Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Không gian định chuẩn

Không gian định chuẩn

Tải bản đầy đủ - 0trang

Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



iii) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x + 0 = x , ∀x ∈ X (phần tử

này gọi là phần tử không);

iv) Ứng với mỗi phần tử x thuộc X ta có một phần tử −x thuộc

X sao cho x + (−x ) = 0 (phần tử −x được gọi là phần tử đối của x );

v) 1.x = x , ∀x ∈ X ;

vi) α(βx ) = (αβ)x , ∀x ∈ X (α, β là những số bất kỳ);

vii) (α + β)x = αx + βx , ∀x ∈ X ;

viii) α(x + y) = αx + αy , ∀x , y ∈ X .

Phần tử không và phần tử đối là duy nhất.

Ví dụ 1.4 (xem [1]).

i) Khơng gian X = R1 , phép cộng và nhân với một số thực hiện

bình thường.

ii) Khơng gian X = R2 , phép cộng vector và nhân với một số thực

hiện theo từng thành phần: Giả sử x = (x1 , ..., xn ); y = (y1 , ..., yn ).

Khi đó x + y = (x1 + y1 , ..., xn + yn ) và αx = (αx1 , ..., αxn ).

iii) Không gian X = l2 , phép cộng và nhân với đại lượng vô hướng

được thực hiện theo từng thành phần. Giả sử x = (x1 , ..., xn , ...) ∈ l2

và y = (y1 , ..., yn , ...) ∈ l2 . Đặt x + y = (x1 + y1 , ..., xn + yn , ...) và

αx = (αx1 , ..., αxn , ...). Dễ thấy αx ∈ l2 với mọi α ∈ R. Bao hàm

thức x + y ∈ l2 suy ra từ bất đẳng thức:







2



|xn + yn | ≤

n=1





2



|yn |2 < +∞.



|xn | +

n=1



n=1



Từ nay về sau, để cho xác định nếu khơng nói gì thêm, ta chỉ xét

khơng gian tuyến tính trên trường số thực và phức.

Định nghĩa 1.3.2 (Khơng gian tuyến tính định chuẩn, xem [1]).

Cho X là một khơng gian tuyến tính. Ta nói X là khơng gian tuyến

tính định chuẩn (định chuẩn) nếu với mọi x ∈ X xác định một số,

được gọi là chuẩn của x (kí hiệu x ) thỏa mãn ba tiên đề sau:

i) Xác đinh dương, có nghĩa là với mọi x ∈ X, x ≥ 0. Đẳng thức

xảy ra nếu và chỉ nếu x = 0.



Nguyễn Thị Huyền Nga



17



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



ii) Thuần nhất dương, có nghĩa là với mọi x ∈ X, λ ∈ R, x =

|λ| x .

Nếu X xác định trên trường C thì |λ| là mođun của số phức λC.

iii) Bất đẳng thức tam giác, có nghĩa là với mọi x ∈ X , thì



x +y ≤ x + y .

Mọi khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, · ) là không gian metric với khoảng cách được xác định như sau



d(x, y) := x − y , ∀x, y ∈ X.

Định nghĩa 1.3.3 (xem [1]). Dãy điểm {xn } của không gian định

chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim xn − x = 0,

n→∞



kí hiệu



lim xn = x hay xn −→ x(n −→ ∞).



n→∞



Định nghĩa 1.3.4 (xem [1]). Dãy điểm {xn } trong không gian định

chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu lim xn − xm = 0.

m,n→∞



Định nghĩa 1.3.5 (xem [1]). Không gian định chuẩn X được gọi là

không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Ví dụ 1.5 (xem [1]). Đối với số thực bất kì x ∈ R ta đặt



x = |x| .



(1.3.1)



Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức (1.3.1)

cho một chuẩn trên R. Khơng gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là

R1 .

Ví dụ 1.6 (xem [1]). Cho khơng gian vector Rn . Đối với vector bất kì

x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , ta đặt

1

p



n



x



p



|xi |p



=



, 1 ≤ p < +∞



(1.3.2)



i=1



hoặc



x

Nguyễn Thị Huyền Nga







= sup |xi |.



(1.3.3)



1≤i≤n



18



K36B - Sư phạm Tốn



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Ví dụ 1.7 (xem [1]). Cho không gian vector l2 . Đối với vector bất kì

x = (xn ) ∈ l2 , ta đặt





|xn |2 .



x =



(1.3.4)



n=1



Từ công thức x = d (x, 0) và hệ tiên đề metric suy ra công thức

(1.3.4) cho một chuẩn trên l2 . Không gian chuẩn tương ứng kí hiệu là

l2 .

Ví dụ 1.8 (xem [1]). Cho không gian vector C[a,b] . Đối với hàm số

bất kì x(t) ∈ C[a,b] ta đặt



x = sup |x (t)| .



(1.3.5)



a≤t≤b



Nhờ công thức x = d (x, 0) và hệ tiên đề metric suy ra công thức

(1.3.5) cho một chuẩn trên C[a,b] . Khơng gian định chuẩn tương ứng

kí hiệu là C[a,b] .



1.4.



Một số khái niệm về đại số



Định nghĩa 1.4.1 (Đại số, xem [14]). Một không gian vector B trên

trường số thực R được gọi là Đại số nếu nó được trang bị thêm một

phép nhân trong thỏa mãn các điều kiện:

i) Với mọi x, y, z ∈ B , x(yz) = (xy)z ;

ii) Với mọi x, y, z ∈ B , (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz;

ii) Với mọi x, y ∈ B và α ∈ R, α(x + y) = αx + αy .

Định nghĩa 1.4.2 (Đại số Banach, xem [14]). Cho B là đại số trên

trường số thực và được trang bị chuẩn · . Không gian B được gọi là

Đại số Banach nếu (B, · ) là khơng gian Banach.

Ví dụ 1.9 (Ví dụ về Đại số Banach, xem [12]).

i) Trường C các số phức z là một ví dụ đơn giản về Đại số

Banach nếu trang bị chuẩn cho nó theo cơng thức: z = |z| =

Nguyễn Thị Huyền Nga



19



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



(x2 + y 2 ), (z = x + iy). Các số phức tạo thành một trường, ta ký

hiệu trường này là C. Trong C đối với mọi phần tử, trừ phần tử 0, ta

định nghĩa phép chia là nghịch đảo của phép nhân. Đơn vị trong C

là e = 1.

ii) Đại số Banach các toán tử tuyến tính bị chặn. Giả sử X là

khơng gian Banach. Ta xét không gian L = (X, X) là không gian

gồm tất cả các tốn tử tuyến tính liên tục ánh xạ từ X vào chính nó.

Với các phép tốn cộng, nhân tốn tử với một số và phép nhân thơng

thường với các toán tử. Đơn vị trong L = (X, X) là toán tử đồng

nhất. Chuẩn trong L = (X, X) được định nghĩa như sau:

A = sup Ax .

x ≤1



Khi đó, khơng gian (X, X) lập thành một Đại số Banach với đơn vị

là toán tử đồng nhất I .



Nguyễn Thị Huyền Nga



20



K36B - Sư phạm Toán



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Không gian định chuẩn

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×