y2011 = 0

Chú ý. Ta có thể tổng qt bài tốn như sau:



If x + a + x2 y + a + y2 = a ( a > 0) thì

P = x2n+1 + y2n+1 = 0 (n ∈ N )



Bài toán 11. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau thỏa a3 + b3 + c3 = 3abc và abc = 0. Tính



giá trị biểu thức:

P=



ab2

bc2

ca2

+

+

a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2

Đề thi vào lớp 10, TP Hà Nội, 2016



Ta có



a3 + b3 + c3 − 3abc = 0



⇔ ( a + b + c) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = 0

⇔a+b+c=0

Do a, b, c là các số thực đôi một khác nhau nên

a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca =



1

( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 > 0

2



Mặt khác :

ab2

ab2

ab2

b2

b2

−b

=

=

=

=

=

2

2

2

2

2

a−b+c

−b − b

2

a +b −c

a + (b + c) (b − c)

a − a (b − c)



The art of Mathematics — 11/48



Tương tự, ta có:

P=



ab2

bc2

ca2

− ( a + b + c)

=0

+

+

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a +b −c

b +c −a

c +a −b



Bài toán 12. Cho a, b là các số thực thỏa mãn | a| = |b|, ab = 0 và



a−b

a+b

3a − b

+

=

.

a2 + ab a2 − ab

a2 − b2

Tính giá trị biểu thức:

P=



a3 + 2a2 b + 3b3

2a3 + ab2 + b3

Đề thi vào lớp 10, TP Hồ Chí Minh, 2016



Ta có



a−b

a+b

3a − b

+ 2

= 2

2

a + ab a − ab

a − b2

2

2

a (3a − b)

( a − b) + ( a + b)

=



a ( a − b) ( a + b)

a ( a − b) ( a + b)



⇔ ( a − b)2 + ( a + b)2 = a (3a − b)

⇔ a2 − ab − 2b2 = 0 ⇔

• a = 2b thì

P=



a + b = 0 (Conflicts for | a| = |b|)

a − 2b = 0



8b3 + 8b3 + 3b3

a3 + 2a2 b + 3b3

=

=1

2a3 + ab2 + b3

16b3 + 2b3 + b3



Bài toán 13. Cho a, b, c là các số thực thỏa 2a2 + 11ab − 3b2 = 0, b = 2a, b = −2a.



Tính giá trị biểu thức:

T=



a − 2b 2a − 3b

+

2a − b

2a + b

Đề thi vào lớp 10, tỉnh Phú Thọ, 2016



Ta có

T=

Mặt khác



a − 2b 2a − 3b 6a2 − 11ab + b2

+

=

2a − b

2a + b

4a2 − b2



2a2 + 11ab − 3b2 = 0 ⇔ 11ab = −2a2 + 3b2



Vậy

T=



6a2 − 11ab + b2

8a2 − 2b2

=

=2

4a2 − b2

4a2 − b2



The art of Mathematics — 12/48



Bài toán 14. Cho a, b, c là các số thực thỏa a + b + c = 3, a2 + b2 + c2 = 29 và abc = 11.



Tính giá trị biểu thức:



a5 + b5 + c5

Đề thi vào lớp 10, TP Hồ Chí Minh, 2017 - 2018



• Tính ab + bc + ca. Ta có



( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 ( ab + bc + ca)

⇔ 32 = 29 + 2 ( ab + bc + ca)

⇔ ab + bc + ca = −10.

• Tính a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 . Ta có:



( ab + bc + ca)2 = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 2abc( a + b + c)

⇔ (−10)2 = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 2.11.3

⇔ a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = 34.

• Tính a3 + b3 + c3 .

Cách 1.

a3 + b3 + c3 = ( a2 + b2 + c2 )( a + b + c) − [ ab( a + b) + bc(b + c)]

= 29.3 − [ab(3 − c) + bc(3 − a) + ca(3 − b)]

= 87 − [3( ab + bc + ca) − 3abc]

= 87 − [3.(−10) − 3.11]

= 150.

Cách 2.

a3 + b3 + c3 = ( a + b + c )3 − 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a )

= 27 − 3.[ab( a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc]

= 27 − 3.[ab(3 − c) + bc(3 − a) + ca(3 − b) + 2abc]

= 27 − 3.[3( ab + bc + ca) − abc]

= 27 − 3.[3.(−10) − 11]

= 150.

Cách 3.

a3 + b3 + c3 = ( a + b + c)( a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) + 3abc

= 3[29 − (−10)] + 3.11 = 150.

• Tính a4 + b4 + c4 .

Cách 1.

a4 + b4 + c4 = ( a2 + b2 + c2 )2 − 2( a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 )



= 292 − 2.34 = 773.



The art of Mathematics — 13/48



Cách 2.

a4 + b4 + c4 = ( a + b + c) a3 + b3 + c3 − [ab a2 + b2 + bc b2 + c2 + ca c2 + a2 ]



= 3.150 − ab 29 − c2 + bc 29 − a2 + ca 29 − b2

= 450 − [29 ( ab + bc + ca) − abc ( a + b + c)]

= 450 − [29. (−10) − 11.3]

= 773.

• Tính a5 + b5 + c5 .

Cách 1.

a5 + b5 + c5 = ( a2 + b2 + c2 )( a3 + b3 + c3 ) − [ a2 b2 ( a + b) + b2 c2 (b + c) + c2 a2 (c + a)]



= 29.150 − a2 b2 (3 − c) + b2 c2 (3 − a) + c2 a2 (3 − b)

= 4350 − 3 a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 − abc ( ab + bc + ca)

= 4350 − [3.34 − 11.(−10)]

= 4138.

‘ Cách 2.

a5 + b5 + c5 = ( a + b + c)( a4 + b4 + c4 ) − [ ab( a3 + b3 ) + bc(b3 + c3 ) + ca(c3 + a3 )]

= 3.773 − [ ab(150 − c3 ) + bc(150 − a3 ) + ca(150 − b3 )]

= 2319 − 150 ( ab + bc + ca) − abc a2 + b2 + c2

= 2319 − [150.(−10) − 11.29]

= 4138.



Bài toán 15. Cho a, b, c là các số thực thỏa a + b + c = 6 and



1

1

47

1

+

+

= .

a + b b + c c + a 60



Tính giá trị biểu thức:

a

b

c

+

+

b+c c+a a+b

Đề thi vào lớp 10, tỉnh Nm Định, 2016

Ta có:



47

.6 =

60



1

1

1

a

b

c

+

+

+

+

( a + b + c) = 3 +

a+b b+c c+a

b+c c+a a+b



Vì vậy

a

b

c

17

+

+

=

b + c c + a a + b 10



3. Điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM



The art of Mathematics — 14/48



Bài toán 1. Cho a, b, c là các số thực thỏa a + b + c = 3 thì

3



9 ( a2 b + b2 c + c2 a ) +



3





3

9 ( ab2 + bc2 + ca2 ) + 2 abc



8



Đề xuất bởi Nguyễn Việt Hùng



Lời giải 1 của Christos Eythymioy, Đỗ Hữu Đức Thịnh

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

3



9 ( a2 b + b2 c + c2 a ) +



3





3

9 ( ab2 + bc2 + ca2 ) + 2 abc



3 + 3 + a2 b + b2 c + c2 a 3 + 3 + ab2 + bc2 + ca2

1 + 1 + abc

+

+ 2.

3

3

3

16 + ( a + b) (b + c) (c + a)

=

3

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

16 + ( a + b) (b + c) (c + a)

3

Vì vậy

3



3



1

1 a+b+b+c+c+a

16 + .

3

3

3



9 ( a2 b + b2 c + c2 a ) +



3





3

9 ( ab2 + bc2 + ca2 ) + 2 abc



=8



8



Lời giải 2 của Tạ Hồng Quảng

Cho



a2 b + b2 c + c2 a

ab2 + bc2 + ca2

, a4 = a5 = a6 =

, a7 = a8 = abc

3

3

Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có

a1 = a2 = a3 =



2



8



8



∑ ai



8



2



= (1 + 1 + ... + 1) ( a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 )









3



i =1



i =1



Do đó, ta cần chứng minh rằng

83 = 83 .



( a + b + c )3

27



82 ( a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 )



Bất đẳng thức trên tương đương với

8 a3 + b3 + c3

Vật ta có điều phải chứng minh.



3 a2 b + b2 c + c2 a + ab2 + bc2 + ca2 + 2abc



3



ai



= LHS3



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Biên tp viên, cng tác viên, các tác gia và các thành viên tham gia vol.4

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×