Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập compact

Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập compact

Tải bản đầy đủ - 0trang

Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Nhận xét 2.2.1. Trong bổ đề (2.2.1), ta sử dụng khai triển chuỗi

Taylor của hàm số 1 − g(t) với 0 ≤ g(t) ≤ 1. Đầu tiên, ta xét chuỗi



Taylor của hàm 1 − t, ta có







1 1

1 1

1

1

2 ( 2 − 1) 2

2 ( 2 − 1)( 2 − 2) 3

1−t=1− t+

t −

t − ...

2

2!

3!





an t n .



=1−

n=1



Trong đó,



(−1)n−1

an =

n!



n−1



k=0



1

−k

2



= 21−2n



(2n − 2)!

.

n! (n − 1)!



Với mỗi n ∈ N, an ≥ 0, ta có



lim



n→∞



(2(n + 1) − 2)!

(n + 1)!(n + 1 − 1)!

= lim

n→∞

(2n − 2)!

21−2n

n!(n − 1)!

(2n)!

−1−2n

2

(n + 1)!n!

= lim

1−2n

n→∞ 2

(2n − 2)!

n!(n − 1)!

2n − 1

= 1.

= lim

n→∞ 2n + 1

21−2(n+1)



an+1

an







an tn hội tụ theo từng điểm trên (−1, 1). Ta

n=1



sẽ chứng minh chuỗi đó hội tụ đến 1 − t trên [0, 1].

Như vậy, chuỗi 1 −





an tn , vì vậy ψ(t) hội tụ với t ∈ (−1, 1). Lấy đạo



Đặt ψ(t) = 1 −

n=1



hàm của hàm ψ(t) theo t ta có





dψ(t)

=−

nan tn−1 .

dt

n=1

Nguyễn Thị Huyền Nga



27



K36B - Sư phạm Tốn



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Ta có









(1 − t)(−



nan t



n−1



)=−



n=1







nan t



n−1



nan tn .



+



n=1



n−1



Tương đương với









−2(1 − t)(−



nan t



n−1



)=2



n=1



n2

n=1





2−2n



nan tn



−2



n=1



n=1



(2n − 2)!tn

(2n − 2)! n−1

t



n22−2n

n!(n − 1)!

n!(n − 1)!

n=1



2−2(n+1) (2(n



n2



=



nan t











=





n−1



n=0









−2n



=1+



2

n=1





=1+



(2n − 2)!

2n! n

t −

22−2n

tn

n!n!

(n − 1)!(n − 1)!

n=1



21−2n



(2n − 2)! 2n(2n − 1)

− 2n tn

n!(n − 1)!

2n



21−2n



(2n − 2)! n

t

n!(n − 1)!



n=1





=1−







+ 1) − 2)! n

(2n − 2)! n

t −

n22−2n

t

n!n!

n!(n



1)!

n=1



n=1





an t n .



=1−

n=1



Hay



ψ(t) = −2(1 − t)



dψ(t)

.

dt



Khi đó







1

2



dt

=

1−t





ψ



1

1

ln |1 − t| + ln c

2

2



⇔ ψ = c 1 − t với c ∈ R.



⇔ ln ψ =





Đánh giá hai bên t = 0 cho c = 1. Do đó, ψ(t) = 1 − t theo biến

t với t ∈ [0, 1]. Ta chứng tỏ rằng ψ(t) = 0. Áp dụng bất đẳng thức

Nguyễn Thị Huyền Nga



28



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Stirling

7



1



1



e 8 −n nn+ 2 < n! < e1−n nn+ 2 .

Do đó với n ≥ 2 thì

2n−2 1



1−2n



an = 2



2

(2n − 2)!

21−2n e1−(2n−2) (2n − 2)

≤ 7 −n n+ 1 7 −(n−1)

1

n!(n − 1)! e 8 n 2 e 8

(n − 1)n−1)+ 2

2n− 32

1

(2n



2)

≤ 21−2n 1 n+ 1

1

e 4 n 2 (n + 1)n− 2

2n− 23

1−2n 2n− 23 (n − 1)

≤2

2

1

1

nn+ 2 (n − 1)n− 2

3

(n − 1)2n− 2

− 21

<2

1

1

3

e 4 (n − 1)n+ 2 (n − 1) 2

3

1 (n − 1)2n− 2

=√ 1

2e 4 (n − 1)2n

1

1

=√ 1

3 .

2e 4 (n − 1) 2







an <



Vì vậy

n=1

k



an



Cho





n=1



(2.2.12)



1

1

1

+√ 1

3 < ∞.

2

2e 4 (n − 1) 2



k≥1



là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên, suy ra tồn tại



an . Khi đó, áp dụng định lý Aben suy ra tồn tại ψ(1) và

n=1





ψ(1) = 1 −







an tn = lim−



an = 1 − lim

n=1



t→1−



t→1







1 − t = 0.



Sử dụng định lý Aben một lần nữa ta suy ra ψ(t) =

với mọi t ∈ [0, 1].







1 − t hội tụ



Bổ đề 2.2.1 (xem [9]). Cho A ⊂ C(X, R) là đại số con đơn vị đóng.

Khi đó

i) Nếu f ∈ A và f ≥ 0 thì f ∈ A;

ii) Nếu f ∈ A thì |f | ∈ A;

iii) Đại số con đơn vị đóng A là một dàn.

Nguyễn Thị Huyền Nga



29



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Chứng minh. Ta sẽ chứng minh từng ý một

i) Xét trường hợp 0 ≤ f ≤ 1. Khi đó, ta viết f = 1 − g với

0 ≤ g ≤ 1. Sử dụng khai triển chuỗi Taylor, ta có





f (t) =



an g n (t), t ∈ X



1 − g(t) = 1 −

n=1



với các hệ số như trong nhận xét (2.2.1). Suy ra chuỗi Taylor của hàm





f hội tụ về f theo chuẩn · . Thật vậy,

N



N

n



f − (1 −



an g n (t)|



an g ) ≤ sup | f (t) − (1 −

t∈X



n=1



n=1

N



an ζ n )|.



= sup | ζ − (1 −

ζ∈[0,1]



n=1



Trong đó, ζ = sup |f (t)|.

t∈[0,1]



Cho > 0, do sự hội tụ đều của chuỗi Taylor của hàm

[0, 1], khi đó sẽ tồn tại N ∈ N sao cho







1 − t trên



N



an g n ) < , với mọi N ≥ N .



f − (1 −

n=1



Ta có



N



lim



N →∞



an g n ) = 0.



f − (1 −

n=1



N



Từ đó, với mọi n ∈ N∪{0}, g n ∈ A và A là đại số con thì 1−

an g n ∈

n=1



A. Theo giả thiết ta lại có, A là tập đóng, suy ra f ∈ A. Vậy mệnh

đề i) hoàn toàn được chứng minh.

ii) Ta có |f | = f 2 với f ∈ A, f.f = f 2 ∈ A và A là đại số. Áp

dụng i) cho hàm f 2 ta suy ra |f | ∈ A.



1

1

(f + g − |f − g|) và f ∨g = (f + g + |f − g|) .

2

2

Áp dụng ii) ta suy ra f ∧ g ∈ A và f ∨ g ∈ A. Hay mệnh đề iii) được

chứng minh.

iii) Ta có f ∧g =



Nguyễn Thị Huyền Nga



30



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Định lý 2.2.1 (Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass, xem [9]).

Cho X là một không gian metric compact và A ⊂ C(X, R) là đại số

con đơn vị tách điểm của X . Khi đó, tập A là trù mật trong C(X, R).

Nhận xét 2.2.2. Định lý trên còn được phát biểu như sau “nếu

A là đại số con đơn vị đóng với tách điểm của tập compact X , và

A ⊂ C(X, R) thì A = C(X, R)”.

Chứng minh. A ⊂ C(X, R) là đại số con đơn vị đóng với tách điểm

của X . Cho > 0, với mọi f ∈ C(X, R) ta chứng tỏ rằng tồn tại

hàm g ∈ A sao cho

f −g < .

Xét điểm s, t ∈ X . Theo giả thiết, A là tách điểm nên tồn tại h ∈ A



sao cho h(s) = h(t). Với λ, µ ∈ R ta xét ánh xạ h : X → R với





h (v) := µ + (λ − µ)









h (v) − h (t)

, với mọi v ∈ X.

h (s) − h (t)





Chú ý rằng h ∈ A và h(s) = λ, h(t) = µ. Do đó, với s = t tồn tại

fs,t ∈ A sao cho



fs,t (s) = f (s) và fs,t (t) = f (t).

Và fs,t ∼ f trong lân cận của s và t. Bây giờ cố định s và cho t thay

đổi, ta đặt

Ut := {v ∈ X|fs,t (v) < f (v) + } .

Ta có, tập Ut là tập mở vì nó là tạo ảnh của tập mở. Ngồi ra, t ∈ Ut

vì vậy hợp

Ut là phủ mở của X . Do X là tập compact nên tồn tại

t∈X



hữu hạn t1 , t2 , ..., tn ∈ X , sao cho

n



X⊂



Uti .

i=1



Đặt



hs := min fs,ti .

1≤i≤n



Nguyễn Thị Huyền Nga



31



K36B - Sư phạm Tốn



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Khi đó hs ∈ A, hs (s) = f (s) và hs < f + . Ta đặt



Vs := {v ∈ X|hs (v) > f (v) − } .



Mặt khác Vs là tập mở và X ⊂



Vs . Do X là tập compact nên sẽ tồn

s∈X



m



tại hữu hạn s1 , s2 , ..., sm ∈ X sao cho X ⊂



Vsj . Đặt g = max hsj

j=1



1≤j≤m



khi đó g ∈ A và



f−
Do đó f − g < . Bởi vậy, A là trù mật trong C(X, R) và A là tập

đóng hay A = C(X, R).

Hệ quả 2.2.1 (xem [9]). Cho K là tập compact con của Rn , với

mọi n ∈ N. Khi đó, đại số của mọi đa thức P (K, R) với mỗi tọa độ

x1 , x2 , ..., xn là trù mật trong C(X, R).

Nhận xét 2.2.3.

i) Trong trường hợp n = 1 trùng với định lý xấp xỉ Weierstrass.

ii) Một kết quả tương tự như trong định lý xấp xỉ Weierstrass xảy

ra trong lý thuyết chuỗi Fourier và cũng được chứng minh đầu tiên

bởi Weierstrass...

Bây giờ, ta xét định lý trong tập compact địa phương.



2.2.2.



Định lý Stone-Weierstrass trong tập compact địa

phương



Cho (X, τ ) là một không gian Hausdoff compact địa phương và

không gian C 0 (X) gồm tất cả các hàm liên tục trên tập X với tính

chất, nếu f ∈ C 0 (X) với mọi > 0 tồn tại một tập compact K sao

cho |f (x)| < với mọi x ∈

/ K . Chuẩn của hàm f thuộc C 0 (X) được

xác định bởi

f = sup |f (x)| .

(2.2.13)

x∈X



Nguyễn Thị Huyền Nga



32



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Bổ đề 2.2.2 (xem [9]). Cho (X, τ ) là không gian Hausdoff compact

địa phương. Khi đó C 0 (X) cùng với chuẩn (2.2.13) là khơng gian đầy

đủ.

Chứng minh. Cho



∼ ∼



X, τ



là compact hóa được mô tả trong bổ đề



(1.2.1). Đặt







D ≡ f ∈ C X : f (∞) = 0 .





Khi đó D là khơng gian con đóng của C(X ). Lấy f ∈ C 0 (X).



 f (x) nếu x ∈ X



f (x) ≡

 0 nếu x = ∞,





và hàm θ : C 0 (X) → D sao cho θf = f . Khi đó θ là một song ánh

với chuẩn f = θf . Như vậy, D là đầy đủ vì nó là khơng gian con

đóng của khơng gian đầy đủ. Từ đó, suy ra C 0 (X) cùng với · cũng

là khơng gian đầy đủ.

Hàm số nói trên có giá trị trong C nhưng việc chứng minh giống

như cho hàm số có giá trị trong khơng gian tuyến tính định chuẩn bất

kỳ. Trong trường hợp, các hàm số trong C 0 (X) với mọi giá trị thực,

ta sẽ sử dụng kết quả trong không gian C 0 (X; R) cho các trường hợp

còn lại.

Định nghĩa 2.2.3 (xem [4]). Đại số của các hàm A xác định trên X

được gọi là không đâu triệt tiêu trên X nếu với mọi x ∈ X , tồn tại

hàm f ∈ A sao cho f (x) = 0.

Định lý 2.2.2 (xem [9]). Cho A là đại số của hàm số trong C 0 (X, R)

trong đó (X, τ ) là khơng gian Hausdoff compact địa phương với tách

điểm và không đâu triệt tiêu. Khi đó, A là trù mật trong C 0 (X, R).

∼ ∼



Chứng minh. Giả sử X , τ



là compact hóa trong bổ đề (1.2.1). Kí







hiệu A là tập hợp các tổ hợp tuyến tính hữu hạn được xác định bởi





n







ci f i + c0 : f ∈ A, ci ∈R ,



A=

i=1



Nguyễn Thị Huyền Nga



33



K36B - Sư phạm Toán



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập compact

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×