Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
3 Ứng dụng giải phƣơng trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang

3 Ứng dụng giải phƣơng trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang

Tải bản đầy đủ - 0trang

1. t < a thì Ha(t) = 0 và Hb(t) = 0 nên Hab = 1



2. a



t



b thì Ha(t) = 1, Hb(t) = 0



3. t



b thì Ha(t) = 1, Hb(t) = 1



Hab t



Hab t



1



0



Hàm Heaviside H, hàm tịnh tiến Ha và hàm khoảng Hab thường được sử dụng

để miêu tả hàm liên tục từng khúc.

Vậy Hab(ab) = Ha(t) –Hb(t) = H(t – a) – H(t – b)

0 khi

ta

= 1 khi a tb

0 khi

bt

Ví dụ 4: Mơ tả hàm sau sử dụng hàm bậc thang Heaviside

f t



2t

2



khi 0 t 1

khi 1 t



Thật vậy, từ hàm f(t) là hàm khả vi liên tục trên khoảng 0



t 1 và t 1



Ta có f(t) = 2tH01(t) + 2H1(t) = 2t[H(t) – H(t - 1)]+2H(t - 1)

= 2tH(t) – 2(t-1)H(t-1)

3.3.1.2 Biến đổi Laplace thuận của hàm Heaviside

a. Biến đổi Laplace của hàm Heaviside

e H c t dt



L Hc t



pt



e



cp



p



0



b. Biến đổi Laplace của hàm tịnh tiến Heaviside

-cp



L{H(t – c)f(t – c)} = e F(p)

Ví dụ 5: Tìm biến đổi Laplace của hàm sau:

f t



3



khi 0 t 4

5 khi 4 t 6

e7 t khi 6 t

Giải:

7-t



Ta có: f(t) = 3H04(t) – 5H46(t) + e H6(t)

7-t



= 3[H(t) – H(t – 4)] – 5[H(t – 4) – H(t – 6)] + e H(t – 6)

-(t-6)



= 3 H(t) - 8 H(t - 4) + 5 H(t - 6) + e.e



H(t - 6)



Dựa vào công thức biến đổi Laplace của hàm bậc thang Heaviside và bảng

biến đổi Laplace ta được:

4p



3

e

F(p) = L{f(t)} =

8

p

p



5



6p



e



e



p



e



6p



p



3.3.1.3 Phép biến đổi ngược của hàm Heaviside

Cho hàm f(t) liên tục từng đoạn và F(p) = L{f(t)} thì:

-1



-cp



L {e F(p)} = H(t – c)f(t – c)

3.3.2 Các ứng dụng của hàm Laplace có vế phải là hàm bậc thang.

Ví dụ 6: Tìm nghiệm của phương trình vi phân:

y’’ +4y = f(t)



với



0



khi 0 t

sin t khi t



f t



thỏa mãn điều kiện ban đầu : y(0) = -1; y’(0) = 0

Giải:

f(t) = 0 H0π(t) + sint Hπ(t) = sint H(t – π)

= - sin(t – π) H(t – π)

p



F(p)



e

p2 1



L f t



Lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình đã cho ta có:

L{y’’(t) + 4y(t)} = L{f(t)}

p



e

p2 1



2



p Y(p) – py(0) – y’(0) + 4Y(p) =

p



(p2



4)Y(p)



e

p2 1



p

p



Y p



p2



e

1 p2



4



p2

p2



4



Dùng phép biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc ảnh ta có:



L



1



e



1



p



p

L



1



e



2



4

1



p



do

đó: L

1



Y

p

1



1



p



L



2



p



3 p



p



2



1H

t

3



y t



H(T



)



sin t



sin 2(t



p



3 p



2



p

1



2



p



y t

4



1H

t

3



1 sin 2 t

2



Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

cos2t 1 sin 2 t khi 0

sin t

y(t) = 1

3 2



t

khi t



Ví dụ 7: Tìm nghiệm của phương trình vi phân:

y’’ + y = f(t) với



f t



2t khi 0 t 1

2 khi 1 t



thỏa mãn điều kiện ban đầu: y(0) = 0; y’(0) = 1

Giải:

Ta có: f(t) = 2t H01(t) + 2 H1(t)

= 2t [H(t) - H1(t)] + 2 H1(t)

= 2t H(t) – 2 (t – 1) H1(t - 1)

L f t



1

2

p2



p



e

2

p2



)



) cos 2t



e

1



1



)



2



H(T



4

e



)sin(t



4



p2

L



H(T



Fp



Lấy biến đổi Laplace hai vế của phương trình đã cho:

L{y’’(t) + y(t)} = L{f(t)}



cos2t



p2 Y p



py 0



y 0



p



2 2e p2

p2

1



Y p



p







Y p



22e

p2 p2 1



1

p2 1

p



22e

p2

22e

p2



Y p



p



p



22e

1

p2



p2 1 Y p



22e

p2



2 2e

p2 1



p



2 2e

p2 1



p



p



1

p2 1



2

p2



2e

p2



p



p



2e

1

p2 1 p2 1



Dùng biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc ảnh ta có:

L



1



2



2t; L



p2



L



1



L



1



1



2e p

2

p 1



p



2



1

1



p



2e



2 t 1 H t 1



p2



2H t 1 sin t 1



sin t



-1



do đó: y(t) = L {Y(p)}

= 2t – 2(t – 1)H(t – 1) + 2H(t – 1)sin(t – 1) – sint

= 2t – sint – 2[(t – 1) + sin(t – 1)]H(t – 1)

Vậy nghiệm phương trình đã cho là:

y(t)



2t sin t

khi 0 t 1

2 2sin(t 1) sin t khi 1 t



3.4 Ứng dụng giải hệ phƣơng trình vi phân hệ số hằng

3.4.1 Phương pháp chung

Cũng như phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng, để giải phương

trình vi phân tuyến tính hệ số hằng ta thay các hàm cần phải tìm, các đạo hàm

của chúng và các hàm ở vế phải (nếu là hệ khơng thuần nhất). Khi đó ta sẽ thu

được một hệ phương trình đại số tuyến tính đối với ảnh của các hàm phải tìm.

Giải hệ đó và dùng phép biến đổi ngược để tìm hàm gốc, ta được

nghiệm riêng của hệ thỏa mãn điều kiện đã cho.

3.4.2 Ví dụ

Ví dụ 8: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân:

x t

y t



2x t

2x t



3y t

y t



thỏa điều kiện ban đầu: x(0) = 8; y(0) = 3

Giải:

Giả sử: L{x(t)} = X(p)

L{y(t)} = Y(p)

Ta có:



L xt

L y t

pX p

pY p



2x t

2x t

x 0

y 0



3y t

y t



L 0

L 0



2X p

2X p



3Y p

Y p



p 2 X p 3Y p

2X p

p 1Y p

X p

Y p



8p 17

p2 3p 4

3p 22

p2 3p 4



0

0



8

3

X p

Y p



5

p1

5

p1



3

p 4

2

p 4



0

0



Lấy biến đổi Laplace ngược và tra bảng đối chiếu gốc - ảnh ta có nghiệm của

hệ là:



x t



5e



3e4t



t



y t



5e



2e4t



t



y t

y t



Ví dụ 9: Giải hệ phương trình sau:



x t t

x t et



thỏa mãn điều kiện ban đầu: x(0) = y(0) = 0 và y’(0) = - 2

Giải:

Giả sử: L{x(t)} = X(p)

L{y(t)} = Y(p)

Ta có:



L y t

L y t



x t

x t



pY py 0

p2Y p



L t

L et

1

p1

p1



pX px 0



py 0



y 0



pY p



X p

1

3

p



pX p

X pp 2Y p

Y p



1

3p1 3p 2

p1

p2



X p

2



X pp2Y p



X p

3

Y p p



3pp1

p1



1 11p51

2 p12 p2

11 11p51

p2 2 p12 p2



12 p2

12 p2



1

1



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

3 Ứng dụng giải phƣơng trình vi phân có vế phải là hàm bậc thang

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×