Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Phương pháp nghiên cNu

Phương pháp nghiên cNu

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chương 1



Nghi¾m nhét cúa

phương trình

Hamilton-Jacobi

1.1. Đ%nh nghĩa và các tính chat cơ

bán

Trong mnc này ta se trình bày hai đ%nh nghĩa tương đương cúa

nghi¾m nhót cúa phương trình Hamiltol-Jacobi và nghiên cúu moi

quan h¾ cúa chúng dna vào nguyên lý so sánh nghi¾m và moi quan

h¾ vói khái ni¾m nghi¾m co đien cúa phương trình HamiltonJacobi (viet tat (HJ)). Cho phương trình Hamilton-Jacobi dang:

F(x, u(x), Du(x)) = 0 x ∈ .



(HJ)



Trong ú l mđt tắp mú cỳa Rn v hàm Hamilton F(x, r, p) là

m®t hàm liên tnc lay giá tr% thnc trên Ω × R × Rn.



Đ%nh nghĩa 1.1. Mđt hm u C() l mđt nghiắm nhút dưói cúa

phương

trình Hamilton-Jacobi neu vói moi ϕ ∈ C1(Ω) thì :

F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0



(1.1)



tai bat kỳ điem cnc đai đ%a phương x0 ∈ Ω cúa hàm u − ϕ. Tng tn

mđt



hm u C() l mđt nghiắm nhút trờn cúa phương trình



Hamilton-Jacobi neu vói moi ϕ ∈ C1(Ω) thì :

F(x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ 0



(1.2)



tai bat kỳ điem cnc tieu đ%a phương x1 ∈ Ω cúa hàm u − ϕ. Cuoi

cùng u là nghi¾m nhót neu nó vùa là nghi¾m nhót trên vùa là nghi¾m

nhót dưói. Hàm ϕ(x) đưoc goi là hàm thú.

Chúng ta còn biet rang m®t cách chính xác đ%nh nghĩa trên còn

đưoc áp dnng cho phương trình Hamilton-Jacobi tien hóa có dang:

ut (t, y) + F(t, y, u(t, y), Dyu(t, y)) = 0, (t, y) ∈ [0, T ] ì D.

Thắt vắy, phng trỡnh trờn cú the đưoc đưa ve phương trình (HJ)

bang cách đ¾t :

x = (t, y) ∈ Ω = [0, T ] × D ⊆ Rn+1 , F˜ (x, r, p) = qn+1 + F(x, r,

p1 , ...., qN ).

vói q = (q1 , ..., qN, qN+1) ∈ Rn+1.

Nh¾n xét 1.1. Trong đ%nh nghĩa nghi¾m nhót dưói ta ln có

the giá sú rang x0 là điem cnc đai đ%a phương ng¾t cúa hàm u − ϕ

2



(neu khơng ta có the thay ϕ(x) bói ϕ(x) + |x − x0 | ). Hơn nua do

(1.1) chí phn thu®c vào giá tr% cúa Dϕ tai x0, nên khơng mat tính

tong qt ta có the giá sú rang



u(x0) = ϕ(x0). Đoi vói đ%nh nghĩa nghi¾m nhót trên ta cũng có

nh¾n xét tương tn. Ve m¾t hình hoc thì đieu này có nghĩa rang các

hàm thú trong

đieu ki¾n nghi¾m nhót dưói (1.1) đoi vói u là tiep xúc trên vói đo th% cúa

u. Ta cũng chú ý rang khơng gian C1(Ω) cúa các hàm thú trong Đ

%nh nghĩa 1.1 có the đưoc thay the bang C∞(Ω).

M¾nh đe sau đây se the hi¾n nhung đ¾c trưng cơ bán cúa nghi¾m

nhót và moi quan h¾ cúa nó vói đ%nh nghĩa nghi¾m co đien.

M¾nh đe 1.1. (a) Neu hàm u ∈ C(Ω) l mđt nghiắm nhút cỳa

(HJ) trong

, thỡ u l nghiắm nhót cúa (HJ) trong Ωr , vói moi Ωr ⊂ ;

(b) Giỏ sỳ hm u C() l mđt nghiắm co đien cúa (HJ), túc là u

khá vi tai moi điem x ∈ Ω và:

F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) = 0



∀x ∈ Ω.



(1.3)



Khi đó u là nghi¾m nhót cúa (HJ);

(c) Neu hàm u C1() l mđt nghiắm nhút cỳa (HJ), thỡ u là

nghi¾m co đien cúa đó.

Chúng minh. (a) Neu x0 là m®t cnc đai đ%a phương (trên Ωr ) cúa u −

ϕ,

ϕ ∈ C1 (Ωr ) , thì x0 là m®t cnc đai đ%a phương (trên Ω) cúa u − ϕ˜ ,

vói moi

ϕ˜ ∈ C1 (Ωr ) thóa



≡ ϕ trên B¯ (x0 , r), vói r ≥ 0 nào đó. Tù (1.1)



mãn ϕ˜



ta





0 ≥ F(x0 , u(x0 ), Dϕ˜ (x0 )) = F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )).



Chúng tó rang u là nghi¾m nhót dưói cúa (HJ) trên Ωr . L¾p lu¾n

tương

tn ta cũng có u là nghi¾m nhót trên cúa (HJ) trên Ωr . V¾y (a) đưoc

chúng minh xong.



(b) Lay ϕ ∈ C1(Ω) bat kỳ. Tù tính khá vi cúa u nên tai điem cnc tieu

ho¾c

cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ ta có Du(x) = Dϕ(x). Tù (1.3) ta đưoc

0 = F(x0, u(x0), Dϕ(x0) ≤ 0

neu x0 là m®t điem cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ, và

0 = F(x1, u(x1), Dϕ(x1) ≥ 0

neu x1 là m®t điem cnc tieu đ%a phương cúa u − ϕ. Theo Đ%nh

nghĩa 1.1 ta chúng minh đưoc (b).

(c) Neu u ∈ C1(Ω), thì ϕ ≡ u là trưòng hop tam thưòng trong đ%nh

nghĩa

nghi¾m nhót, khi đó vói x bat kỳ ∈ Ω thì vùa là cnc đai vùa là cnc

tieu đ%a phương cúa hàm u − ϕ. Do đó theo (1.1) và (1.2) thì:

F(x, u(x), Du(x)) = 0,



∀x ∈ Ω.



V¾y m¾nh đe đưoc chúng minh xong.







M¾nh đe (a) cho thay khái ni¾m nghi¾m nhót có tính đ%a phương.



v¾y ta có the lay các hàm thú trong (1.1) và (1.2) thu®c C1(RN )

hoắc thuđc hỡnh cau bat k ỳ nhú B(x, r) tâm x ∈ Ω.

Đ%nh nghĩa nghi¾m nhót có liên quan ch¾t che đen hai tính chat

đưoc nêu trong lý thuyet cúa phương trình eliptic - parabolic đó là

ngun lý cnc đai và ngun lý so sánh. Vói phương trình (HJ) hai

tính chat này đưoc xây dnng tương úng như sau.

Đ%nh nghĩa 1.2. M®t hàm so u ∈ C(Ω) thóa mãn ngun lý so

sánh vói các nghi¾m nhót trên trơn ng¾t neu vói moi ϕ ∈ C1(Ω) và

t¾p mó O ∈ Ω,

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0,



∀x ∈ O, u ≤ ϕ trên ∂ O



thì u ≤ ϕ trong O.

Ta nói rang hàm so u ∈ C(Ω) thóa mãn nguyên lý cnc đai neu vói

moi

ϕ ∈ C1(Ω) và t¾p mó O ∈ Ω có bat đang thúc :

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0,



∀x ∈ O



thì u − ϕ khơng the có cnc đai không âm trong O.

De thay rang neu hàm u ∈ C(Ω) thóa mãn ngun lý cnc đai thì

nó thóa mãn nguyên lý so sánh. Moi quan h¾ giua chúng vói khái

ni¾m nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ) se đưoc trình bày ó

m¾nh đe sau đây.

M¾nh đe 1.2. Neu hàm so u ∈ C(Ω) thóa mãn nguyên lý so sỏnh

thỡ u l mđt nghiắm nhút dúi cỳa phng trỡnh (HJ). Ngoc lai,

neu u l mđt nghiắm nhút dúi cỳa phương trình (HJ) và r → F(x,

r, p) là m®t hàm khơng giám vói moi x, p thì u thóa mãn nguyên lý

cnc đai và nguyên lý so sánh.

Chúng minh. Giá sú u ∈ C(Ω) thóa mãn nguyên lý so sánh, neu u

khơng phái là nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ) thì khi đó

ton tai x0 ∈ Ω, ϕ ∈ C1(Ω) mà x0 là điem cnc đai ng¾t cúa u − ϕ,

(u − ϕ)(x0 ) = 0 và

F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0)) > 0.

Vói n đú lón ta





cũng thay

rang:



an := sup

n



∂B(x 0 , 1 )



(u − ϕ) < 0



u− (ϕ + an) ≤ 0 trên ∂ B(xn0 , 1 )

u(x0) − ϕ(x0 ) − an > 0.

Theo nguyên lý so sánh vói moi n ton tai xn ∈ On := B(x0,

n

mãn



1



) thóa



F(xn, ϕ(xn) + an, Dϕ(xn)) ≤ 0

Tù an → 0 và xn → x0 khi n → ∞ thì

F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0

mâu thuan, v¾y u là nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ).

Ngưoc lai, cho u là nghi¾m nhót dưói cúa phương trình (HJ) và lay ϕ

∈ C1(Ω) thóa mãn:

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0 ∀x ∈ O.

Neu u−ϕ d¾t cnc đai đ%a phương tai x0 nào đó ∈ O vói u(x0)

−ϕ(x 0 ) ≥ 0. Khi đó tù giá thiet đơn đi¾u cúa F đan đen mâu thuan:

0 < F(x0, ϕ(x0), Dϕ(x0)) ≤ F(x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0.

Do đó, u thóa mãn tiêu chuan cnc đai và tiêu chuan so sánh.

Ket q tương tn cũng đúng vói nghi¾m nhót trên. Khi đó dau

trong các bat đang thúc trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cnc đai

đưoc đáo lai, cnc đai không âm đưoc thay the bang cnc tieu khụng

dng.

Mđt ieu can lu ý l nghiắm nhút khụng oc báo tồn khi ta đoi

dau cúa phương trình. Th¾t v¾y, vì bat kỳ cnc đai đ%a phương nào cúa

u − ϕ đeu là cnc tieu đ%a phương cúa −u − (−ϕ), nên u là nghi¾m

nhót dưói cúa phương trình (HJ) neu và chí neu v = −u là nghi¾m

nhót trên cúa

phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω; tương tn u là

nghi¾m



nhót trên cúa phương trình (HJ) neu và chí neu v = −u là nghi¾m

nhót

dưói cúa phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω. M®t ví dn

cn

the như sau :

Ví dn 1.1. Hàm so u(x) = |x| l mđt nghiắm nhút cỳa phng

trỡnh:

|ur (x)| + 1 = 0, x ∈ [−1, 1].

Đe kiem tra đieu này ta có: neu x ƒ= 0 là m®t cnc tr% đ%a phương

cúa u − ϕ thì khi đó ur(x) = ϕr (x). Vì v¾y tai nhung điem này

đieu ki¾n nghi¾m nhót trên, nghi¾m nhót dưói đưoc thóa mãn.

Ngồi ra neu 0 là cnc tieu đ%a phương cúa u − ϕ, thì ta tính đưoc |

ϕr(0)| ≤ 1 suy ra đieu ki¾n nghi¾m nhót trên van đúng. Bây giò ta

chúng minh 0 không the là cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ vói ϕ ∈

C1([0, 1]). Th¾t v¾y neu 0 là cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ thì ta

có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) trong



m®t lân cắn cỳa 0, hay (x)



(0) u(x) trong mđt lân c¾n cúa 0, tù đó ta có :







ϕr (0) = lim ϕ (x) − ϕ ≥ lim u(x)

(0)

x→0+

=1

x→0+

x

x−0

ϕr (0) = lim ϕ (x) − ϕ ≤ lim

(0)

x→0−

x→0+

x−0



u(x = −1.

)





x



Vô lý, v¾y 0 khơng the là cnc đai đ%a phương cúa u − ϕ.

M¾t khác hàm so u(x) = |x| khơng phái là nghi¾m nhót cúa

phương trình :

.

.

.ur (x). − 1 = 0,

x ∈ [−1, 1].



Th¾t v¾y đieu ki¾n nghi¾m trên khơng thóa mãn tai x0 = 0 là điem

cnc tieu đ%a phương cúa |x| − (−x2).



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Phương pháp nghiên cNu

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×