Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
B - Liên hệ giữa cung và dây

B - Liên hệ giữa cung và dây

Tải bản đầy đủ - 0trang

dây căng cung ấy.



 Trong một đường tròn đường kính đi qua trung

điểm của một dây cung (không đi qua tâm) thì

chia cung căn dây ấy thành hai phần bằng nhau.

 Trong một đường tròn đường kính đi qua điểm

chính giữa của một cung thì vng góc với dây

căng cung ấy và ngược lại.

3.14 Cho ABC có (AB > AC) Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho

AD = AC. Vẽ (O) ngoại tiếp DBC. Từ O lần lượt hạ các đường vng góc

OH, OK xuống BC và BD (H  BC, K  BD).

a) C/minh: OH < OK

b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC.

3.15 Cho đường tròn (O; r) với dây cung AB. Gọi H là trung điểm của AB và I

là điểm chính giữa của cung AB (cung nhỏ hoặc cung lớn hoặc cung nửa

đường tròn).

a) Chứng minh rằng ba điểm H, I, O thẳng hàng.

b) Cho cung CD cũng nhận I là điểm chính giữa.

Chứng minh : CD // AB hoặc CD  AB.

3.16 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A, B.

Kẻ các đường kính AOC và AOD. Gọi E là giao điểm thứ hai của đường

thẳng AC với (O).

a) Chứng minh 3 điểm C, B, D thẳng hàng.





b) So sánh các cung nhỏ BC và BD

.



c) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa của cung EBD

.



3.17 Trên dây cung AB của một đường tròn (O), lấy hai điểm C và D sao cho

AC = CD = DB) Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E

và F. Chứng minh:

�  FB



a) AE



�  EF



b) AE



O

C



A

E



D



B



Gọi E là điểm đối xứng với O qua tâm C => AEDO là hình bình hành.

Ta có AE = OD < R (do D nằm trong đt nên khoảng cách tới O < bán

kính) = OA

Trong ∆ AEO do AE < OA nên góc AOC = góc AOE < góc AEO = góc EOD

(so

le)

=

góc

COD

Do đối xứng (hoặc tương tự) góc DOB = góc AOC < góc COD



3.18 Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy hai điểm C, D. Từ C kẻ

CH  AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Từ A kẻ AK  DC, nó

cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F. Chứng minh:

a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau.

b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau.

c) DE = BF.

3.19 Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O; 2R). Từ M  (O; 2R) kẻ hai tiếp

tuyến MA, MB đến (O; R), các tiếp tuyến này cắt (O; 2R) tại N và K.

a) Tính số đo cung AB.

b) So sánh hai cung MN và NK.

c) Gọi OC là bán kính của (O; 2R) song song với với BM (C  cung NK),

bán kính này cắt đường tròn (O; R) tại D. Tính số đo (độ) các cung AD

và NC.

3.20 ABC có AM là trung tuyến, BH là đường cao.

a) So sánh các cung nhỏ MH và MC của đường tròn đi qua ba điểm C, M,

H.

b) Trong trường hợp CH là đường kính của đường tròn (CMH), tính số đo



HBC

.



3.21 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Điểm C và D chia nửa

đường tròn thành ba phần bằng nhau (C ở gần B hơn).

a) Tứ giác BCDO là hình gì ? Tính số đo các góc của tứ giác.

b) Gọi I là điểm chính giữa của cung AD. Tiếp tuyến của đường tròn tại A

0



cắt OI ở E và cắt tia BD ở F. Chứng minh: OCI  45 và OE = AF.



3.22 Cho (O; R) đường kính AB và điểm C bất kỳ thuộc đường tròn

(C  A, C  B). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cung nhỏ AC và

CB. Kẻ ND  AC (D  AC).

a) Chứng minh: ND là tiếp tuyến của (O).

b) Tính số đo (độ) của cung MN.

c) Chứng minh: khi C di chuyển trên (O) thì MN ln tiếp xúc với một

đường tròn cố định.

3.23 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Kẻ hai

đường kính BOC và BOD của hai đường tròn này.

a) So sánh số đo (độ) của hai cung nhỏ AC và AD.

b) Lấy điểm M trên đoạn AC sao cho MA < MC. Đường thẳng vng góc

với AC tại M cắt (O) ở N. So sánh cung AN và cung CN.

3.24 Cho ABC đều. Ở miền ngồi của tam giác vẽ nửa đường tròn đường

kính BC. Trên nửa đường tròn này lấy hai điểm M và N sao cho ba cung

BM = MN = NC). Chứng minh rằng các đường thẳng AM và AN chia BC

thành 3 phần bằng nhau.



C - Liên hệ giữa góc và đường tròn

1. Góc nội tiếp:

a) Góc nội tiếp là góc có đỉnh thuộc đường tròn và

hai cạnh của góc chứa hai dây cung của đường

tròn đó.

b) Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp bằng

nửa số đo của cung bị chắn.

c) Trong một đường tròn:

 Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng

nhau.

 Các góc nt cùng chắn một cung hoặc các cung

bằng nhau thì bằng nhau.

 Góc nội tiếp (nhỏ hơn hay bằng 900) có số đo

bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một

cung.

 Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vng.

2. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

a) Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

bằng nửa số đo của cung bị chắn.

b) Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung

thì bằng nhau.

3. Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngồi đường

tròn:

a) Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn.

b) Số đo của góc có đỉnh ở bên ngồi đường tròn

bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.

3.25 Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vng góc với nhau. Lấy

một điểm M trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với (O) tại M. Tiếp tuyến này





cắt đường thẳng CD tại S. Chứng minh: MSD = 2 MBA

.



3.26 Từ một điểm T ở bên ngồi đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến TP (P là tiếp

điểm) và cát tuyến TBA đi qua tâm O của đường tròn (A và B thuộc (O),

0





B nằm giữa O và T). Chứng minh: BTP  2BPT  90 .



3.27 Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Dây AE cắt dây BC ở

D và cắt (O) ở E. Chứng minh: AB2 = AD . AE

3.28 Bài toán cơ bản (Nhớ cách chứng minh để áp dụng sau này):

a) Từ một điểm M ở bên ngồi đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến MT và hai

cát tuyến MAB và MCD với đường tròn (O) (A, B, C, D  (O)). Chứng

minh: MA . MB = MC . MD = MT2 = OM2 – R2

b) Qua điểm M ở bên trong đường tròn (O; R) kẻ hai dây cung AB và CD

của đường tròn (O) (A, B, C, D  (O)).

Chứng minh: MA . MB = MC . MD = R2 – OM2



3.29 Cho ABC đều nội tiếp đường tròn (O; R), M là một điểm trên cung nhỏ

BC, MA cắt BC tại D. Trên AM lấy N sao cho MB = MN. Chứng minh:

a) MBN đều

b) BNA = BMC

c) AD . AM = AB2

d) MA = MB + MC

e) MA + MB + MC  4R.



1

1

1





f) MD MB MC



3.30 Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia





BC tại D. Tia phân giác BAC cắt đường tròn ở M, tia phân giác của D

cắt

AM ở I. Chứng minh: DI  AM.



3.31 Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp AB = BC = CD < R. Các

đường thẳng AB và CD cắt nhau tại I, các tiếp tuyến của đường tròn (O)

tại B và D cắt nhau tại K. Chứng minh:





a) BIC  BKD





b) BC là tia phân giác của KBD

.



3.32 Cho đường tròn tâm O, với M ở bên ngoài. Kẻ các tiếp tuyến MA, MB và

đường kính AC của (O). Chứng minh: MO // BC.

3.33 Cho đường tròn (O) đường kính AB và cung CB có số đo bằng 45 0. Lấy

một điểm M trên cung nhỏ AC rồi kẻ các dây MN, MP tương ứng vng

góc với AB và OC. Tính số đo cung nhỏ NP.

3.34 Cho ABC nội tiếp trong một đường tròn. Gọi P, Q, R theo thứ tự là các

điểm chính giữa của cung BC, CA, AB.

a) Chứng minh: AP  QR.

b) AP cắt CR tại I. Chứng minh: CPI cân.

3.35 Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại hai điểm A và B. Hai dây

cung AC, BD của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm I và lần lượt cắt

đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là C và D. Chứng minh: CD // CD.





3.36 Cho góc xOy   và một độ dài l. Hai điểm A, B di động trên hai cạnh

tương ứng sao cho độ dài AB luôn luôn bằng l. Gọi I là tâm đường tròn

ngoại tiếp OAB.

a) Chứng minh rằng IAB có chu vi khơng đổi.

b) Tìm tập hợp điểm I.

3.37 Cho hai đường tròn (O; R) và (O; r) cắt nhau tại hai điểm A và B. Qua A

kẻ cát tuyến cắt các đường tròn (O), (O) lần lượt tại các điểm thứ hai là

C và D. Tia BD cắt (O) tại điểm thứ hai M. Các tia OB, BO lần lượt cắt

(O) tại các điểm thứ hai là N và P. So sánh:





a) ACB và BOO'







b) CAM và PAN .



3.38 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau

tại H. Các tia AD, BE, CF cắt (O) tại các điểm A, B, C. Chứng minh:

a) AB, BC, CA lần lượt là trung trực của các đoạn thẳng HC, HA, HB.

b) H là tâm đường tròn nội tiếp DEF.

c) ABC và DEF đồng dạng. Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp

DEF bằng nửa bán kính đường tròn (O).



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

B - Liên hệ giữa cung và dây

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×