Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
2 Biến đổi Laplace ngƣợc

2 Biến đổi Laplace ngƣợc

Tải bản đầy đủ - 0trang

L(e t )



1

p

e



t



L 1(



1

p



)



L(tn )

b. Tìm



1



1



L (



p2



,

3!

3

L(t ) p 4



suy ra:



6

p4



1



1



p4



)

6



L 1(

)



Từ



p



6



1 3

6t



sin 2t



4

1



)

4



L1



2



(

2



p2



3



e



L 1 (2

p2



4



)



sin 2t



)

4



2



4t 2



Từ L(e

)



suy ra:



2



L 1( 6 )

p4



p4



1



L 1(



1

4

), L

(p 4)3 )

(



t3



L 1(



2

p2



L(sin 2t)



suy ra:



4



4



p

Từ



1



) L 1(



t



2

(p



4)



2

L1

3)

( (p 4)



4t



t2



4

2

L1

2L 1

2e 4t t 2

3)

3)

(p 4)

( (p 4) (



c. Tìm:



L 1(

p



2



1

2p 5 )



Ta thấy:

p2



1

2p 5



1

(p 1)2

2

(p1)2 4



4



1

2

2 (p 1)2



4



e t sin 2t L 1 (



2

)

(p1)2 4



Từ:

n! p n



1



tn



L(e t sin 2t)

1



L 1(

suy ra:

p2



2p 5



)

(



1



L1



L 1(



n! )

pn 1

2



)



1



e

2



(p 1) 2 4



2



t



sin 2t



2.2.2. Các định nghĩa và tính chất của phép biến đổi Laplace

2.2.2.1 Định lý 1 ( công thức Mellin)

Cho hàm gốc f(t) trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục

thực t ≥ 0, f có chỉ số tăng là α0, khi đó

x i



1

2 i



f t



ept F p dp, Rep



x



0



x i



Tích phân trong định lý 1 được hiểu theo nghĩa giá trị chính và cơng thức này

có tên là Mellin

Chứng minh:

-xt



+ Với x > α0, đặt g(t) = e



f(t) ta cũng có g(t) trơn từng khúc trên mọi



khoảng hữu hạn của nửa trục thực t ≥0.

Ngồi ra ta có:

xt



g t dt



ef t dt



0



e xte(



M



0



0



)t



dt



0



M



e



( x) t



0



dt



0



Chọn ε > 0 sao cho: (x - α0 – ε) > 0, khi đó g là hàm khả tích

Sử dụng cơng thức tích phân Fourier và lưu ý g(u) triệt tiêu khi u < 0 ta có:

1

2



g t



suy ra:



1

2



xt



e f t



1

2

do đó: f t



e xtf t

1

2



e( x



g u ei



( t u)



du d



0



e xuf u ei



( t u)



dud



0



ei t d



e



(x i



)



du



0



1

2

i )t



e xu fei u( t

0



F x



i



d



u)



dud



Đổi biến : p



x i



ta được:



1

2 i



f t



x i



ept F p dp, Rep



x



0



x i



2.2.2.2 Định lý 2

Cho các hàm gốc f, g trơn từng khúc trên nửa trục thực t ≥ 0 có chỉ số

tăng lần lượt là α0 và β0. Giả sử L(f)= F, L(g) = G. Khi đó fg cũng là hàm gốc

x i



1



với chỉ số tăng α0 + β0 và L fg



2 ix



F v G p



v dv



i



trong đó x ≥ x0, Rep > x + β0

Chứng minh:

Dễ thấy:

+ fg trơn từng khúc trên nửa trục thực t ≥ 0

+ (fg)(t) = 0 khi t < 0

+ Có |f(t)| ≤ M.

e



0t



,



t ≥ 0, M > 0

0t



|g(t)| ≤ M. e ,

suy ra: | f(t) g(t)| ≤ M.M0.

(

e



0



0)



t



t ≥ 0, M0 > 0



, t≥0



Vậy suy ra (f g) là gốc với chỉ số tăng (



0



0



)



Ta thấy:

x i



L fg



e ptf t g t dt

0



1



e ptg t

0



x i



F v dv e v



g t dt



1

2 ix

1



F v G p

i

x



v dv dt



i



F v G p v dv

2 ix i

2

i

x

0

i

Trong định lí trên ta đã rút ra cơng thức Mellin từ giả thiết F là biến đổi

p t



Laplace của một hàm gốc nào đó. Vấn đề đặt ra là F phải thỏa mãn điều kiện

gì để có thể là biến đổi Laplace của một hàm gốc nào đó. Ta có định lí dưới

đây:



2.2.2.3 Định lí 3

Cho hàm F thỏa mãn các điều kiện sau:

1. F giải tích trong miền Rep > α0.

2. Khi | p | → + ∞ trong miền Rep > α0 thì hàm F tiến về 0 đều theo

arctan p



[-π/2; π/2]

x i



3. Với mọi x > α0 có:



F x iy dy M với M là hằng số



x i



Khi đó hàm F xác định trên Rep > α0 là biến đổi Laplace của hàm f xác

định bởi:

1

2 i



f t



x i



ept F p dp, x



0



x i



Định lí dưới đây cho phép ta tìm hàm gốc của một hàm chính quy tại vơ cực.

2.2.2.4 Định lí 4

Giả sử rằng thác triển giải tích của F lên nửa mặt phẳng trái là một hàm

giải tích đơn trị. Giả sử L(f) = F và P = ∞ là điểm chính quy của F, nghĩa là F

cn



có khai triển tại vơ cực như sau: F p

n 1



thì nó sẽ có hàm gốc: f t



p



(2.6)



n



tn

Cn 1 n! , t 0

nn!

0 pn 1



(2.7)



Nhận xét: Ta đã biết: L t n

Do đó định lí trên cũng có nghĩa là:

L



Cn

n 0



t

1



n



n!



Cn

n 0



n!



1



n



L(t )



Ví dụ 18: Tìm hàm f thỏa mãn L(f) = F với F định bởi:



1

p2



F p



1



Giải:

Trước hết ta khai triển hàm F thành chuỗi Laurent trong lân cận P = ∞

( 1)n



F p

n 0



(2n)!

2

2(n!) p

2n



2n



,



1



p



1



Theo định lí 4 ta sẽ có:

( 1)n



f t

n 0



(2n)!

2n



2(n!) p



( 1)n



2 2n 1

n 0



Ví dụ 19: Tìm hàm gốc của các hàm sau:

1

1

a.

cos ,

sin

1

b.

p

p



1



1



2n



2



(n!)2



c.



1

p



e



1

p



2



p



Giải:

Khi học về chuỗi Laurent ta đã biết khai triển thành chuỗi Laurent của

cos x

x

2n 1

2n

các hàm: =

sin

x

=

(

;

e

=

x

xn

n

x

1)

( 1)n

;

n!

(2n 1)!

(2n)!

n 0

n 0

n 0

Sử dụng định lí 4 ta chỉ cần khai triển các hàm đã cho thành chuỗi

Laurent trong lân cận điểm p = ∞ rồi áp dụng công thức (2.7)

2n



a.



1

1

cos

=p p



n



1

1

p

( 1)n

0p

(2n)!

t



( 1)n

n 0



2n



suy ra f t = ( 1)n

2

[(2n)!]

n 0

:



b.



1

sin

=p



( 1)n

n 0



1

2n

(2n 1)!p



( 1)n

n 0



t



1



2n



(2n 1)[(2n)!]



2



x 2n



1



(2n 1)!



suy ra: f t =



c.



1



suy ra: f t =



1



ep =



1



2



n



2n 1



p



n 0



t 2n

0 n!(2n)!



n!p



2.2.2.5 Tính khơng chỉnh của biến đổi Laplace ngược

Bài tốn tìm hàm gốc có thể xem như bài toán giải PTVP cấp một sau

đây:

e ptf t dt F p



(2.8)



0



Xét phương trình tốn tử:



Af = g



(2.9)



Trong đó: A là tốn tử từ L2 vào L2 định bởi:

e ptf t dt



Af: p a



(2.10)



0



Bài tốn tìm f thỏa mãn phương trình (2.9) là bài tốn khơng chỉnh vì

bài tốn có thể vơ nghiệm hoặc phụ thuộc liên tục vào g. Nghĩa là sự thay đổi

rất nhỏ của g cũng dẫn đến sự nhiễu rất lớn của f.

2.2.2.6 Định lí

Giả sử trong g g



Khi đó:



f f



1u

2



và f = Au, u

2

2



1

2



1

2



+



L2 ( trên R )



CHƢƠNG 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG

CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE



3.1 Ứng dụng giải phƣơng trình đạo hàm riêng

3.1.1 Bài tốn giải phương trình truyền nhiệt

ut x, t uxx x, t

u x, t f



0

,x



¡ ,t 0



Giải:

Ta thực hiện biến đổi Laplace với biến thời gian t ta có:

e pt v x, t dt, p 0



L V x, p

0



suy ra: L uxx x, t



e ptu xx x, t dt

0



e pt ut x, t dt

0



Dùng phương pháp tích phân từng phần ta được:

L uxx x, t



e



pt



u x, t



lim (e



L uxx x,

do đó:

t



pt



t

t



0



e ptu x, t dt



p

0



f x ) p.L{u x, t }



t



p.L u x, t



f x



Bây giờ ta cố định p > 0 và đặt:

u x



L u x,p



uxx



x



pu x



f x với x > 0, p > 0



Nếu giải được phương trình này thì nghiệm: “phương trình ban đầu” xác định

bởi biến đổi Laplace. Do đó, nghiệm của phương trình cuối với vế phải f là

biến đổi Laplace của nghiệm của phương trình truyền nhiệt với dữ kiện ban

đầu.



3.1.2 Bài tốn giải phương trình truyền sóng

utt x, t uxx x, t0

u x,0 g x ;u t x,0



0



,x



¡,t 0



trong đó u bị chặn và g trơn với giá compact.

Giải:

Vì u bị chặn và g là trơn với giá compact nên:

u x,p g x



Đặt k



¡, p



0



u x, p



4 t¡/



g x e



4t



dp



,

1



1

4



J



(x,p), x



p2



1



J

p2

4t



c,



ce kk 2 dk



2



4t



suy ra J



0 khi t



0



Từ đó suy ra v x, t g x

Vậy lim v x, t



g x



Ta có: Vp x, t



1

4



t



0



p



e



0 khi t



p



0



2



4t



upp



x, t

dp



(do ta cố định x)



Dùng phương pháp tích phân từng phần, ta có:

1

V x, t

e p4t2

u

pp



x, t dp



pp



4



Tích phân từng phần lần hai:

V



pp



x, t



1

4



p2

4t 2



1

e

2t



p2

4t



u x, p dp vx,

t t



Do đó V thỏa mãn bài tốn giá trị ban đầu với phương trình truyền nhiệt

Vt x, t vxx x, t

v x,0g x



o, x



¡ ,t 0



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

2 Biến đổi Laplace ngƣợc

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×