Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
E - Quan hệ giữa tứ giác và đường tròn

E - Quan hệ giữa tứ giác và đường tròn

Tải bản đầy đủ - 0trang

d) Chứng minh: H là tâm đường tròn nội tiếp DEF.

e) Tìm điều kiện của BC để 4 điểm B, H, O, C cùng nằm trên một đường

tròn.

3.75 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt

nhau ở D. Từ D kẻ một cát tuyến song song với AB cắt (O) ở E và F, cắt

cạnh AC ở I. Chứng minh:

a) Tứ giác DOIC nội tiếp được. b)

IE = ID.

3.76 Từ một điểm M ở bên ngồi đường tròn (O; R) vẽ cát tuyến MAB với

đường tròn (O).

a) Chứng minh: MA . MB = MO2 – R2.

b) Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt đường thẳng (d)

vng góc với OM kẻ từ M tại C và D. Chứng minh: MC = MD.

3.77 Cho ABC (AB  AC), trung trực của BC cắt BC tại M và cắt tia phân

giác của góc A tại I.

a) Chứng minh: 4 điểm A, B, I, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu của I trên AB, AC. Chứng minh: H,

M, K thẳng hàng.

3.78 Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định. Điểm M di chuyển trên (O).

Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB. Gọi I là giao điểm của hai tiếp

tuyến (khác AB) kẻ từ A và B đến đường tròn tâm M. Chứng minh:







a) AOB = EMF

b) Tứ giác AOBI nội tiếp. Suy ra 3 điểm M, O, I thẳng hàng.



3.79 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), I là điểm chính giữa cung BC khơng

chứa A. Vẽ (O1) đi qua I và tiếp xúc ngoài với AB tại B, vẽ (O 2) đi qua I và

tiếp xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2).

a) Chứng minh: ba điểm B, K, C thẳng hàng.

b) Lấy D bất kỳ trên cạnh AB, E thuộc tia đối của tia CA sao cho

BD = CE. Chứng minh: đường tròn (ADE) ln đi qua điểm cố định I.

3.80 Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định và đường kính CD thay

đổi (CD không trùng với AB). Vẽ tiếp tuyến (d) của (O) tại B) Các đường

thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q.

a) Chứng minh: tứ giác CPQD là một tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: trung tuyến AI của APQ vng góc với CD.

c) Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp CDP. Chứng minh: E di động trên

một đường cố định khi đường kính CD thay đổi.

3.81 Cho ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy điểm D thuộc cạnh AC, vẽ đường

tròn đường kính CD cắt BD tại E và cắt AE tại F.

a) Chứng minh: A, B, C, E cùng thuộc một đường tròn.









b) Chứng minh: BCA  ACF .

c) Gọi M, N lần lượt là điểm đối xứng của D qua AB và BC. Chứng minh:

BNCM nội tiếp được trong đường tròn.

d) Xác định vị trí điểm D sao cho bán kính đường tròn (BNCM) đạt giá trị

nhỏ nhất.



3.82 Cho tứ giác ABCD (AB = AD) nội tiếp đường tròn (O). Qua các điểm A,

B và giao điểm của M của hai đường chéo vẽ đường tròn (O) cắt cạnh

BC ở E. Chứng minh:

a) ACD và ACE.



AB MB



b) BAE cân. c) MD MC .



3.83 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 4cm có tiếp tuyến Ax và By.

Vẽ tiếp tuyến tại M  (O) (M  A, M  B) cắt Ax, By lần lượt tại D và E.

a) OD cắt AM tại I, OE cắt BM tại J. C/minh: tứ giác DIJE nội tiếp được.

b) Cho biết SABED = 10cm2. Tính SAMB.

3.84 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AI. Gọi E là trung điểm

của AB, K là trung điểm của OI. Chứng minh:

a) Tam giác EBK cân.

b) Tứ giác AEKC nội tiếp.

3.85 Cho đường tròn (O; R) và một điểm P  (O). Từ P vẽ hai tia Px, Py lần





lượt cắt đường tròn (O) tại A và B. Cho xPy là góc nhọn.

a) Vẽ hình bình hành APBM. Gọi K là trực tâm của ABM. Chứng minh: K

thuộc (O).

b) Gọi H là trực tâm của APB và I là trung điểm của AB. Chứng minh: H,

I, K thẳng hàng.

c) Khi hai tia Px, Py quay quanh P cố định sao cho Px, Py vẫn cắt (O) và



góc xPy khơng đổi thì điểm H lưu động trên một đường cố định nào ?



3.86 Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Lấy điểm C ngồi đường tròn sao

cho B là trung điểm của OC. Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM, CN đến đường

tròn (O) với M, N là hai tiếp điểm.

a) Chứng minh: tứ giác AMCN là hình thoi. Tính SAMCN theo R.

b) Gọi I là trung điểm của CM. Đường thẳng AI cắt OM tại K. Chứng minh:

K là trung điểm của AI.

c) Tính SAKB theo R.

3.87 Cho 2 đường tròn (O; R) và (O; 2R) cắt nhau tại A và B sao cho AB = R.

a) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh: ba điểm O, I, O thẳng hàng.

b) Tính OO theo R.

c) Vẽ tiếp tuyến chung MN của hai đường tròn (M  (O), N  (O)). Gọi K

là giao điểm của của đường thẳng AB và MN. C/m: KM2 = KA.KB

d) Chứng minh: K là trung điểm của MN.

3.88 Cho ABC vng tại A (AB < AC) có đường cao AH. Đường tròn tâm B,

bán kính BA cắt AH tại điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh: CD tiếp xúc với đường tròn (B ; BA).

b) Gọi I là điểm đối xứng của B qua AH, AI cắt CD tại E. Chứng minh:

AHEC nội tiếp được trong đường tròn.

c) Gọi F là hình chiếu của A trên đường thẳng DB.

Chứng minh: DB . DF = DC . DE.

d) Cho biết AB = a, AC = 2a. Tính SDEH theo a.



3.89 Cho đường tròn (O; R), các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau ở A





tạo thành góc BAC = 600. Gọi M là điểm thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến

với (O) tại M cắt AB, AC theo thứ tự ở D và E. Giao điểm của OD, OE với

BC theo thứ tự là I và K.





a) Tính số đo DOE .

b) Chứng minh: OM, DK, EI đồng qui.

c) So sánh độ dài IK và DE.

3.90 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và C là điểm chính giữa cung

AB. Lấy điểm M trên cung BC và vẽ đường cao CH của ACM.





a) Chứng minh: OH là tia phân giác của COM .

b) Gọi I là giao điểm của OH và BC, D là giao điểm của thứ hai của MI với

nửa đường tròn (O). Chứng minh: MC // BD.

c) Tìm vị trí của M sao cho D, H, B thẳng hàng.

d) Gọi N là giao điểm của OH và BM. Chứng minh rằng N di động trên

một đường tròn cố định.

3.91 Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không qua O cắt đường tròn

(O) tại A và B. Từ điểm M trên (d) và ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MN,

MP với (O), M và N là hai tiếp điểm.

a) Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp MNP đi qua hai điểm cố định khi

M di động trên đường thẳng (d).

b) Xác định vị trí điểm M trên (d) sao cho tứ giác MNOP là hình vng.

c) Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp MNP di động trên

một đường cố định khi M di động trên đường thẳng (d).

3.92 Cho đường tròn (O) dây AB cố định. Điểm M di chuyển trên cung lớn

AB. Các đường cao AE, BF của ABM cắt nhau ở H.

a) Chứng minh rằng OM  EF.

b) Đường tròn (H ; HM) cắt MA, MB ở C và D. Chứng minh rằng

OM  CD. Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn.

c) Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ H vng góc với CD đi qua một

điểm cố định.

3.93 Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB và CD vng góc với

nhau. M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BD, MC và MA cắt AB và CD lần

lượt tại I và K. Gọi I là điểm đối xứng của I qua O, CI kéo dài cắt AD ở E.

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác ACKE nội tiếp được.

b) EK // AB.

c) SACIK không đổi khi M chạy trên cung nhỏ BD.

3.94 Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn (O; R) và M di chuyển trên

cung nhỏ AB. Gọi N là giao điểm của CM và BD.

a) Chứng minh: Tích CM . CN khơng đổi.

b) Chứng tỏ đường tròn ngoại tiếp BMN tiếp xúc với đường thẳng BC.

c) Chứng tỏ đường tròn (MND) có tâm nằm trên một đường thẳng cố

định.



3.95 Cho (O; R) và điểm A cố định thỏa OA = 2R, BC là đường kính quay

quanh O (A  BC). Đường tròn ngoại tiếp ABC cắt đường thẳng OA tại A

và I.

a) Chứng minh: OA . OI = OB . OC

b) Đường thẳng AB, AC cắt (O; R) lần lượt tại D và E. DE cắt đường thẳng

OA tại K. Chứng minh rằng 4 điểm E, I, K, C cùng nằm trên một đường

tròn và tính độ dài AK theo R.

Thi Lê Hồng Phong 1995 - 1996

3.96 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, E, F theo thứ tự là tâm

đường tròn nội tiếp của ABC, ABH, AHC.

a) Chứng minh: AI  EF.

b) Chứng minh: tứ giác BEFC nội tiếp được.

Thi Lê Hồng Phong 1997 - 1998

3.97 Cho ABC vng tại A có I là trung điểm của BC. Lấy D thuộc cạnh BC

(khác B và C). Gọi E, F lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ABD và

ADC. Chứng minh: 5 điểm A, E, D, I, F cùng thuộc một đường tròn.

Thi Lê Hồng Phong 1999 - 2000.



F - Đường tròn ngoại tiếp – nội tiếp

Độ dài đường tròn - cung tròn

Diện tích hình tròn – hình quạt tròn

A Đường tròn

B

1.

ngoại tiếp – nội tiếp:

a) Đường

tròn đi qua tất cả các

r

đỉnh

của một đa giác được gọi là

O

đường

tròn ngoại tiếp đa giác và

R

đa giácC được gọi là đa giác nội tiếp

D

đường tròn.



b) Đường tròn tiếp xúc với tất cả

các cạnh của một đa giác được gọi

là đường tròn nội tiếp đa giác và

đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp

đường tròn.

Trong hình bên: (O; R) là đường tròn ngoại tiếp

hình vng ABCD, (O; r) là đường tròn nội tiếp hình

vng ABCD

c) Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một

đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường

tròn nội tiếp.

2. Độ dài đường tròn – cung tròn:

a) Chu vi (C) của đường tròn bán kính R hoặc đường

kính d:

R

O

C = 2 R =  d

Với (pi):   3,14



0

n0

b) Trên đường

l tròn bán kính R, độ dài của cung n :

 Rn



l 



180



3. Diện tích hình tròn – Hình quạt tròn – Hình viên

phân:

a) Diện tích (S) của một hình tròn bán kính R:

S =  R2

Với (pi):   3,14

b) Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n0:

O



B



Squạt







 R2n l R



360

2



c) Diện tích hình viên phân:

A

Sviên phân = Squạt AmB – S OAB



N bên, biết HI = 10 cm, HO = BI = 2 cm.

3.98 Cho hình



a) Nêu cách vẽ.

b) Tính diện tích hình HOABINH.

H



c) Chứng tỏ rằng hình tròn đường kính NA

O có cùng diệnBtíchIvới hình HOABINH đó.

A



3.99 Trên đường tròn (O; R) lần lượt vẽ các dây cung

AB = R, BC = R 2 , CD = R 3 .

a) Tứ giác ABCD là hình gì ?

b) Chứng minh rằng hai đường chéo của tứ giác ABCD vng góc với

nhau.













c) Tính số đo các góc AOB , BOC và COD .

d) Tính độ dài các cung nhỏ AB, BC, CD theo R.

3.100

Cho (O ; R). Tính cạnh của đa giác đều n cạnh nội tiếp trong (O)

trong các trường hợp sau:

a) n = 3

b) n = 4

c) n = 5 d) n = 6 e) n = 7

Nêu lên công thức tổng quát cho trường hợp đa giác đều n cạnh.

3.101

Cho một đa giác đều n cạnh có độ dài mỗi cạnh là a) Hãy tính

bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, bán kính r của đường tròn nội tiếp

đa giác đều và độ dài của mỗi đường tròn đó theo a trong các trường

hợp sau:

a) n = 3

b) n = 4

c) n = 5 d) n = 6 e) n = 7

Nêu lên công thức tổng quát cho trường hợp đa giác đều n cạnh.

3.102

6cm.



0



Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp  ABC cân có B  120 , AC =



3.103

Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C.

Chứng minh rằng độ dài của nửa đường tròn đường kính AC bằng tổng

các độ dài của hai nửa đường tròn đường kính AB và BC.

3.104

a) Tính

b) Tính

BC.

c) Tính



Cho ABC nội tiếp (O ; R) có AB = R, BC = R 2 , CD = R 3 .

độ dài các cung nhỏ AB, BC và CA.

diện tích các hình quạt tròn AOB, BOC ứng các cung nhỏ AB và

diện tích hình viên phân ứng với các cung nhỏ AB, BC và CA.



3.105

Cho ABC đều có độ dài cạnh là 6cm. Gọi (O ; R) và (O ; r) lần

lượt là đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC. Tính diện tích hình viên

phân tạo bởi hai đường tròn trên.

3.106

Cho ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) có AB = 2 , BC = R 3 .

a) Tính độ dài các cung nhỏ AB, BC và CA.

b) Tính diện tích các hình quạt tròn AOB, BOC ứng với các cung nhỏ AB

và BC.

c) Tính diện tích hình viên phân ứng với các cung nhỏ AB, BC và CA.

3.107

Cho ABC vuông tại A và đường cao AH. Vẽ đường tròn (O)

đường kính AB) Biết BH = 2cm và CH = 6cm. Tính:

d) Diện tích hình tròn (O).

a) Tổng diện tích hai hình viên phân ứng với hai cung nhỏ AH và BH.

b) Diện tích hình quạt tròn AOH (ứng với cung nhỏ AH)

c) Diện tích ABC phần nằm ngồi đường tròn (O).

3.108



Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp trong (O ; R).



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

E - Quan hệ giữa tứ giác và đường tròn

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×