Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
CHƢƠNG 2. SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ

CHƢƠNG 2. SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ

Tải bản đầy đủ - 0trang

Tính chất 2.1.1

Cho f :V



W là ánh xạ tuyến tính. V,W là hai K - khơng gian vectơ. Khi đó:



i) f(0 ) = 0 .

W

V

ii) f(-x) = - f(x) , x V .

Các phép tốn về ánh xạ tuyến tính

Cho f, g :V



W là hai ánh xạ tuyến tính



i) Tổng của hai ánh xạ tuyến tính

(f + g)(u) = f(u)+ g(u) ,



uV .



ii) Tích của ánh xạ tuyến tính f và một số thực



, kí hiệu là



f và là



ánh xạ được xác định

( f )(u)



f (u),



u V.



iii) Giả sử U, V, W là những không gian vectơ. f :V



W và g :W



V



là ánh xạ tuyến tính

(g o f)(u)= g (f(u)) ,



u



V



Khi đó ánh xạ hợp xác định bởi

là một ánh xạ từ V tới U .

Định lý 2.1.1 (Sự xác định một ánh xạ tuyến tính)

r

r

Giả sử V, W là hai không gian vectơ, { e1,e 2,.., } là một cơ sở của V

r r

r

en

và 1 1 ,... n là n vectơ tuỳ ý của W . Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ

,

,

r

r

f :V W , f (e ) = i i = 1,...,n

i

,

Ví dụ

Các ánh xạ sau có phải là ánh xạ tuyến tính hay khơng ?

a.



b.



R3



f :

3

R

f :R



f(x1 ,x2 ,x3 ) = (x1 - x3 ,x2 ,5) .

3



R3



f(x1 ,x2 ,x3 )

= (x2 - x3

,x1,x2 ) .

Giải

a. Ta có



x = 1(x 2,x ,x ) R3

3



y = (y1 , y2 , y3 ) R 3

x+ y = (x1 + y1,x2 + y2 ,x3 + y3 ) .

f(x + y) = (x1 + y1 - x3 - y3 ,x2 + y2 ,5) f

(x)= (x1 ,x2 ,x3 )= (x1



x3 ,x2 ,5)



f (y)=(y1 , y2 , y3 )= (y1

Ta thấy



f(x + y) f(x)+ f(y) ,



y3 , y2 ,5)



x, y R 3 .



Vậy f khơng phải là ánh xạ tuyến tính.

b. Ta có

x = (x1 ,x2 ,x3 ) R 3



y = (y1 , y2 , y3 ) R



3



x+ y =(x1 + y1,x2 + y2 ,x3 + y3 )

f(x + y)=(x1 + y2 - x3 - y3 ,x1 + y1,x2 + y2 )

f (x)=(x1 ,x2 ,x3 )=(x2y3 ,x1,x2

f (y)=(y1 , y2 , y3 )=(y2



)



y3 , y1, y2 )



Như vậy

f(x + y)= f(x)+ f(y) , x, y R3

Lại có

x= (x1 , x2 , x3 )

f ( x )= ( x1 - x3 , x1, x2 )

= (x1 - x3 ,x1,x2 )= (x)

Suy ra f là một ánh xạ tuyến tính.



2.1.2. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 2.1.2

Giả sử V, W là hai không gian vectơ, và f :V W là một ánh xạ

tuyến tính. Khi đó tập tất cả các phần tử của V có ảnh là 0 V gọi là hạt nhân

của f , kí hiệu là kerf

kerf ={ x V / f(x)= 0} .

Số chiều của kerf được gọi là số khuyết của f .

Tất cả các phần tử của W là ảnh của ít nhất một phần tử của V gọi là ảnh của

f , kí hiệu là Imf

Imf = {y W \ x V , y= f(x)}

Số chiều của Imf được gọi là hạng của f và được kí hiệu là rank f .



Tính chất

Định lý 2.1.2

Cho V, W là hai không gian vectơ, và f :V



W là một ánh xạ



tuyến tính thì

a) kerf là khơng gian vectơ con của V .

b) Imf là không gian vectơ con của W .

Định lý 2.1.3

Ánh xạ tuyến tính

:V

r

.

kerf = {0

}

W



f



W là một đơn cấu khi và chỉ khi



Định lý 2.1.4

Ánh xạ tuyến tính f :V



W là tồn cấu khi và chỉ khi Im f =W



Định lý 2.1.5

Cho f :V



W là ánh xạ tuyến tính. V ,W là các khơng gian



vectơ hữu hạn chiều. Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:

a) f là một đơn cấu.

r

b) kerf = {0}.

c) Ảnh bởi f của mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính là một hệ vectơ độc lập

tuyến tính.

d) Ảnh bởi f của mỗi cơ sở của V là một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong W

e) Ảnh bởi f của một cơ sở nào đó của V là một hệ vectơ độc lập tuyến tính

trong W .

f)



rank f = dim V .



Chứng minh

(a



b)



r



r



r



r



r



kerf . Ta có f ( )= 0 = f (0). Do f là đơn cấu cho nên

r

Suy ra kerf = {0}.

r r

r

(b =>c) Giả sử 1 , 2

n ) là một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong V.

(

,...,

r

r

r

Khi đó, xét hệ

1 ),

2 ),...,

n )) trong W . Nếu

(f(

f(

f(

m

i



r

r

f(i )= 0 =



f(



i 1





0



kerf =



r r

(

,



1



r



m

i



i 1

m



nên phải có



rr

i



m



)= 0 =



r

i i=0

=>

r



i 1



r



(f

2 ,... n ) độc lập tuyến tính). Vậy hệ

(

,



r



1=



m



...=

r



kerf



i i



i 1



f(



0

r

),...,

f(

2



tuyến tính.

(c => d) và (d=>e) là hiển nhiên.

(e => g) Giả sử



r



(do hệ n



=



r

1 ),



r

=0 .



r



n



)



) độc lập



r

r

e1

{ ,..., }

là một cơ sở của khơng gian vectơ V sao cho hệ

độc

lập

tuyến

tính trong W . Dễ thấy hệ vectơ này sinh ra

{f(e1 ),..., f(en )}

f(V). Ta có



r

r

rankf = dimf(V)= rank(f(e1 ),..., f(en ))= n= dimV

r

r

(g => a) Giả sử {e1 ,...,en là một cơ sở của V . Do rankf = dimV ta có

r

r }

r

r

rank(f(e1 ),..., f(en ))= n . Vậy hệ {f(e1 ),..., f(en )} phải độc lập tuyến tính. Bây

r

r m r r n

r

giờ, với = xiei , = yiei thuộc V mà thuộc f ( )= f ( ) thì ta có

i 1



r



i 1



r



r r

0 = f ( ) - f ( )= f ( - )= f(

r



n



i 1



r

( xi - yi )ei )=



i 1



r

( xi - yi ) f ( ei )



r

r

(xi - yi )f (ei )=

0



n



r

r

Do hệ {f(e1 ),..., f(en )} độc lập tuyến tính từ



n



ta rút ra



i 1



được



xi - yi = 0, i = 1,2,...,n

hay



x = y ,i 1, 2,..., n . Vậy có



r



=



r

và do đó



i



f là một đơn cấu.

Định lý 2.1.6

Cho f :V



W là ánh xạ tuyến tính từ khơng gian hữu hạn chiều V



vào khơng gian vectơ W trên K . Khi đó

dimV dimKerV



dimImf



Chứng minh

Trường hợp 1) Nếu f là đơn ánh thì theo định lý 2.1.5, ta có với mọi

{e1 ,...,en } là cơ sở của V ta có hệ vectơ

trong W.

Hơn nữa, do hệ {e

i

vậy, hệ



n

{f(e i )}i



n

i 1



i i)}n

{f(e



là hệ độc lập tuyến tính



dimKerf dimImf .

n

là cơ sở của V nên {f(e

)} là hệ sinh của Imf . Vì

i i

1



là cơ sở của Imf . Vậy dimV



Trường hợp 2) Nếu Kerf



ra tồn tại {e1 ,...,er } cơ sở của



{0} suy



Kerf . Bổ sung thành {e1 ,...,er ,er 1 ,...,en } là cơ sở của V .

Khi đó,



y Imf

n



Ở đây, x

i 1



xiei



n



Suy ra {f(ei )}i



r



xV : f (x)



y.

n



suy ra y f x



n



x ie i



i 1



xi f ( ei )



i 1



n



xi f ( ei )



i r 1



là hệ sinh của Imf (1).

n



Ta chứng minh {f(e i )}i



là hệ độc lập tuyến tính.



r



Thật vậy, giả sử

n



n

i



i r 1



f ( ei ) 0



f(



iei



i r 1

n



ie i



) 0



Kerf



i r 1

n



iei



Suy ra

i r 1



Do ( e )



n



r



r



je j



j 1



j 1



cơ sở của V



i i

n



Suy ra {f(ei )}i



r



n



je j



iei



0



i r 1



j



0, j = 1, r



i



0, i= r + 1,..., n



độc lập tuyến tính.

n



Từ (1) và (2) suy ra {f(ei )}i



r



là cơ sở của Imf . Vậy



dimV dimKerf



dimImf .



2.1.3. Quan hệ ánh xạ tuyến tính và ma trận

2.1.3.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính.

Định nghĩa 2.1.3

Cho V, W là hai không gian vectơ hữu hạn chiều.



r

r r

r

e( )={

e1 e,2 ,.., } là



r

r r

r

a

V



(

)={

,

,..,

} là một cơ sở của W . Mỗi ánh xạ

một cơ sở củ

1 2

m



tuyến



tính



f :V



W



được



r

r

r

{f(e1 ), f(e2 ),..., f( )} . Các

vectơ

r

r r

nhất qua cơ sở (

1, 2

)= ,..,

{



Trong đó

các



ai

j



r

m}



xác

r

f(

) e



định



duy



nhất



bởi



hệ



vectơ



lại biểu thị tuyến tính một cách duy



của W .



m

r

r

f(e )= aij i , j = 1,2,...n

j

i 1



đều thuộc trường K . Nói tóm lại, ánh xạ tuyến tính f được



xác định một cách duy nhất bởi hệ thống các vô



{aij |1 i m,1



j} .



hướng Ta sắp xếp chúng thành ma trận

a11 K

a1n

A= M O L M =( aij )mn

am1

amn

Và gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f :V



r

r

W đối với cặp cơ sở (e) và ( ) .



2.1.3.2. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.

Cho f :V

trận



W là ánh xạ tuyến tính, có ma



mn



cặp cơ sở (e) và ( ) . Nếu vectơ

r

r

thì toạ độ f ( )



V có toạ

{x1 ,....,xn } trong cơ sở (e)

độ

trong cơ sở ( ) sẽ là {y ,...., y tính bởi cơng thức

}

1

m



W

yi =



n



aij x j



j 1



i = 1,2,...,m

Hay





A= ( aij ) đối với



y1 = a11x1 + a12 x2 + ...+

a1n xn y2 = a21x1 + a22 x2



+

.

.

.

+



................................................

ym = am1x1 + am2 x2 + ...+ amnxn



a

2

n



x

n



Ta gọi công thức trên là biểu thị toạ độ của ánh xạ tuyến tính f đối

với cặp cơ sở (e) và ( ) đã cho. Thật vậy, ta có



m

i 1



r



r

= f () =



yi i



n



f(



j 1



=



n



m



x j(



j 1



aij



r



i



r

xjf(ej)



j 1

m



)=



i 1



n



r

x j e j )=



i



(



1j



n



r

aij x j ) i .

1



r



Vì biểu thị tuyến tính của mỗi vectơ thuộc W qua cơ sở ( )



của nó là duy



x1

nhất nên ta có được cơng thức trên. Kí hiệu: x= ...

x

n



y1



r



trong cơ sở (e) y = ...

yn

.



là vectơ cột toạ độ của



là vectơ cột tọa độ của f (



r



qua tọa độ của r



)



được viết dưới dạng ma trận là y = Ax . Trong đó A là ma trận của ánh xạ

tuyến tính f .

Ví dụ

Kí hiệu {e1 ,e2 ,e3 ,e4 } là cơ sở chính tắc

của

một cơ sở chính tắc của



4



R . Và

{



1



,



2



3



,



R3 . Xét ánh xạ tuyến tính xác định bởi :



f (e1 )= 1 + 2



2 +3



f (e2 )= f (e4 )= -1 - 2

f (e3 )= 2



1+



4



2+



3



2+



3



3



a. Xác đinh ma trận của ánh xạ tuyến tính f .

b. Xác định một cơ sở hạt nhân Ker(f) , từ đó suy ra hạng của f .



(*)



} là



Giải

a. Từ (*) có ma trận của f

1 -1 2 - 1

A= 2 -2 4 - 2

1 1 3 1



.



b. (x, y,z,t)= xe + ye + ze + te .

f(x, y,z,t) = xf(e1 )+ yf(e2 )+ zf(e3 )+ tf(e4 )

x(1 + 2

= (x - y+ 2z t)



2+



3



)+ y(-



1-



2



2+

2



1



+(2x - 2y +

4z)



3



)+ z(1 + 4



2+



+(x+ y+ 3z + t)



3



3



3 )+



t(-



1-



2



2 +3 )



.



Vì vậy

f(x; y; z; t)=(x - y+2z - t; 2x - 2y+4z - 2t; x+ y+3z+t)

ker( f )={(x, y,z,t) / (x - y+2z - t;2x - 2y+4z - 2t; x+ y+3z+t)=(0,0,0)} .

x - y+ 2z - t = 0

2x - 2y + 4z - 2t =

0 x+ y+ 3z + t =

0

Ta có

2x + 5z = 0.



x= -



5

z

2



z

y= - - t

2

5

z

ker(f)={ (x; y; z; t) / x = - z ; y = - - t; z,t R}

2

2

5 1

={z ( - ; - ; 1 ; 0)+ t( 0 ; -1 ; 0 ; 1) / z,t R}

2 2

Như vậy một cơ sở của ker(f) gồm hai vectơ

4y + 2z + 4t = 0.



u= ( 5 ; 1 ; - 2 ; 0) và v = ( 0 ; -1 ; 0 ; 1).

dimKer( f )= 2 .

4

rank(f)= dimR - dimKer(f).



2.2. ĐẲNG CẤU TUYẾN TÍNH

2.2.1. Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1

Giả sử V ,W là hai không gian vectơ, và f :V W là một ánh xạ

tuyến tính. Khi đó ánh xạ f được gọi là một phép đẳng cấu nếu f là một

song ánh tuyến tính.

1.2.2. Định lý tồn tại đẳng cấu tuyến tính

Từ định lý xác định ánh xạ tuyến tính nếu V ,W là không gian vectơ n

r n là cơ sở của V và r

là cơ sở của W thì tồn tại duy nhất

chiều, { ei }i

{ i in

} 1

W là

ánh xạ tuyến tính f

:V

r

r

f(e ) i , i= 1,2,....n

=



đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn



i



2.2.3. Ma trận của đẳng cấu tuyến tính

Định lý 2.2.1

Ánh xạ tuyến tính

f :V W

x a Ax

là đẳng cấu tuyến tính khi và chỉ khi A là khả nghịch. Khi đó f có ánh xạ

ngược

f



-1



:W



VA-1x



xa

Định nghĩa 2.2.2

Ta gọi hạng của ma trận

r



m



a j = (a ji )j



n



A=(a ji )



là hạng của hệ vectơ cột



mn



trong K .



1



Nhận xét



Hạng của ma trận



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

CHƢƠNG 2. SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×