Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN

CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN

Tải bản đầy đủ - 0trang

Giả sử Vˆ là nhỏ, ta

đặt



Vˆ 

Wˆ



Trong đó  là một thông số nhỏ không thứ nguyên.



(1.4)



Giả sử biết các nghiệm E 0 và  l (l  1,

2,3...)



của phương trình cho



l



hàm riêng và trị riêng của tốn tử ˆ :

0



Hˆ0 l  E l0



(l  1,

2,3...)



l



(1.5)



Với các điều kiện trên thì việc giải phương trình (1.1) ta quy về việc giải

phương trình sau để tìm



El và  l :

( 0  Wˆ )





l



 E l l



(1.6)

0



Như vậy chúng ta sẽ hiệu chỉnh cho El và  l (l  1, 2,3...) để sau khi

hiệu chỉnh, các giá trị hiệu chỉnh sẽ nghiệm đúng (1.1) và (1.2) hay (1.6)

1.2. Nhiễu loạn khi không suy biến

1.2.1. Xét các trạng thái của hệ lí tưởng khơng có suy biến, nghĩa là với

0

mỗi giá trị El thì chỉ có một hàm riêng  l , mặt khác xét xem mức E 0 thay

l



đổi như thế nào khi có nhiễu loạn. Ta giả sử sau khi hiệu chỉnh cho E0 và 

l



l



ta được năng lượng và hàm sóng thỏa mãn (1.6)

Lấy hệ hàm riêng  l  , (l  1,

2,3...)



ta khai triển:



 l   Cn n



(2.1)



n



Để tìm  l ta khai triển Cn



(n  1, 2,3,...)



Thay (2.1) vào (1.6), nhân hai vế với 







biến khơng gian :

l



n



*

m



vào vế trái, rồi lấy tích phân các



mn



n

m



0



(E  E )C  

W



C



(2.2)



Với

Wmn



   W dq

*



m



a) Khi   0 ứng với trường hợp không nhiễu:

Hˆ  Hˆ ;  n  0 l 

0



(2.3)



Từ (2.3) ta có:



 0 ; (m  1, 2,3...)



0



(E  E )C

l



m



Nghiệm của ( 2.4) là:

E



(2.4)



m

0



0



 E và C  C  

l



m



m



(2.5)



m



ml



m  l  Cm  0; m  l   ml  1



Nếu



 l  l  Cnn

n



b) Với   0, 



nhỏ, các giá trị El sẽ dịch khỏi E0 , các C sẽ lệch khỏi giá

l

m



0



trị C . Ta hy vọng độ lệch này sẽ nhỏ. Muốn vậy ta khai triển C

m



m



chuỗi lũy thừa của  :



0



C  C  C

m



m

0



l



l



và E theo

l



1

2



1



m



2



  C  ...

2



2



m



(2.6)



E  E   E   E  ...

l



l



Thay (2.6) và0 (2.2):



  

0



0



      ... C  C  ... 

1



l



m



2 2



l



0



2



l



m



m



=  wmn  Cn0  C1 nC 2  ...



 m = 1, 2, 3,...



n



n



(2.7)

0



So sánh các hệ số của lũy thừa  ở hai vế (2.7). Trước hết với hệ số của  :

0



0



(E  E )C  0

0



0



m



l



l



C  0 khi m  l,C  1

0



Vậy ta có: C m 

0



Thay C  

l

0



ml



m

m

0



;C 

n



l

1



(m  l) .



.

0



m



(2.8)



m



nl



vào (2.7) ta có:



l

2







mn



nl



n



ml



2



(E  E   E   E  ...)(



 C



1



 ...)  



W (



1



 C  ...)



n



(m,l  1, 2,3,...)

Giả sử m  l

:



(2.9)

 1l W

l



2



ll



l



 

1 1

C







ln



1

n



W



(2.10)



Từ (2.10) ta hiệu chỉnh bậc một của năng lượng:

1

 E l  Wll  Vll



(2.11)



Giả sử m  l

:

0



0



1



l



m



m



0

l



0

m

m



(E  E )C  W

2

m



ml

1







1



(E  E )(C  E l C ) 



n



Wmn

C



(2.12)



1

n



Trong gần đúng cấp 1, năng lượng của hệ được biểu diễn bằng công thức:

0



1



0



(2.13)



El  El   El  El  Vll

Từ (2.12) sử dụng (2.11) ta suy ra:



(2.14)



0 Wml 0 Vml

E  E  E0  E0



1



C m



l



m



l



m



Trong phép gần đúng cấp 1 của hàm sóng:



C

0

1

  C  C   

l







m m



l



l



l



m



0



1



(C  C )







m



m



m



ml



   C   

1



l

l



Vml



0



l



0m



ml El  Em



(2.15)







1



Trong đó C m xác định từ điều kiện chuẩn hóa của  l xét từ điều kiện (2.6) và

2



bỏ qua các đại lượng tỉ lệ với  :

2







l



2



dq  1  C



1



(2.16)



1



 1  C  1



l



→ phép gần đúng cấp 1:

 l  l  



(2.17)



Vml



0

0



nl



El  E

n



1



Từ (2.10) và (2.14) với C l  0  năng lượng trong phép gần đúng cấp 2:

0



EE V



l

l

l

l







2



Vln



0



0



(2.18)

nl El  En



1.2.2. Phương pháp trên chỉ đúng trong trường hợp nếu chuỗi gần đúng hội tụ. Điều

kiện cho điều đó là mỗi số hạng sau phải nhỏ hơn số hạng trước. Như vậy:

0



Vln □ E  E

l



0



với bất kỳ n  l .



(2.19)



n



(2.19) chính là điều kiện có thể áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn.

Như vậy, để có thể ứng dụng được lý thuyết nhiễu loạn thì mức năng

lượng l không được suy biến. Tuy nhiên, nếu một phần trong các trạng thái

0



m  l có năng lượng  n thoả mãn (2.19) bị suy biến thì tính đúng đắn của

(2.16) vẫn khơng bị phá huỷ.

Trường hợp khi một phần các trạng thái m l thuộc phổ liên tục thì các

cơng thức trên vẫn có thể áp dụng khi đó ta thay tổng bằng tích phân.

 V

   o lm



0



V

l



l



ml



l



l



 





ml



0



l



0







0







m









dv



Vvl







0



 0l



 l  m



Vml





2



v





Vvl







m



0



l











 vdv

0



v



Trong đó  là chỉ số các trạng thái có phổ liên tục và là tập giá trị của

các đại lượng đủ để xác định các trạng thái của phổ liên tục suy biến.

1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến.

Giả sử mức



El0 suy biến bội s. Khi đó để làm hàm gần đúng cấp khơng,



ta có thể lấy tổ hợp tuyến tính:

s



(3.1)



 l   aklk

k 1



Thay (3.1) vào phương trình (1.7) nhân vào hai vế kết quả nhận được với lk

(k=1, 2, 3,...) rồi lấy tích phân theo các biến khơng gian, ta được hệ phương

s



trình tuyến tínhthuần nhất :



 

k 1



mk



 Elmk ak  0



(3.2)



Hệ phương trình này có nghiệm khác 0 với điều kiện:

11  E1



12



21

...

s1



.....



...1s



22  E2 ....



...2s



....



........



.....



s2



(3.3)

0



ss  Es



Khai triển định thức (3.3) ta thu được phương trình bậc s đối với giá trị

chưa biết



El . Phương trình này được gọi là phương trình thế kỷ có s nghiệm.



Nếu s nghiệm của (3.3) khác nhau thì mức E suy biến bội s của bài tốn

l

0



khơng nhiễu sẽ tách ra làm s mức khác nhau và ứng với mỗi mức này sẽ có

một hàm:



 lk 





m



a 



m



k



(3.4)



m



vào



xác định từ (3.2) khi thay  l

Trong đó các am được

k



l (k =1, 2,



k



3...,s)



Trường hợp này, ta nói nhiễu loạn





khử hồn tồn suy biến. Chúng ta có



thể trực giao các hàm sóng tương ứng với các nghiệm bội của (3.3) bằng

phương pháp Gram – Smit. Ta có thể chéo hố ma trận ( 



m



) của toán tử ˆ



dựa vào (3.4), nghĩa là :





mk



*

ˆ

 V mk   (

l

m



0



 Vˆ )l dq 

0

k



(3.5)



Từ (3.5) cho phép ta bỏ đi các số hạng có mẫu nhỏ trong các phép gần

đúng tiếp theo.

1.4. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian

Thông thường nhiễu loạn tác dụng lên hệ lượng tử có đặc tính khơng

dừng , nghĩa là phụ thuộc thời gian. Toán tử



wˆ . Khi đó là hàm tường minh



của thời gian Wˆ (t ) . Ta giả thuyết đã biết hàm sóng ở trạng thái dừng của

'



hệ không nhiễu là:



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×