Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Cơ sở lý thuyết

Cơ sở lý thuyết

Tải bản đầy đủ - 0trang





2



E  E 0  an  E 0



(1.5)



n0



SVTH: Lê Văn Thắng



- 40 -



Lớp K32B- Khoa Vật Lý



Thành thử việc tính năng lượng của trạng thái cơ bản của hệ lượng tử,

dẫn đến tính cực tiểu của tích phân

hóa  . Do đó:



 ˆ  dx

*



khi biến phân hàm sóng chuẩn



E0  min  *ˆ  dx



Nếu



(1.6)



  dx  1

*



Việc tính tốn thực tế năng lượng của trạng thái cơ bản nhờ biểu thức

(1.6) dẫn đến việc chọn “hàm thử” chứa một số thơng số chưa biết nào đó



 ,  ,... sau khi tính tích phân.



  x,  , ,... ˆ   x,  , ,... dx

*



Ta nhận được một hàm J  , ,...



phụ thuộc vào các thông số này. Việc



xác định các giá trị cần tìm của các thơng số dẫn đến tìm cực tiểu của

J  , ,...



nghĩa là dẫn đến việc giải phương trình:

J J  ...  0









Nếu chọn tốt hàm thử, ta có giá trị năng lượng:

E  J  0 ,0 ,...

Gần với giá trị thật  0 ngay cả khi thơng số cần dùng tương đối ít. Hàm sóng

trạng thái cơ bản của hệ sẽ gần trùng với hàm  0  x, 0 ,0 ,... .

Phương pháp tính năng lượng trạng thái cơ bản nói trên gọi là phương pháp

Ritz hay phương pháp biến thiên trực tiếp. Việc chọn hàm thử dựa trên việc

phân tích định tính về tính đối xứng của bài tốn và những cảm nhận vật lý.

Nếu ký hiệu 



0



là hàm sóng của trạng thái cơ bản của hệ, thì việc tính



năng lượng của trạng thái kích thích thứ nhất

E  min * ˆ



dx  

1







1



1



E1



dẫn đến giải bài toán biến phân.

(1.7)



Với điều kiện phụ:  * dx  1;







*



  dx  0







1 1



1



(1.8)



0



Việc tính mức kích thích thứ hai dẫn đến giải bài toán biến phân:

E  min * ˆ



dx  

2

2

*

*

*



 dx  0



dx



 

 

dx  1;

Với các điều kiện phụ:







2







2



2







2



2



(1.9)

(1.10)



0



Q trình được tiếp tục với việc tính các mức kích thích cao hơn.

2. Bài tập vận dụng

2.1. Bài tập 1: Tính năng lượng trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa

tuyến tính. Biết tốn tử Hamiltơn có dạng:

2

2 2

ˆ 

d

m 2

x

2 

2m dx

2



(2.1)



Giải

Ta chọn hàm thử dạng:



0 khi x  



x

  1 khi    x  



  x,    

  x  1 kh 0  x  

i

 



khi x  

0



Từ (2.1) và (2.2) ta có:



J ( ) 



 ˆ  dx 

*



2 



2m 



   dx 



m

2





2



  dx







2







2



x







2



dx



(2.2)



Với   d 2

dx



2



Tích phân dưới mẫu số xuất hiện do chuẩn hóa hàm sóng ta dễ dàng tính





được .







2



2



  dx 



3







2



dx 







1

15 



3



ta chú ý rằng:







Để tính



2



x



;



1



   dx











   x,   



Với    x,   



1

 



x0



khi



 1

 



1











x0



khi



d

dx



1

Vậy:    x,       x     x  







0 khi x  0

Với   x 



khi x  0

1



Trong lý thuyết hàm biến phức, ta đã chứng minh:



  x    x

2



Với   x là hàm Đen ta Đirăc. Vậy:





Do đó:







2



   dx  





Cuối cùng:











  x,       x



2



 x,    x dx    0,    









J   



3



1 2 2

 m 

2

2 m

20



Từ điều kiện cực tiểu của J  



2



ta tính được.



2







0 



  2,34 

m

m

Và năng lượng của trạng thái cơ bản là:

4



30



E0  0,548

So với năng lượng trạng thái cơ bản tính chính xác là  , ta thấy sai số

2

dưới 10%. Vậy có thể dùng giá trị này trong phép gần đúng bậc nhất

2.2. Bài tập 2.

Sử dụng phương pháp biến phân.Tính năng lượng và các trạng kích

thích thứ nhất của ngun tử Hiđrơ.

Giải

Tốn tử Hamiltơn có dạng:

ˆ 



2

2m



2



 



e



2



(2.1)



r



Trong trường đối xứng xuyên tâm, mômen xung lượng có giá trị xác

định. Ở trạng thái cơ bản mơmen xung lượng bằng 0. Do đó, hàm sóng chỉ

phụ thuộc vào r mà khơng phụ thuộc vào các góc. Khi r   hàm phải tiến

đến khơng, do đó hàm thử có thể viết dưới dạng:



  exp   r 



(2.2)



Từ điều kiện chuẩn hóa ta có:

2

2

3

dr



1



A









r



Sử dụng (2.1) và (2.2) ta tìm được



 2 2 e2 

* ˆ

*

J        dr   

  dr

2m

r



0

3 2 



2 

 m



e

0







  r 2  r 2



 e r dr  4 2e2  e2  rrdr

0



(2.3)



Tính tích phân thứ nhất ta có:





e







r 2 r 2



e



r dr  



0







 



e



r









0



r2dr    4 1

2









 r



Tính tích phân thứ hai ta có:





e



2  r



rdr   2 



2



0



thay các giá trị này vào (2.3) ta được :



J    2 2 2

e



(2.4)



2m

Từ điều kiện cực tiểu của J    ta xác định được thơng số biến thiên 0 

trong đó



a







2



me



2



1



a

là đơn vị nguyên tử của chiều dài. Thay  0 vào (2.4) và



(2.2) ta được năng lượng là hàm sóng của trạng thái cơ bản:

2

E1s  J   0    e

2a

1

 r

 

exp 

1s





3

a

a







Ta hãy tính năng lượng của trạng thái kích thích thứ nhất ta chọn hàm

thử dưới dạng hàm phụ thuộc vào hai thông số  và  :

 r











,



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Cơ sở lý thuyết

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×