Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Phƣơng pháp nghiên cứu

Phƣơng pháp nghiên cứu

Tải bản đầy đủ - 0trang

6.Cấu trúc

Ngoài phần mở đầu và kết luận, tài liệu tham khảo. Đề tài gồm 2

chương

Chương I. Một số kiến thức chuẩn bị.

Chương II. Sự đẳng cấu giữa các không gian vectơ.



CHƢƠNG I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương sau đây chúng ta nhắc lại những khái niệm và tính chất

cơ bản của ánh xạ cũng như khơng gian vectơ.

1.1. ÁNH XẠ

1.1.1. Khái niệm ánh xạ

1.1.1.1. Ánh xạ

Định nghĩa 1.1.1

Cho hai tập hợp X ,Y . Ta nói rằng một ánh xạ f : X Y là quy tắc

cho tương ứng mỗi phần tử x X có tương ứng theo một quy tắc nào đó một

phần tử duy nhất y Y . Kí hiệu f : X Y , (đọc: f là ánh xạ từ X vào Y ).

Trong đó X là tập nguồn và Y là tập đích.

1.1.1.2. Đơn ánh

Định nghĩa 1.1.2

Ánh xạ f : X



Y được gọi là đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử phân



biệt là hai phần tử phân biệt. Nghĩa là

Điều kiện tƣơng đƣơng

x1 ,

x2



X : f ( x1 )= f ( x2 )

thì



f :X



x1 ,

x2



V,x1



x2

thì



f(x1 )

f(x2 ) .



Y là đơn ánh khi và chỉ khi



x1 = x2 .



1.1.1.3. Toàn ánh

Định nghĩa 1.1.3

Ánh xạ f : X Y được gọi là toàn ánh nếu mỗi phần tử của Y đều là

ảnh của phần tử nào đó thuộc X . Nghĩa là

f(x) = y .



y Y, x



X sao cho



Điều kiện tƣơng đƣơng Ánh xạ f : X



Y là toàn ánh khi và chỉ khi



f (X)= Y .

1.1.1.4. Song ánh

Định nghĩa 1.1.4

Ánh xạ f : X



Y được gọi là song ánh nếu f là đơn ánh và là toàn



ánh.

Định lý 1.1.1

Ánh xạ



f :X Y

xa f(x)



là song ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh

xạ

g(y)

g :Y

X

ya

sao cho ánh xạ

f



o g = id và g o f = id

X



X



.



1.1.2. Ánh xạ với phép toán

1.1.2.1. Phép cộng hai ánh xạ

Định nghĩa 1.1.5

Cho

f :X

Y

x a f (x)

a

là hai ánh xạ từ X



g : Xx



Yg(x)



Y . Khi đó tổng của f và g kí hiệu là f + g là ánh xạ



xác định

f +g:X

Y + g)(x)= f(x)+ g(x)

(f

xa



1.1.2.2. Tích hai ánh xạ

Định nghĩa 1.1.6

Cho

f :X Y

f (x)

xa a



g :Yy



Zg(y)



là hai ánh xạ.

Khi đó ánh xạ g o

f



xác định

gof :X

Z

( g o f)(x)= g(f(x))

xa



gọi là tích của ánh xạ f và ánh xạ g .

1.1.2.3. Ánh xạ

ngƣợc Định nghĩa

1.1.7

Cho f : X

duy nhất ánh xạ



Y là ánh xạ từ X vào Y là một song ánh. Khi đó tồn tại

g :Y



X sao cho g o f = i

dX và



o g = i . Ánh xạ

dY



f

g :Y



X như thế được gọi là ánh xạ ngược của của ánh xạ f , kí hiệu

-1



g= f .



1.2. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ

1.2.1. Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 1.2.1

Cho V là một tập khác rỗng và



là một



trường. Giả sử V được trang



bị 2 phép toán gồm

Phép cộng



V.V

(u,v) a



V

V



Phép nhân



K.V



(k,u) a



u+ v

k.u



Thỏa mãn 8 tiên đề sau

(V1) (u + v)+ w= u +(v + w)



u,v,wV



(V2)



uV



0 V : 0+= u +0 = u



(V3) u +u´= u´+u = 0



u



(V4) u+v= v+u



u,vV



(V5) (k + l).u = k.u + l.u

(V6) k.(u + v) = k.u



V,u´V



k,l



k.v



(V7) k.(l.u)= (k.l).u



K,u,vV



k



K,u,vV



k,l



V,u



(V8) 1.u = u.1= u



V



uV



Khi đó V cùng với hai phép tốn đã cho được gọi là một không gian

vectơ trên trường K ( hay K - không gian vectơ).

Nếu K là trường số thực thì khơng gian V được gọi là khơng gian

vectơ thực.

Nếu K là trường số phức thì V được gọi là khơng gian vectơ phức.

Ví dụ

n



Khơng gian R .

Khơng gian Mmn(R) các ma trận số thực kích thước mn .

Không gian gồm tất cả các hàm f[a,b]



R.



1.2.2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa 1.2.2

Cho K - không gian vectơ V .

a. Một tổ hợp tuyến tính của các khơng gian vectơ

{

một bỉểu thức dạng



n

i 1



trong đó



1



,..,



n



K.



r

i



r

= + ...+



i 11



n



r



n



.



r r

r

1 , 2 ,..., n



}



V là



Trong không gian vectơ V .

r

r

b. Hệ vectơ 1 ,.. n } được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức

{

,

r

r

r

1

+

...+

n

=

0

1

n

Ta đều suy ra 1 = ...= n = 0 .

rr

c. Hệ vectơ

1 ,.. n } được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu hệ đó khơng độc

{

,

lập tuyến tính.

Ví dụ

Trong không gian vectơ thực R

r



2



cho hệ ba vectơ



r



r

3 = (4,4) .

=

(0,4),

2

r r

độc lập tuyến tính vì

1) Hệ vectơ

1, 2

{

}

r

r

r

1 2

2 2 = 0

1,

2 )= ( 0,0) .

+

0)+(0,4

(2

1 =(2,0) ,



(2 1 ,4



2



)= (0,0).



1= 2=0 .

r r r

2) Hệ vectơ 1 , 2 3 } phụ thuộc tuyến tính vì

{

,

r

r

r r

2 1+ 2 3= 0 .

Tính chất

r

r

i) H

phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có các vơ hướng

(

,..,

1

n



)

1



,..,



K khơng đồng thời bằng 0 sao cho



n



1



ii) Hệ gồm một vectơ

(



r



r



1+



r

r

..+nn = 0 .



) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi



rr

=0



r

r

iii) Với n > 1, hệ n vectơ

{



1 ,..



,



n



}phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn



tại một vectơ trong hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ còn lại của hệ .

Chứng minh

Thật vậy, giả sử hệ { r



r



1 ,.., n



} phụ thuộc tuyến tính. Lúc đó tồn tại các vô



hướng



1



,..,



K không đồng thời bằng 0 sao cho



n



n



i



i 1



Nếu



i



0 , ta nhân hai vế của đẳng thức



j



-1



rr

i



=0 .



rồi chuyển vế thì thu



với được

r

Ngược lại, nếu các



r



-1 ) r

= - i j ( i ji . r

r

biểu thị tuyến tính qua 1 ,... i

(

,

,



r



j



1



r

i 1



,...,



n



) , tức



i



là các vô hướng

(



i 1



1 ,...



,



,

r



i 1



n



,...,



r



) sao cho



r



i =(1i +...+



i 1 i 1+



r



i 1 i 1 ,...,



r

n n



)



Thì ta có

1



r



i



+ ...+



Theo tính chất i. ta có hệ

{



r



r



i 1 i



r



1 ,..,



1 +(-1) i



r

n



+



r



i 1 i 1,



...,



r

n n



r

=0



} phụ thuộc tuyến tính.



iv) Mỗi hệ con của một hệ vectơ độc lập tuyến tính cũng là một hệ vectơ độc

lập tuyến tính .

v) Mỗi hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì cũng là một hệ phụ

r

thuộc tuyến tính . Nói riêng, mỗi hệ có chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến

tính.

r

r r

r

độc

lập

tuyến

tính

.

Khi

đó,

hệ

phụ

{ 1 ,.., n ,

{ 1 ,.., n

r

}

}

thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ

biểu thị tuyến tính được qua hệ

r

r

{ 1

n }. Trong trường hợp đó, biểu thị tuyến tính này là duy nhất .

,..,

vi) Giả sử hệ



r



1.2.3. Cơ sở và Số chiều

Định nghĩa 1.2.3



a. Một hệ vectơ của V được gọi là hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều

biểu thị tuyến tính qua hệ đó.

b. Một hệ vectơ của V được gọi là một cơ sở của V nếu mọi vectơ của V đều

biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này.

Định lý

1.2.1

Cho hệ hữu hạn vectơ

(



r r



1, 2



,...,



r



n



) của không gian vectơ V . Khi đó hai



mệnh đề sau đây là tương đương:

r r

r

a) ( 1 , 2

n ) là một cơ sở của V .

,...,

r r

r

b) ( 1 , 2

n ) là một hệ sinh độc lập tuyến tính của V.

,...,

Chứng minh

r r

r

(a =>b). 1 , 2

n ) là cơ sở của V nên là một hệ sinh của V . Hơn nữa,

(

r r

r

,...,

r

vectơ có biểu diễn duy nhất qua 1 , 2

n).

(

0

,...,

r

r

r

r

0 = 0 1 + 2 +...+ 0 n

0

r

r

r

r

Cho nên nếu

thì phải có

1 = 2 = ...= n = 0 .

1 1

2 2 +...

n n=



+

+

0

r r

r

Vậy hệ 1 , 2

n ) độc lập tuyến tính.

(

,...,

r

r

(b=>c). Với mọi vectơ

biểu thị tuyến tính được qua hệ

V,



r r

r r

r r

r

( 1 2 ,... n ) cho nên ( 1 2 ,..., n ) phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, coi V

r r

r

,

,

,

,

như một hệ vectơ trong V , theo định nghĩa hệ con

lập tuyến tính tối đại

(

độc

của V .



Định nghĩa 1.2.4



1, 2



,...,



n



) là một hệ vectơ



Một không gian vectơ V trên trường gọi là hữu hạn sinh nếu V có

một hệ sinh hữu hạn.

Ví dụ

Khơng gian vectơ

2

R



là không gian vectơ hữu hạn sinh với hệ sinh là



{e1 =(1,0);e2 =(0,1)}

Định nghĩa 1.2.5

a. Số vectơ trong mỗi cơ sở của K - không gian vectơ hữu hạn sinh V



r

{0}



được gọi là số chiều của V trên trường K . Và kí hiệu là dimV hay rõ hơn

dim V .

K



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Phƣơng pháp nghiên cứu

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×