Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập số phức

Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập số phức

Tải bản đầy đủ - 0trang

Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Giả sử h ∈ Re A + i Im A. Khi đó h = Re g1 + i Im g2 , trong đó

1

gi ∈ A, i = 1, 2. Từ Re g1 = (g1 + g1 ) suy ra Re g1 ∈ A. Tương tự

2

như vậy, ta cũng chứng tỏ được Im g2 ∈ A, do đó h ∈ A. Tương tự

ta chứng minh được h ∈ Im A + i Re A. Vậy A = Re A + i Im A =

Im A + i Re A.

Bây giờ, ta sẽ chứng minh Re A và Im A là hai đại số thực. Xét

Im A, hiển nhiên Im A là không gian vector thực. Ta sẽ đi chứng minh

tích của hai hàm trong Im A thuộc Im A. Ta có Im A là tập con của

A. Thật vậy, nếu u ∈ Im A thì u + 0 ∈ Im A + i Re A = A. Do Im A

là tập con của A nên với v, w ∈ Im A thì iv ∈ A, w ∈ A, lại có

Im (ivw) = vw và ivw thuộc A suy ra Im A là đại số. Tương tự như

vậy, ta cũng chứng minh được Re A là đại số.

Ta chứng minh Re A và Im A là tách điểm. Thật vậy, nếu x1 = x2

tồn tại hàm f ∈ A sao cho f (x1 ) = f (x2 ). Nếu Im f (x1 ) = Im f (x2 )

là hàm trong Im A, Im f tách hai điểm này. Nếu Im f khơng tách hai

điểm thì Re f phải tách điểm và ta phải xét Im (if ) là một hàm trong

Im A tách những điểm này. Vậy Im A là tách điểm, tương tự ta cũng

chứng minh được Re A là tách điểm.

Ta chứng minh Re A hoặc Im A khơng đâu triệt tiêu. Thật vậy,

nếu có một điểm x tồn tại hàm f ∈ A sao cho f (x) = 0. Do đó,

Re f (x) = 0 hoặc Im f (x) = 0. Nếu Im f (x) = 0, chứng tỏ điểm x

không đâu triệt tiêu bởi Im A. Nếu Im f (x) = 0, thì Im (if )(x) =

Re f (x) = 0. Tương tự như vậy, Re A không đâu triệt tiêu.

Áp dụng định lý Stone - Weierstrass trên tập compact địa phương

thì Re A và Im A là trù mật trong hàm số có giá trị thực của C 0 (X).

Cho f ∈ C 0 (X), khi đó tồn tại dãy {hn } ⊆ Re A và dãy {gn } ⊆ Im A

sao cho hn → Re f và gn → Im f . Do đó, hn + ign ∈ A và hội tụ đều

tới f . Vậy định lý được chứng minh.



Nguyễn Thị Huyền Nga



35



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



2.3.



Ứng dụng



Định nghĩa 2.3.1 (Tách được, xem [15]). Không gian metric X được

gọi là tách được nếu nó chứa các tập con đếm được {xn }∞

n=0 trù mật

trong X , có nghĩa là với mọi x ∈ X và mọi > 0 tồn tại xn sao cho

dX (x, xn ) < .

Chúng ta áp dụng điều này cho không gian các hàm liên tục trên

X , C(X) với metric hội tụ đều theo chuẩn. Từ định nghĩa ta có, tồn

tại tập con đếm được {f (n)}∞

n=0 sao cho với mọi f ∈ C(X) và với

mọi > 0, tồn tại fn sao cho f − fn < .

Hệ quả 2.3.1 (xem [15]). Giả sử X là không gian metric compact.

Khi đó, C(X) là tách được.

Chứng minh. Ta xác định một dãy các hàm gn ∈ C(X) với gn (x) =

dX (x, xn ). Cho tùy ý hữu hạn các chỉ số (n1 , n2 , ..., nk ), ta định nghĩa



gn1 ,...,nk (x) = gn1 (x) ...gnk (x) .

Đặt



A=



an1 ,n2 ,...,nk gn1 ,n2 ,...,nk (x) : a, an1 ,n2 ,...,nk ∈ R ,



a+

n1 ,...,nk



là tập gồm các tổ hợp tuyến tính hữu hạn.

Mặt khác, A là đại số và chứa hàm hằng khác không, bởi vậy ta chỉ

cần kiểm tra A tách điểm. Giả sử x, y ∈ X, x = y . Cho dX (x, y) =

2 > 0 và chọn xn sao cho dX (x, xn ) < . Bây giờ, ta xét gn ∈ A, từ

gn (x) = dX (x, xn ) suy ra gn (x) < . Mặt khác



gn (y) = dX (y, xn ) ≥ dX (x, y) − dX (x, xn ) ≥ 2 − = ,

suy ra gn (x) = gn (y). Do đó, A thỏa mãn giả thiết của định lý StoneWeierstrass và A là tập con trù mật của C(X). Đặt



A =



an1 ,n2 ,...,nk gn1 ,n2 ,...,nk (x) : a, an1 ,n2 ,...,nk ∈ Q .



a+

n1 ,...,nk



Nguyễn Thị Huyền Nga



36



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Rõ ràng, A là đếm được và trù mật trong A, nên A là tập con đếm

được trù mật của C(X).



Nguyễn Thị Huyền Nga



37



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



KẾT LUẬN

Khóa luận được hồn thành chủ yếu trong [9], [11] và một số tài

liệu khác. Trong khóa luận này, tác giả đã:

1. Hệ thống lại các kiến thức cơ bản (các kiến thức về không gian

metric compact, không gian topo, không gian Hausdoff compact,

không gian định chuẩn, các khái niệm Đại số, Đại số Banach).

2. Đưa ra các kết quả của định lý xấp xỉ Stone - Weierstrass khi

xét trong tập compact, tập compact địa phương, tập số phức và

ứng dụng của nó.

Do thời gian có hạn và đây cũng là vấn đề mới đối với bản thân

tôi, nên trong khóa luận khơng tránh khỏi những thiếu xót. Tơi kính

mong các Q thầy, cơ và các bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp tơi

hồn thiện khóa luận của mình.

Tơi xin chân thành cảm ơn!



Nguyễn Thị Huyền Nga



38



K36B - Sư phạm Toán



Tài liệu tham khảo

[A] Tài liệu tiếng Việt

[1] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực và

giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.

[2] PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học

và Kỹ thuật.

[3] Nguyễn Xuân Liêm (1994), Topo đại cương - Độ đo tích phân,

Nhà xuất bản Giáo dục.

[B] Tài liệu nước ngoài

[4] Baker, Roger (2001), Linear Algebra, Rinton Press.

[5] Bishop, Errett (1961), "A generalization of the Stone–Weierstrass

theorem", Pacific Journal of Mathematics 11 (3), 777–783.

[6] Cheney, E. W. (1966), Introduction To Approximation Theory,

McGraw Hill.

[7] K. Davidson and A. Donsig (2002), Real Analysis with Real Applications, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J.

[8] M. Stone (1937), " Applications of the Theory of Boolean Rings

to General Topology", Translations of the Americain Mathematical Socienty 41 (3), 375-481.

[9] M. Stone (1948), "The Generalied Weierstrass Approximation

Theorem", Mathematics Magazine 21 (21), 167-184 and 21 (5),

237-254.



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



[10] H. Sohrab (2003), Basic Real Analysis, Birkhăauser, New York,

N.Y.

ă

[11] K. Weierstrass (1885), "Uber

die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkrlicher Functionen einer reellen Vernderlichen",

Sitzungsberichte der Kniglich Preuischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 633-639 and 789-805.

[C] Tài liệu trên mạng Internet

[12] http://idoc.vn/tai-lieu/dai-so-banach-va-ly-thuyet-pho.html.

[13] https://www.google.com.vn/search?q=khong+gian+hausdorff+

compact+dia+phuong.

[14] http://doc.edu.vn/tai-lieu/luan-van-khong-gian-hilbert-dai-sobanach-va-tinh-tru-mat-cua-cac-toan-tu-hypercyclic-tren-khong

-41156.

[15] http://www.maths.manchester.ac.uk/ nikita/31002/separabilit

y.pdf.



Nguyễn Thị Huyền Nga



40



K36B - Sư phạm Toán



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập số phức

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×