Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
4 Ứng dụng giải hệ phƣơng trình vi phân hệ số hằng

4 Ứng dụng giải hệ phƣơng trình vi phân hệ số hằng

Tải bản đầy đủ - 0trang

Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của

hệ là:



x t



5e



3e4t



t



y t



5e



2e4t



t



y t

y t



Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau:



x t t

x t et



thỏa mãn điều kiện ban đầu: x(0) = y(0) = 0 và y’(0) = - 2

Giải:

Giả sử: L{x(t)} = X(p)

L{y(t)} = Y(p)

Ta có:



L y t

L y t



x t

x t



pY py 0

p2Y p



L t

L et

1

p1

p1



pX px 0



py 0



y 0



pY p



X p

1

3

p



pX p

X pp 2Y p

Y p



1

3p1 3p 2

p1

p2



X p

2



X pp2Y p



X p

3

Y p p



3pp1

p1



1 11p51

2 p12 p2

11 11p51

p2 2 p12 p2



12 p2

12 p2



1

1



Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc ảnh ta có nghiệm của

1 e t 1 cos t 5 sin t

x t

hệ là:

2

2

2

1 e t 1 cos t5 sin t

y t 3 t

2

2

2

xt

yt

z t

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình sau:

y t ztt

zt

x

z t

1

thỏa mãn điều kiện ban đầu: x(0) = 1; y(0) = ; z 0 1

2

2

Giải:

Giả sử: L{x(t)} = X(p); L{y(t)} = Y(p); L{z(t)} = Z(p)

Ta có:



L xt

L y

L zt



L

t

L



y t

z t

L ztt

x

z t



pX p

pY

pZ p



x 0

Y p Z p

pz y 0 Z p

0 X p Z p



pX p

pY



Y

p



X p



p

Z



p



Z p1 1

2



p 1 Z p



1

2



Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của



hệ là: y t

z t



x t 1cos t

cos t



sin t

2

1 cos t sin t

2



Bảng đối chiếu gốc - ảnh

TT

1



f(t) = L {F(p)}



-1



F(p) = L{f(t)}



1



1

p



t



1



t



p2

n!



4



eat



pn 1

1

p a



5



t eat



1



6



tneat



2

3



7

8

9

10

11

12

13



2



p a

n!

p a



sinwt



w

p2



w2



coswt



p

p2



w2

w



p2



w2



shwt

chwt



p

p2



eat sin wt



w2

w



p a

eat cos wt



2



w



2



p a

p a



eat s hwt



n 1



2



w



2



w

p a



2



w



2



14



15



eatchwt



p a

2

p a 2 w



t sinwt



2pw

p



t coswt



p



t chwt

18

t e sinwt



at



t e coswt

20

at



t e shwt



at



t e chwt

22



a



b



be



bt



e



bt



cosat



b

a



2



w



2



2



w2



2



2



w



2



2



p a



2



w



p a



2



w



p a



2



w



2



2



2



2



2



2



p a



2



w



p a



2



w



p a



2



w



2



2



p

p a p b

1

2

p b 2 a



1 bt

e sin

at a



24



2



2w p a



21



at



w



2



2w p a



19



ae



w2



p2

p



at



1



2



2



2pw

p



25



2



t shwt



17



w



p2



16



23



2



sin at



p

2

p b 2 a



2



1



26



1



ab a b



29



1 e



1

bt 2



a b



35



36



at



a b e



bt



at



e



e



bt



1

2 12 e

sin at a b



a



2



b



1



bt a 2

1

a2



b2



2



e

ae2

b

a2e



bt



at



at



at



at



1



at



2



a b te



2



1

p p a p b

1



at



p a

e



2



1

p p a p b



p p a



t 1



1



a



2



at



at e



2



1

p p a



at 1



1 2

te

2



32



34



p p



a2



31



33



at



a b be



1



30



e



a2



1

28



1 cosat



a2



27



1



p



at



cosat



3



p a



3



1



b

a



b

sin bt cos bt

a



p p b



2



a



2



1

2



b



2



b



2



b



2



p a p



2



p



a cos bt bsin



p a p



absin bt b2 cos bt



p2

2

p a p



2



KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung khóa luận tốt nghiệp: “Phép biến đổi

Laplace và một số ứng dụng” mà em mạnh dạn đưa ra. Các bài tập phương

pháp nghiên cứu để đi đến lời giải trong khóa luận tốt nghiệp này đã được em

áp dụng trong học tập khi em học về Phương trình đạo hàm riêng và Giải tích

hàm dưới sự hướng dẫn của các thầy cơ trong khoa Tốn.

So với phương pháp cổ điển để giải phương trình vi phân hệ số hằng ta

thấy phương pháp sử dụng biến đổi Laplace có những ưu điểm vượt trội:

+ Dù n lớn bao nhiêu ta chỉ cần giải một phương trình đại số bậc nhất

đối với Y(p)

+ Khối lượng tính tốn nói chung ít hơn so với phương pháp biến thiên

hằng số Lagrange

+ Cho ngay nghiệm riêng không cần thông qua nghiệm tổng quát.

Trong trường hợp muốn có nghiệm tổng quát ta chỉ cần đặt:

y0 = C0, y0 = C , …… , y n

1

0



1



Cn 1 , Ck là những hằng số tùy ý.



Biến đổi Laplace còn nhiều ứng dụng trong tốn học và trong những

lĩnh vực khác. Trong khn khổ của khóa luận tốt nghiệp em chỉ khai thác

được các vấn đề trên đây, em rất mong được nghiên cứu thêm về vấn đề này

kính mong được sự góp ý của q thầy cơ và của các bạn sinh viên để khóa

luận tốt nghiệp của em được hoàn thiện hơn nữa.

Em xin chân thành cảm ơn!



TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Luân, Nguyễn Văn Nhân,

Biến đổi tích phân, NXB Giáo Dục, 2002

[2] Đậu Thế Cấp, Bài tập hàm biến phức, NXB Giáo dục, 2002

[3] Nguyễn Thừa Hợp, Giáo trình đạo hàm riêng, NXB Đại học quốc gia,

2001

[4] Nguyễn Thế Hồn, Trần Văn Nhung, Bài tập phương trình vi phân, NXB

Đại học và trung học chuyên nghiệp, 1979

[5] Nguyễn Thế Hồn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn

định, NXB Giáo dục, 2003

[6] Nguyễn Mạnh Hùng, Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học sư

phạm, 2006



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

4 Ứng dụng giải hệ phƣơng trình vi phân hệ số hằng

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×