Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
C - Liên hệ giữa góc và đường tròn

C - Liên hệ giữa góc và đường tròn

Tải bản đầy đủ - 0trang

3.29 Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm trên cung nhỏ

BC, MA cắt BC tại D. Trên AM lấy N sao cho MB = MN. Chứng minh:

a) MBN đều

b) BNA = BMC

c) AD . AM = AB2

d) MA = MB + MC

e) MA + MB + MC  4R.



1

1

1





f) MD MB MC



3.30 Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia





BC tại D. Tia phân giác BAC cắt đường tròn ở M, tia phân giác của D

cắt

AM ở I. Chứng minh: DI  AM.



3.31 Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp AB = BC = CD < R. Các

đường thẳng AB và CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn (O)

tại B và D cắt nhau tại K. Chứng minh:





a) BIC  BKD





b) BC là tia phân giác của KBD

.



3.32 Cho đường tròn tâm O, với M ở bên ngồi. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB và

đường kính AC của (O). Chứng minh: MO // BC.

3.33 Cho đường tròn (O) đường kính AB và cung CB có số đo bằng 45 0. Lấy

một điểm M trên cung nhỏ AC rồi kẻ các dây MN, MP tương ứng vng

góc với AB và OC. Tính số đo cung nhỏ NP.

3.34 Cho ABC nội tiếp trong một đường tròn. Gọi P, Q, R theo thứ tự là các

điểm chính giữa của cung BC, CA, AB.

a) Chứng minh: AP  QR.

b) AP cắt CR tại I. Chứng minh: CPI cân.

3.35 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Hai dây

cung AC, BD của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm I và lần lượt cắt

đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là C và D. Chứng minh: CD // CD.





3.36 Cho góc xOy   và một độ dài l. Hai điểm A, B di động trên hai cạnh

tương ứng sao cho độ dài AB luôn ln bằng l. Gọi I là tâm đường tròn

ngoại tiếp OAB.

a) Chứng minh rằng IAB có chu vi khơng đổi.

b) Tìm tập hợp điểm I.

3.37 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Qua A

kẻ cát tuyến cắt các đường tròn (O), (O) lần lượt tại các điểm thứ hai là

C và D. Tia BD cắt (O) tại điểm thứ hai M. Các tia OB, BO lần lượt cắt

(O) tại các điểm thứ hai là N và P. So sánh:





a) ACB và BOO'







b) CAM và PAN .



3.38 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H. Các tia AD, BE, CF cắt (O) tại các điểm A, B, C. Chứng minh:

a) AB, BC, CA lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HC, HA, HB.

b) H là tâm đường tròn nội tiếp DEF.

c) ABC và DEF đồng dạng. Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp

DEF bằng nửa bán kính đường tròn (O).



3.39 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Tiếp tuyến

tại A của (O) cắt (O) tại P. Tia PB cắt (O) tại Q. Chứng minh: AQ song

song với tiếp tuyến tại P của (O).

3.40 Cho AOB và COD là hai đường kính vng góc của đường tròn (O; R).

Trên cung BC lấy điểm F sao cho BF = R. Trên cung BD lấy một điểm M.

Tiếp tuyến ở M gặp tia AB ở E. Đường nối CM gặp AB ở S.

a) Chứng minh: ES = EM.



b) Gọi I là giao điểm của AB và DF. Tính AID

.

c) Tính góc hợp bởi tiếp tuyến tại F với AC.



3.41 Các đường thẳng chứa dây cung AB và CD của đường tròn (O) cắt nhau

tại E ở ngồi đường tròn (B nằm giữa A và E, C nằm giữa D và E). Biết

�  750 CEB

�  220 AOD

�  450





CBE

,

,

. Chứng minh: AOB  BAC .



3.42 Cho đường tròn (O), AB và CD là hai dây cung song song với nhau (A





và C nằm cùng phía với BD). AD cắt BC tại I. Chứng minh: AOC  AIC .



3.43 Cho ABC vuông tại A. Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp

tuyến tại D cắt AC ở P. Chứng minh: PD = PC.

3.44 Cho 3 điểm A, B, C  (O), sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC ở D. Tia





phân giác của góc ABC cắt đường tròn ở M, tia phân giác của D

cắt AM

ở I. Chứng minh: DI  AM.

0



3.45 Cho ABC cân tại A ( A  45 ). Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC

lần lượt ở D và E.







a) Tính số đo DOE và độ dài dây DE theo R.

b) Chứng minh: DE // BC.



3.46 Cho ABC vuông cân tại A, nội tiếp đường tròn (O; R). Trong ABC , vẽ

tia Bx hợp với BA một góc 30 0, Bx cắt AC ở D và cắt (O) ở E. Gọi H là

hình chiếu của A trên Bx.

a) AHE là tam giác gì ? Giải thích.









b) Chứng minh: EOH  ABE .

c) Tính độ dài BD theo R.

d) Gọi F là hình chiếu của E xuống đường thẳng AB và EF cắt (O) tại M.

Tính độ dài các dây cung AM, ME và EC.

3.47 Cho ABC đều đường cao AH. M là điểm bất kỳ trên BC. Kẻ ME  AB tại

E, MF  AC tại F.

a) Chứng minh: A, E, M, H, F cùng thuộc đường tròn. Xác định tâm O của

đường tròn này.

b) Tứ giác OEHF là hình gì ? Vì sao ?

c) Tìm vị trí của M để EF có độ dài ngắn nhất.

3.48 Cho nửa đường kính AB. Gọi K là điểm chính giữa cung AB, M là một

điểm trên cung AK, N là một điểm trên dây cung BM sao cho BN = AM.

Chứng minh rằng:



a) MKN vuông cân và MK là phân giác ngoài của AMN .



b) Khi K di chuyển trên cung AK thì đường vng góc với BM kẻ từ N luôn

đi qua một điểm cố định trên tiếp tuyến của nửa đường tròn tại điểm

B.

3.49 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi AH là đường cao của ABC và

AD là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh:

a) AB . AC = AD . AH

b)



SABC 



abc

4R , với a, b, c là độ dài các cạnh của ABC.



3.50 Cho nửa (O), đường kính AB. Kẻ một dây AC. Gọi M là điểm chính giữa

cung AC, OM cắt AC tại H. Từ C kẻ tia song song với BM, tia này cắt OM

kéo dài tại D.

a) Tứ giác MBNC là hình gì ? Giải thích.

b) AM cắt CD tại K. Chứng minh: KH  AB.

3.51 Cho ABC vng ở A có đường cao AH. Hai đường tròn đường kính AB

và AC có tâm là O 1 và O2. Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt (O 1) và

(O2) lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh: MHN là tam giác vuông.

b) Tứ giác MBNC là hình gì ? Giải thích.

c) Gọi I, E, F lần lượt là trung điểm của O1O2, MN và BC. Chứng minh: I

cách đều 4 điểm E, F, A và H.

d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E di động trên đường

nào ?

3.52 Cho ABC có đường phân giác trong AD, trung tuyến AM. Vẽ đường

tròn ngoại tiếp ADM cắt AB, AC theo thứ tự ở E và F.

a) Chứng minh: BD . BM = BE . BA và CD . CM = CF . CA

b) So sánh BE và CF.

3.53 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính

HC. Kẻ tiếp tuyến BK với (O) (K là tiếp điểm). Tính tỉ số giữa 2 cạnh AB

và BK.

3.54 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song

song với tiếp tuyến Bx, đường thẳng này cắt BC tại D. Chứng minh:

a) AB2 = BC . BD

b) AB là tiếp tuyến của đường tròn (ACD).

3.55 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy một

cung CD có số đo 900. Gọi M là giao điểm của AC và BD, N là giao điểm





của AD và BC. Tính số đo AMB

và ANB .



3.56 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 10cm, dây AC và tiếp tuyến Bx



với đường tròn. Đường phân giác của góc BAC cắt dây BC tại F, cắt Bx

tại D.

a) Chứng minh: BFD cân.

b) Cho biết AF = 8cm, tính độ dài AD.



3.57 Cho đường tròn (O) và hai tiếp tuyến gặp nhau tại A (B, C là tiêp điểm).

Từ B kẻ dây BD song song với AC. Đoạn thẳng AD cắt (O) tại E, BE cắt

AC tại K. Chứng minh:

a) KA2 = KE . KB

b) KA = KC

3.58 Cho ABC cân tại A ngoại tiếp đường tròn (O). Các cạnh AB, AC, BC

tiếp xúc với đường tròn tại M, N và K. BN cắt đường tròn (O) ở E, tia ME

cắt BC ở I. Chứng minh:

a) MN // BC.

b) IK2 = IE . IM.

3.59 Cho hai đường tròn (O) và (O) ở ngồi nhau. Đường nối tâm OO cắt

(O) và (O) lần lượt các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ

tiếp tuyến chung ngoài EF (E  (O) và F  (O)) . Gọi M là giao điểm của

AE và DF, N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh:

a) MENF là hình chữ nhật.

b) MN  AD

c) ME . MA = MF . MD

3.60 Cho (O ; R) có các bán kính OA và OB vng góc với nhau, M là điểm

chính giữa cung AB. Gọi C là giao điểm của AM và OB, H là hình chiếu

của M trên OA.

a) Chứng minh: BA = BC.

b) Tính diện tích tứ giác OHMC theo R.

3.61 Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R). Điểm D di động trên cung AC.

Gọi E là giao điểm của AC và BD, F là giao điểm của AD và BC) Chứng

minh:

�  ABD



a) AFB



b) Tích AE . BF khơng đổi.



3.62 Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao vẽ từ B cắt (O) tại

M, đường cao vẽ từ C cắt (O) tại N. MN cắt AB và AC lần lượt tại I và J.

Chứng minh:

a) AMN cân.

b) AI . AB = AJ . AC.

3.63 Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định khơng cắt đường tròn. A

là điểm cố định trên (O) và B là điểm cố định trên d. Một đường tròn (O )

bất kỳ đi qua A và B, đường tròn này cắt (O) tại C và cắt d tại E.

a) Chứng minh khi (O) thay đổi, đường thẳng CE luôn luôn đi qua một

điểm cố định K trên (O).

b) Đường thẳng BA cắt (O) tại F. Chứng minh: FK // d.

3.64 Cho đường tròn (O) dây cung AB. M là một điểm trên tia đối của tia BA,



kẻ các tiếp tuyến MC và MD với đường tròn. Phân giác ACB cắt AB ở E.

Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng:

a) MC = ME



b) DE là tia phân giác của góc ADB

.



c) IM là tia phân giác của góc AID

.



D – C ung chứa góc – Bài tốn quỹ tích

1. QuỹM tích (tập hợp) các điểm nhìn một đoạn thẳng

cho trước dưới một góc  (00< <1800) khơng đổi là

hai O

cung chứa góc  dựng trên đoạn thẳng đó.

A Cách vẽ

B cung chứa góc  .

2.

'

BàiO tốn:

Cho đoạn thẳng AB và góc

0

 (0 <  < 1800). Tìm tập hợp các





điểm M thoả mãn AMB   .



- Vẽ đường trung trực d của đoạn thẳng AB.

- Vẽ tia Ax tạo với AB một góc .

- Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax. Gọi O là giao

điểm của Ay với đường thẳng d.

- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA sao cho cung

này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia

Ax.

M



m

d

A







A



O



 H



B



x



0  AMB  900

0



m



y



M









B



O

d



x



y



900  �

AMB  1800



Cung AmB được vẽ như trên được gọi là cung

chứa góc  .

3. Cách giải bài tốn quỹ tích:

Muốn chứng minh quỹ tích các điểm M thỏa mãn tính

chất  là một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai

phần:

Phần thuận : Mọi điểm có tính chất  đều thuộc hình

H.

Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất .

Kết luận : Quỹ tích các điểm M có tính chất  là hình

H.

(Thơng thường với bài tốn: “Tìm quỹ tích …” ta nên

dự đốn hình H trước khi chứng minh)

Xem thêm phần chuyên đề để biết thêm về phần

này.



3.65 Cho ABC có cạnh BC cố định và A

=  khơng đổi. Tìm quỹ tích (tập

hợp) giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác đó.



3.66 Cho nửa đường tròn đường kính AB. C là một điểm trên nửa đường

tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB.

a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn.



b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C

chạy trên nửa đường tròn đã cho.

3.67 Dựng cung chứa góc 500 trên đoạn thẳng AB = 3,5cm.



3.68 Dựng ABC, biết BC = 3cm, A

= 450 và trung tuyến AM = 2,5cm.



3.69 Cho nửa đường tròn đường kính AB và C là một điểm trên nửa đường

tròn. Trên bán kính OC lấy điểm D sao cho OD bằng khoảng cách CH từ

C đến AB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã

cho.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

C - Liên hệ giữa góc và đường tròn

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×