Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
A - Góc ở tâm. Số đo cung

A - Góc ở tâm. Số đo cung

Tải bản đầy đủ - 0trang

3.8 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại A và B) Hãy so sánh R

và r nếu :

a) Số đo cung nhỏ AB của (O) lớn hơn số đo cung nhỏ AB của (O).

b) Số đo cung lớn AB của (O) nhỏ hơn số đo cung lớn AB của (O).

c) Số đo hai cung nhỏ bằng nhau.

3.9 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại A và B) Hãy so sánh số

đo hai cung nhỏ AB của hai đường tròn nếu :

a) R > r

b) R = r

c) R < r





0



3.10 Trên một đường tròn (O) có sđ AB  140 , cung lớn AD nhận B làm điểm

chính giữa, cung nhỏ CB nhận A làm điểm chính giữa. Tính số đo các

cung nhỏ CD, cung lớn CD.

� � �

3.11 Cho đường tròn (O) nội tiếp ABC ( A  B  C ).



a) Gọi I, J, K lần lượt là các tiếp điểm tương ứng với các cạnh BC, CA, AB.







So sánh các góc ở tâm IOJ , JOK , KOI .



�  900  A

BOC

2 . Tìm các cơng thức tương tự đối với các đỉn

b) Chứng minh:







h B và C của ABC rồi so sánh AOB , BOC , COA .



c) Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự là tâm đường tròn bàng tiếp ABC tại các gó













c BAC , CBA , ACB . So sánh các góc ở tâm BO1C , CO 2 A , AO3 B .



3.12 Cho 2 đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r). Dây AB của (O; R) chứa

dây AB của (O; r), dây CD của (O , R) chứa dây CD của (O; r). Chứng

minh: nếu hai cung nhỏ AB, CD bằng nhau thì hai cung nhỏ AB và CD

cũng bằng nhau.

3.13 Cho ABC đều. Gọi O là tâm đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C.

a) Tính số đo các góc ở tâm tạo bởi hai trong ba bán kính OA, OB, OC.

b) Tính số đo tạo bởi hai trong 3 điểm A, B và C.

B - Liên hệ giữa cung và dây

1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn (hay hai

đường tròn bằng nhau):

 Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

 Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.

2. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn (hay hai

đường tròn bằng nhau):

 Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

 Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

3. Trong một đường tròn hai cung bị chắn bởi hai dây

song song thì bằng nhau.

4.  Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm

chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của



dây căng cung ấy.



 Trong một đường tròn đường kính đi qua trung

điểm của một dây cung (khơng đi qua tâm) thì

chia cung căn dây ấy thành hai phần bằng nhau.

 Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm

chính giữa của một cung thì vng góc với dây

căng cung ấy và ngược lại.

3.14 Cho ABC có (AB > AC) Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho

AD = AC. Vẽ (O) ngoại tiếp DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vng góc

OH, OK xuống BC và BD (H  BC, K  BD).

a) C/minh: OH < OK

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

3.15 Cho đường tròn (O; r) với dây cung AB. Gọi H là trung điểm của AB và I

là điểm chính giữa của cung AB (cung nhỏ hoặc cung lớn hoặc cung nửa

đường tròn).

a) Chứng minh rằng ba điểm H, I, O thẳng hàng.

b) Cho cung CD cũng nhận I là điểm chính giữa.

Chứng minh : CD // AB hoặc CD  AB.

3.16 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A, B.

Kẻ các đường kính AOC và AOD. Gọi E là giao điểm thứ hai của đường

thẳng AC với (O).

a) Chứng minh 3 điểm C, B, D thẳng hàng.





b) So sánh các cung nhỏ BC và BD

.



c) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD

.



3.17 Trên dây cung AB của một đường tròn (O), lấy hai điểm C và D sao cho

AC = CD = DB) Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E

và F. Chứng minh:

�  FB



a) AE



�  EF



b) AE



O

C



A

E



D



B



Gọi E là điểm đối xứng với O qua tâm C => AEDO là hình bình hành.

Ta có AE = OD < R (do D nằm trong đt nên khoảng cách tới O < bán

kính) = OA

Trong ∆ AEO do AE < OA nên góc AOC = góc AOE < góc AEO = góc EOD

(so

le)

=

góc

COD

Do đối xứng (hoặc tương tự) góc DOB = góc AOC < góc COD



3.18 Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy hai điểm C, D. Từ C kẻ

CH  AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Từ A kẻ AK  DC, nó

cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F. Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau.

b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau.

c) DE = BF.

3.19 Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O; 2R). Từ M  (O; 2R) kẻ hai tiếp

tuyến MA, MB đến (O; R), các tiếp tuyến này cắt (O; 2R) tại N và K.

a) Tính số đo cung AB.

b) So sánh hai cung MN và NK.

c) Gọi OC là bán kính của (O; 2R) song song với với BM (C  cung NK),

bán kính này cắt đường tròn (O; R) tại D. Tính số đo (độ) các cung AD

và NC.

3.20 ABC có AM là trung tuyến, BH là đường cao.

a) So sánh các cung nhỏ MH và MC của đường tròn đi qua ba điểm C, M,

H.

b) Trong trường hợp CH là đường kính của đường tròn (CMH), tính số đo



HBC

.



3.21 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C và D chia nửa

đường tròn thành ba phần bằng nhau (C ở gần B hơn).

a) Tứ giác BCDO là hình gì ? Tính số đo các góc của tứ giác.

b) Gọi I là điểm chính giữa của cung AD. Tiếp tuyến của đường tròn tại A

0



cắt OI ở E và cắt tia BD ở F. Chứng minh: OCI  45 và OE = AF.



3.22 Cho (O; R) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuộc đường tròn

(C  A, C  B). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cung nhỏ AC và

CB. Kẻ ND  AC (D  AC).

a) Chứng minh: ND là tiếp tuyến của (O).

b) Tính số đo (độ) của cung MN.

c) Chứng minh: khi C di chuyển trên (O) thì MN ln tiếp xúc với một

đường tròn cố định.

3.23 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Kẻ hai

đường kính BOC và BOD của hai đường tròn này.

a) So sánh số đo (độ) của hai cung nhỏ AC và AD.

b) Lấy điểm M trên đoạn AC sao cho MA < MC. Đường thẳng vng góc

với AC tại M cắt (O) ở N. So sánh cung AN và cung CN.

3.24 Cho ABC đều. Ở miền ngoài của tam giác vẽ nửa đường tròn đường

kính BC. Trên nửa đường tròn này lấy hai điểm M và N sao cho ba cung

BM = MN = NC). Chứng minh rằng các đường thẳng AM và AN chia BC

thành 3 phần bằng nhau.



C - Liên hệ giữa góc và đường tròn

1. Góc nội tiếp:

a) Góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn và

hai cạnh của góc chứa hai dây cung của đường

tròn đó.

b) Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng

nửa số đo của cung bị chắn.

c) Trong một đường tròn:

 Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng

nhau.

 Các góc nt cùng chắn một cung hoặc các cung

bằng nhau thì bằng nhau.

 Góc nội tiếp (nhỏ hơn hay bằng 900) có số đo

bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một

cung.

 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vng.

2. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

a) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

bằng nửa số đo của cung bị chắn.

b) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung

thì bằng nhau.

3. Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngồi đường

tròn:

a) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn.

b) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đường tròn

bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.

3.25 Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vng góc với nhau. Lấy

một điểm M trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với (O) tại M. Tiếp tuyến này





cắt đường thẳng CD tại S. Chứng minh: MSD = 2 MBA

.



3.26 Từ một điểm T ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến TP (P là tiếp

điểm) và cát tuyến TBA đi qua tâm O của đường tròn (A và B thuộc (O),

0





B nằm giữa O và T). Chứng minh: BTP  2BPT  90 .



3.27 Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Dây AE cắt dây BC ở

D và cắt (O) ở E. Chứng minh: AB2 = AD . AE

3.28 Bài toán cơ bản (Nhớ cách chứng minh để áp dụng sau này):

a) Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến MT và hai

cát tuyến MAB và MCD với đường tròn (O) (A, B, C, D  (O)). Chứng

minh: MA . MB = MC . MD = MT2 = OM2 – R2

b) Qua điểm M ở bên trong đường tròn (O; R) kẻ hai dây cung AB và CD

của đường tròn (O) (A, B, C, D  (O)).

Chứng minh: MA . MB = MC . MD = R2 – OM2



3.29 Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm trên cung nhỏ

BC, MA cắt BC tại D. Trên AM lấy N sao cho MB = MN. Chứng minh:

a) MBN đều

b) BNA = BMC

c) AD . AM = AB2

d) MA = MB + MC

e) MA + MB + MC  4R.



1

1

1





f) MD MB MC



3.30 Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia





BC tại D. Tia phân giác BAC cắt đường tròn ở M, tia phân giác của D

cắt

AM ở I. Chứng minh: DI  AM.



3.31 Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp AB = BC = CD < R. Các

đường thẳng AB và CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn (O)

tại B và D cắt nhau tại K. Chứng minh:





a) BIC  BKD





b) BC là tia phân giác của KBD

.



3.32 Cho đường tròn tâm O, với M ở bên ngoài. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB và

đường kính AC của (O). Chứng minh: MO // BC.

3.33 Cho đường tròn (O) đường kính AB và cung CB có số đo bằng 45 0. Lấy

một điểm M trên cung nhỏ AC rồi kẻ các dây MN, MP tương ứng vng

góc với AB và OC. Tính số đo cung nhỏ NP.

3.34 Cho ABC nội tiếp trong một đường tròn. Gọi P, Q, R theo thứ tự là các

điểm chính giữa của cung BC, CA, AB.

a) Chứng minh: AP  QR.

b) AP cắt CR tại I. Chứng minh: CPI cân.

3.35 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Hai dây

cung AC, BD của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm I và lần lượt cắt

đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là C và D. Chứng minh: CD // CD.





3.36 Cho góc xOy   và một độ dài l. Hai điểm A, B di động trên hai cạnh

tương ứng sao cho độ dài AB luôn luôn bằng l. Gọi I là tâm đường tròn

ngoại tiếp OAB.

a) Chứng minh rằng IAB có chu vi khơng đổi.

b) Tìm tập hợp điểm I.

3.37 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Qua A

kẻ cát tuyến cắt các đường tròn (O), (O) lần lượt tại các điểm thứ hai là

C và D. Tia BD cắt (O) tại điểm thứ hai M. Các tia OB, BO lần lượt cắt

(O) tại các điểm thứ hai là N và P. So sánh:





a) ACB và BOO'







b) CAM và PAN .



3.38 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H. Các tia AD, BE, CF cắt (O) tại các điểm A, B, C. Chứng minh:

a) AB, BC, CA lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HC, HA, HB.

b) H là tâm đường tròn nội tiếp DEF.

c) ABC và DEF đồng dạng. Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp

DEF bằng nửa bán kính đường tròn (O).



3.39 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến

tại A của (O) cắt (O) tại P. Tia PB cắt (O) tại Q. Chứng minh: AQ song

song với tiếp tuyến tại P của (O).

3.40 Cho AOB và COD là hai đường kính vng góc của đường tròn (O; R).

Trên cung BC lấy điểm F sao cho BF = R. Trên cung BD lấy một điểm M.

Tiếp tuyến ở M gặp tia AB ở E. Đường nối CM gặp AB ở S.

a) Chứng minh: ES = EM.



b) Gọi I là giao điểm của AB và DF. Tính AID

.

c) Tính góc hợp bởi tiếp tuyến tại F với AC.



3.41 Các đường thẳng chứa dây cung AB và CD của đường tròn (O) cắt nhau

tại E ở ngồi đường tròn (B nằm giữa A và E, C nằm giữa D và E). Biết

�  750 CEB

�  220 AOD

�  450





CBE

,

,

. Chứng minh: AOB  BAC .



3.42 Cho đường tròn (O), AB và CD là hai dây cung song song với nhau (A





và C nằm cùng phía với BD). AD cắt BC tại I. Chứng minh: AOC  AIC .



3.43 Cho ABC vng tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp

tuyến tại D cắt AC ở P. Chứng minh: PD = PC.

3.44 Cho 3 điểm A, B, C  (O), sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC ở D. Tia





phân giác của góc ABC cắt đường tròn ở M, tia phân giác của D

cắt AM

ở I. Chứng minh: DI  AM.

0



3.45 Cho ABC cân tại A ( A  45 ). Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC

lần lượt ở D và E.







a) Tính số đo DOE và độ dài dây DE theo R.

b) Chứng minh: DE // BC.



3.46 Cho ABC vuông cân tại A, nội tiếp đường tròn (O; R). Trong ABC , vẽ

tia Bx hợp với BA một góc 30 0, Bx cắt AC ở D và cắt (O) ở E. Gọi H là

hình chiếu của A trên Bx.

a) AHE là tam giác gì ? Giải thích.









b) Chứng minh: EOH  ABE .

c) Tính độ dài BD theo R.

d) Gọi F là hình chiếu của E xuống đường thẳng AB và EF cắt (O) tại M.

Tính độ dài các dây cung AM, ME và EC.

3.47 Cho ABC đều đường cao AH. M là điểm bất kỳ trên BC. Kẻ ME  AB tại

E, MF  AC tại F.

a) Chứng minh: A, E, M, H, F cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm O của

đường tròn này.

b) Tứ giác OEHF là hình gì ? Vì sao ?

c) Tìm vị trí của M để EF có độ dài ngắn nhất.

3.48 Cho nửa đường kính AB. Gọi K là điểm chính giữa cung AB, M là một

điểm trên cung AK, N là một điểm trên dây cung BM sao cho BN = AM.

Chứng minh rằng:



a) MKN vng cân và MK là phân giác ngồi của AMN .



b) Khi K di chuyển trên cung AK thì đường vng góc với BM kẻ từ N ln

đi qua một điểm cố định trên tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểm

B.

3.49 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi AH là đường cao của ABC và

AD là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh:

a) AB . AC = AD . AH

b)



SABC 



abc

4R , với a, b, c là độ dài các cạnh của ABC.



3.50 Cho nửa (O), đường kính AB. Kẻ một dây AC. Gọi M là điểm chính giữa

cung AC, OM cắt AC tại H. Từ C kẻ tia song song với BM, tia này cắt OM

kéo dài tại D.

a) Tứ giác MBNC là hình gì ? Giải thích.

b) AM cắt CD tại K. Chứng minh: KH  AB.

3.51 Cho ABC vng ở A có đường cao AH. Hai đường tròn đường kính AB

và AC có tâm là O 1 và O2. Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt (O 1) và

(O2) lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh: MHN là tam giác vng.

b) Tứ giác MBNC là hình gì ? Giải thích.

c) Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của O1O2, MN và BC. Chứng minh: I

cách đều 4 điểm E, F, A và H.

d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E di động trên đường

nào ?

3.52 Cho ABC có đường phân giác trong AD, trung tuyến AM. Vẽ đường

tròn ngoại tiếp ADM cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F.

a) Chứng minh: BD . BM = BE . BA và CD . CM = CF . CA

b) So sánh BE và CF.

3.53 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính

HC. Kẻ tiếp tuyến BK với (O) (K là tiếp điểm). Tính tỉ số giữa 2 cạnh AB

và BK.

3.54 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song

song với tiếp tuyến Bx, đường thẳng này cắt BC tại D. Chứng minh:

a) AB2 = BC . BD

b) AB là tiếp tuyến của đường tròn (ACD).

3.55 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy một

cung CD có số đo 900. Gọi M là giao điểm của AC và BD, N là giao điểm





của AD và BC. Tính số đo AMB

và ANB .



3.56 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 10cm, dây AC và tiếp tuyến Bx



với đường tròn. Đường phân giác của góc BAC cắt dây BC tại F, cắt Bx

tại D.

a) Chứng minh: BFD cân.

b) Cho biết AF = 8cm, tính độ dài AD.



3.57 Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến gặp nhau tại A (B, C là tiêp điểm).

Từ B kẻ dây BD song song với AC. Đoạn thẳng AD cắt (O) tại E, BE cắt

AC tại K. Chứng minh:

a) KA2 = KE . KB

b) KA = KC

3.58 Cho ABC cân tại A ngoại tiếp đường tròn (O). Các cạnh AB, AC, BC

tiếp xúc với đường tròn tại M, N và K. BN cắt đường tròn (O) ở E, tia ME

cắt BC ở I. Chứng minh:

a) MN // BC.

b) IK2 = IE . IM.

3.59 Cho hai đường tròn (O) và (O) ở ngồi nhau. Đường nối tâm OO cắt

(O) và (O) lần lượt các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ

tiếp tuyến chung ngoài EF (E  (O) và F  (O)) . Gọi M là giao điểm của

AE và DF, N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh:

a) MENF là hình chữ nhật.

b) MN  AD

c) ME . MA = MF . MD

3.60 Cho (O ; R) có các bán kính OA và OB vng góc với nhau, M là điểm

chính giữa cung AB. Gọi C là giao điểm của AM và OB, H là hình chiếu

của M trên OA.

a) Chứng minh: BA = BC.

b) Tính diện tích tứ giác OHMC theo R.

3.61 Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). Điểm D di động trên cung AC.

Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC) Chứng

minh:

�  ABD



a) AFB



b) Tích AE . BF khơng đổi.



3.62 Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao vẽ từ B cắt (O) tại

M, đường cao vẽ từ C cắt (O) tại N. MN cắt AB và AC lần lượt tại I và J.

Chứng minh:

a) AMN cân.

b) AI . AB = AJ . AC.

3.63 Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định khơng cắt đường tròn. A

là điểm cố định trên (O) và B là điểm cố định trên d. Một đường tròn (O )

bất kỳ đi qua A và B, đường tròn này cắt (O) tại C và cắt d tại E.

a) Chứng minh khi (O) thay đổi, đường thẳng CE luôn luôn đi qua một

điểm cố định K trên (O).

b) Đường thẳng BA cắt (O) tại F. Chứng minh: FK // d.

3.64 Cho đường tròn (O) dây cung AB. M là một điểm trên tia đối của tia BA,



kẻ các tiếp tuyến MC và MD với đường tròn. Phân giác ACB cắt AB ở E.

Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:

a) MC = ME



b) DE là tia phân giác của góc ADB

.



c) IM là tia phân giác của góc AID

.



D – C ung chứa góc – Bài tốn quỹ tích

1. QuỹM tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng

cho trước dưới một góc  (00< <1800) khơng đổi là

hai O

cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng đó.

A Cách vẽ

B cung chứa góc  .

2.

'

BàiO tốn:

Cho đoạn thẳng AB và góc

0

 (0 <  < 1800). Tìm tập hợp các





điểm M thoả mãn AMB   .



- Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc .

- Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax. Gọi O là giao

điểm của Ay với đường thẳng d.

- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung

này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia

Ax.

M



m

d

A







A



O



 H



B



x



0  AMB  900

0



m



y



M









B



O

d



x



y



900  �

AMB  1800



Cung AmB được vẽ như trên được gọi là cung

chứa góc  .

3. Cách giải bài tốn quỹ tích:

Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thỏa mãn tính

chất  là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai

phần:

Phần thuận : Mọi điểm có tính chất  đều thuộc hình

H.

Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất .

Kết luận : Quỹ tích các điểm M có tính chất  là hình

H.

(Thơng thường với bài tốn: “Tìm quỹ tích …” ta nên

dự đốn hình H trước khi chứng minh)

Xem thêm phần chuyên đề để biết thêm về phần

này.



3.65 Cho ABC có cạnh BC cố định và A

=  khơng đổi. Tìm quỹ tích (tập

hợp) giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác đó.



3.66 Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là một điểm trên nửa đường

tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB.

a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn.



b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C

chạy trên nửa đường tròn đã cho.

3.67 Dựng cung chứa góc 500 trên đoạn thẳng AB = 3,5cm.



3.68 Dựng ABC, biết BC = 3cm, A

= 450 và trung tuyến AM = 2,5cm.



3.69 Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường

tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ

C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã

cho.



E - Quan hệ giữa tứ giác và đường tròn

1. Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn

được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ

giác nội tiếp).

2. Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo của hai góc đối

diện bằng 1800.

3. Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:

 Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800.

 Tứ giác có góc ngồi tại một đỉnh bằng góc trong

của đỉnh đối diện nó.

 Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có

thể xác định được) Điểm đó là tâm của đường tròn

ngoại tiếp tứ giác.

 Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh

chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau.

4. Hình thang nội tiếp được trong đường tròn là hình

thang cân và ngược lại.

3.70 Cho ABC có 3 góc nhọn. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Chứng minh:

a) Các tứ giác BFEC, ABDE, AFDC nội tiếp được.

b) Các tứ giác AFHE, BFHD, CDHE nội tiếp được.

c) Sáu điểm D, E, F, I, J, K cùng thuộc một đường tròn.

3.71 Bài toán cơ bản (Nhớ cách chứng minh để áp dụng sau này):

a) Hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết EA.EC = EB.ED. Chứng

minh: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

b) Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại M (M  AC và BD). Biết MA.MC

= MB.MD. Chứng minh: 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

3.72 Cho đường tròn (O) và dây cung AB. Từ trung điểm M của cung AB vẽ

hai dây MC, MD cắt AB ở E và F (E nằm giữa A và F).

a) Chứng minh: tứ giác CDEF nội tiếp được.

b) Kéo dài MC và BD cắt nhau ở I, MD và AC cắt nhau ở K. Chứng minh:

IK // AB.

3.73 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường

thẳng AO cắt đường tròn (O) và (O) lần lượt tại C và E. Đường thẳng AO

cắt (O) và (O) lần lượt tại D và F.

a) Chứng minh: tứ giác CDEF, ODEO nội tiếp được.

b) Đường thẳng CD và đường thẳng EF cắt nhau tại M.

Chứng minh: tứ giác MCBE nội tiếp.



3.74 Cho ABC nhọn nội tiếp (O) có A

= 450, các đường cao AD, BE, CF gặp

nhau tại H.

a) Chứng minh: OA  EF.

b) Chứng minh: điểm đối xứng của H qua BC thuộc đường tròn (O).

c) Tính tỉ số giữa hai cạnh EF và BC.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

A - Góc ở tâm. Số đo cung

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×