Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Định lý xấp xỉ Weierstrass (1885)

Định lý xấp xỉ Weierstrass (1885)

Tải bản đầy đủ - 0trang

Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



suy ra

n



k2 − k

k=2



n k

x (1 − x)n−k = n2 − n x2 .

k



(2.1.9)



Mặt khác,

n

2



k −k

k=2



n k

x (1 − x)n−k =

k



n



k2

k=2

n



n k

x (1 − x)n−k

k

(2.1.10)



n k

k

x (1 − x)n−k .



k

k=2

Do đó, từ (2.1.8), (2.1.9), (2.1.10) ta được

n



k2

k=2



n k

n

x (1 − x)n−k = n2 − n x2 + nx −

x(1 − x)n−1

k

1

(2.1.11)



hay

n



k2

k=0



n k

x (1 − x)n−k = n2 − n x2 + nx.

k



(2.1.12)



Định lý 2.1.2 (xem [11]). Giả sử f ∈ C ([0, 1], R). Khi đó, tồn tại

một dãy các đa thức pn sao cho pn (x) hội tụ đều đến f (x) trên [0, 1].

Chứng minh. Vì [0, 1] là tập compact nên hàm liên tục f sẽ liên tục

đều trên [0, 1]. Do đó, cho > 0, tồn tại δ > 0 sao cho



∀x, y ∈ [0, 1], |x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < .

2

Theo giả thiết, do hàm f liên tục trên đoạn [0, 1] nên tồn tại f ,

đặt M := f . Lấy cố định ξ ∈ [0, 1]. Khi đó, nếu |x − ξ| < δ thì

|f (x) − f (ξ)| < . Mặt khác, nếu |x − ξ| ≥ δ thì |x−ξ|

≥ 1. Do đó,

δ

2

với mọi x ∈ [0, 1] ta có



|f (x) − f (ξ)| ≤ |f (x)| + |f (ξ)| ≤ 2M ≤ 2M

Nguyễn Thị Huyền Nga



23



x−ξ

δ



2



+ .

2



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Suy ra

2



x−ξ

δ



|f (x) − f (ξ)| ≤ 2M



+ , ∀x ∈ [0, 1].

2



Bây giờ, ta sử dụng đa thức Bernstein để xấp xỉ hàm f trên [0, 1].

Đầu tiên, ta thấy

n



Bn (x, f − f (ξ)) =



k

n



(f − f (ξ))

k=0

n



k

n



f



=

k=0



n



−f (ξ)

k=0



n k

x (1 − x)n−k

k



n k

x (1 − x)n−k −

k

n k

x (1 − k)n−k

k



=Bn (x, f ) − f (ξ) B (x, 1) .

Áp dụng cơng thức (2.1.2), ta có

n



n k

x (1 − x)n−k = (x + (1 − x))n = 1.

k



Bn (x, 1) =

k=0



Do đó,



|Bn (x, f ) − f (ξ)| = |Bn (x, f − f (ξ))|

≤Bn x, 2M

n



=



x−ξ

δ



2M

k=0



2M

= 2

δ

+

=



Nguyễn Thị Huyền Nga



2



n



(x − ξ)2

k=0

n



k=0



2



x−ξ

δ



k

n



+



2



2



+

k

n



2



k

n



n k

x (1 − x)n−k

k



n k

x (1 − x)n−k

k



n k

x (1 − x)n−k

k



2M

Bn x, (x − ξ)2 + .

2

δ

2



24



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Ta lại có

n

2



Bn x, (x − ξ)



k=0

n



=

k=0

n



2



k

n



=

k=0



1

= 2

n



2



k

−ξ

n



n



k2

k=0







n



−2



n k

x (1 − x)n−k

k



+ ξ2

n



n k

x (1 − x)n−k

k



n k

x (1 − x)n−k

k



n



k

k=0



n k

x (1 − x)n−k

k



k

n



(x − ξ)2



=



n k

x (1 − x)n−k + ξ 2 ,

k



kết hợp với (2.1.8) và (2.1.12), ta được



1



2

2

(n



n)x

+

nx



nx + ξ 2

2

n

n

1

=x2 +

x − x2 − 2ξx + ξ 2 .

n



Bn x, (x − ξ)2 =



Suy ra



|Bn (x, f ) − f (ξ)| ≤



2



+



2M

2M 1

2

(x



ξ)

+

x − x2 .

2

2

δ

δ n



Thay x = ξ vào bất đẳng thức trên, ta được

2M 1

|Bn (ξ, f ) − f (ξ)| ≤ + 2 (ξ − ξ 2 ).

2

δ n

Bằng tính tốn đơn giản, ta dễ thấy trên [0, 1] giá trị lớn nhất của

1

z − z 2 là . Do đó,

4

M

|Bn (ξ, f ) − f (ξ)| ≤ + 2 .

2 2ξ n

M

Vì vậy, khi lấy N ≥ 2 thì với n ≥ N , ta có

ξ

sup{|Bn (ξ, f ) − f (ξ)|} <

[0,1]



Nguyễn Thị Huyền Nga



25



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



hay



Bn (·, f ) − f (·) < .

Do ξ ta chọn bất kỳ trên đoạn [0, 1] nên Bn (·, f ) hội tụ đều đến

hàm f (·) trên đoạn [0, 1]. Đây là điều phải chứng minh.



2.2.



Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass



2.2.1.



Định lý xấp xỉ Stone-Weierstrass trong tập compact



Định nghĩa 2.2.1 (Đại số con đơn vị, tách điểm, xem [9]).

Cho X là không gian metric compact, xét trên đại số Banach



C(X, R) := {f : X → R| f là hàm liên tục }

được trang bị chuẩn f := sup |f (t)|. Khi đó,

t∈X



i) Tập A ⊂ C(X, R) là đại số con đơn vị nếu 1 ∈ A và nếu f, g ∈ A

α, β ∈ R ta có αf + βg ∈ A và f g ∈ A.

ii) Tập A ⊂ C(X, R) tách điểm của X nếu với mọi s, t ∈ X và

s = t, tồn tại f ∈ A sao cho f (s) = f (t).

Định nghĩa trên có thể tổng quát bằng cách thay thế X là không

gian metric compact bởi X là một không gian topo.

Chú ý 2.2.1 (xem [9]).

i) Từ định nghĩa trên ta có, nếu A là đại số con đơn vị thì mọi

hàm hằng là phần tử của A.

ii) Cho P ([a, b], R) là không gian các đa thức từ [a, b] → R khi đó

dễ dàng kiểm tra rằng P ([a, b], R) là đại số con đơn vị và tách điểm.

Định nghĩa 2.2.2 (xem [9]). Cho một tập S ∈ C(X, R) là một dàn

nếu với mọi f, g ∈ S , f ∨ g ∈ S và f ∧ g ∈ S. Trong đó,

i) (f ∨ g)(x) := max(f (x), g(x)), x ∈ R;

ii) (f ∧ g)(x) := min(f (x), g(x)), x ∈ R.

Nguyễn Thị Huyền Nga



26



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Nhận xét 2.2.1. Trong bổ đề (2.2.1), ta sử dụng khai triển chuỗi

Taylor của hàm số 1 − g(t) với 0 ≤ g(t) ≤ 1. Đầu tiên, ta xét chuỗi



Taylor của hàm 1 − t, ta có







1 1

1 1

1

1

2 ( 2 − 1) 2

2 ( 2 − 1)( 2 − 2) 3

1−t=1− t+

t −

t − ...

2

2!

3!





an t n .



=1−

n=1



Trong đó,



(−1)n−1

an =

n!



n−1



k=0



1

−k

2



= 21−2n



(2n − 2)!

.

n! (n − 1)!



Với mỗi n ∈ N, an ≥ 0, ta có



lim



n→∞



(2(n + 1) − 2)!

(n + 1)!(n + 1 − 1)!

= lim

n→∞

(2n − 2)!

21−2n

n!(n − 1)!

(2n)!

−1−2n

2

(n + 1)!n!

= lim

1−2n

n→∞ 2

(2n − 2)!

n!(n − 1)!

2n − 1

= 1.

= lim

n→∞ 2n + 1

21−2(n+1)



an+1

an







an tn hội tụ theo từng điểm trên (−1, 1). Ta

n=1



sẽ chứng minh chuỗi đó hội tụ đến 1 − t trên [0, 1].

Như vậy, chuỗi 1 −





an tn , vì vậy ψ(t) hội tụ với t ∈ (−1, 1). Lấy đạo



Đặt ψ(t) = 1 −

n=1



hàm của hàm ψ(t) theo t ta có





dψ(t)

=−

nan tn−1 .

dt

n=1

Nguyễn Thị Huyền Nga



27



K36B - Sư phạm Tốn



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Định lý xấp xỉ Weierstrass (1885)

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×