Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Không gian metric compact

Không gian metric compact

Tải bản đầy đủ - 0trang

Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



đối trong không gian (X, d) nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc

K đều chứa ít nhất một dãy con hội tụ tới phần tử thuộc X .

Định nghĩa 1.1.15 (xem [2]). Không gian metric (X, d) được gọi là

không gian metric compact (compact) nếu tập X là tập compact.

Ví dụ 1.2 (Ví dụ về không gian metric compact, xem [2]).

i) Trong không gian metric R (tập số thực R với metric tự nhiên)

đoạn bất kỳ là tập compact, khoảng bất kỳ là tập compact tương đối.

Các khẳng định trên suy ra từ bổ đề Bolzano-Weierstrass. Nhờ đó dễ

dàng chứng minh trong khơng gian Euclide Rn tập bất kỳ đóng và bị

chặn là tập compact, tập bất kỳ bị chặn là tập compact tương đối.

ii) Không gian metric C[a,b] không là không gian compact, vì dãy

hàm số xn (t) = n trên đoạn [a, b] với (n = 1, 2, ...) không chứa dãy

con nào hội tụ.

Định nghĩa 1.1.16 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d). Tập A

là tập con của X được gọi là tập hoàn toàn bị chặn nếu với mọi số

dương cho trước tùy ý, ta đều tìm được một số hữu hạn các hình

cầu S1 , S2 , ...Sk (k là số dương nào đó) với bán kính sao cho

k



A⊂



Sj .

j=1



Khi đó, ta cũng nói các hình cầu S1 , S2 , ...Sk phủ tập A.

Định lý 1.1.4 (Tiêu chuẩn compact Hausdoff, xem [2]).

Không gian metric (X, d) là không gian compact nếu và chỉ nếu

(X, d) là khơng gian đầy và tập X hồn tồn bị chặn.

Định nghĩa 1.1.17 (xem [2]). Cho không gian metric (X, d) và tập

A ⊂ X . Họ (Gα )α∈I gồm các tập mở trong (X, d) (I là tập chỉ số có

lực lượng nào đấy) được gọi là một phủ mở của A nếu

Gα ⊃ A.

α∈I



Khi tập I hữu hạn, thì họ (Gα )α∈I được gọi là phủ mở hữu hạn của

A.



Nguyễn Thị Huyền Nga



14



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Định lý 1.1.5 (Định lý về ánh xạ liên tục trên tập compact, xem

[2]).

Cho hai không gian metric (X, d1 ), (Y, d2 ) và ánh xạ f ánh xạ X

vào Y . Nếu ánh xạ f liên tục trên tập compact K là tập con của X ,

thì

i) Ánh xạ f liên tục đều trên K ;

ii) Tập f (K) là tập compact trong không gian Y .

Định lý 1.1.6 (Tiêu chuẩn compact Heine-Borel, xem [2]).

Tập K ⊂ X là tập compact trong không gian metric (X, d) nếu

và chỉ nếu mọi phủ mở (Gα )α∈I của tập K đều chứa một phủ mở con

hữu hạn của K .



1.2.



Không gian topo



Định nghĩa 1.2.1 (xem [3]). Cho một tập hợp X = ∅. Họ τ các tập

hợp con nào đó của X được gọi là một topo trên X nếu

i) Các tập ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;

ii) Giả sử dãy {Gα }α∈I là dãy tùy ý những tập thuộc τ suy ra

∪ Gα ∈ τ (trong đó I là tập chỉ số bất kỳ);

α∈I



iii) Với mọi G1 , G2 ∈ τ suy ra G1 ∩ G2 ∈ τ.

Ví dụ 1.3 (Khơng gian topo, xem [3]). Cho X là tập hợp tùy ý khác

rỗng và A là tập con của X.

i) Họ τ = (∅, X) là một topo trên X . Không gian (X, τ ) được gọi

là không gian topo thô (hoặc không gian phản rời rạc).

ii) Họ τ = {A|A ⊂ X} là một topo trên X . Không gian (X, τ )

được gọi là không gian topo rời rạc.

iii) Họ τ = {∅, A, X} là một topo trên X .

Định nghĩa 1.2.2 (Không gian compact địa phương, xem [3]). Không

gian topo X được gọi là không gian topo compact địa phương (compact địa phương) nếu mỗi x ∈ X đều tồn tại một lân cận chứa trong

một tập compact trong không gian X .

Nguyễn Thị Huyền Nga



15



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



Định nghĩa 1.2.3 (xem [14]). Không gian topo X được gọi là không

gian Hausdoff nếu mỗi cặp điểm x, y bất kỳ của không gian X luôn

tồn tại hai lân cận U của x và V của y rời nhau, có nghĩa là U ∩V = ∅.

Định lý 1.2.1 (xem [3]). Không gian Hausdoff X là compact địa

phương nếu và chỉ nếu với mỗi phần tử của X thì tồn tại khơng gian

con compact C của X sao cho nó thuộc phần trong của C .

Compact hóa là một q trình biến một khơng gian topo thơng

thường thành một không gian compact. Trong một vài trường hợp

nhất định, ta có thể compact hóa một khơng gian khơng compact

bằng cách thêm vào đó một điểm và gọi là compact hóa một điểm. Đó

cũng là một khái niệm hữu ích khi xét không gian Hausdoff compact

địa phương.

Định nghĩa 1.2.4 (xem[3]). Cho (X, τ ) là không gian Hausdoff com∼

pact địa phương. Đặt X ≡ X ∪ {∞} trong đó ký hiệu ∞ là điểm





không thuộc X và được gọi là điểm vô cực. Cơ sở topo τ của X là





τ = τ ∪ K C trong đó K là tập compact con của X



,







trong đó K C là phần bù của K trong X , hay K C là cơ sở tập mở

∼ ∼

chứa ∞. Khi đó, (X , τ ) được gọi là compact của không gian (X, τ ).

Bổ đề 1.2.1 (xem[14]). Nếu (X, τ ) là khơng gian Hausdoff compact

∼ ∼

địa phương, khi đó X , τ là không gian compact Hausdoff.



1.3.



Không gian định chuẩn



Định nghĩa 1.3.1 (Khơng gian tuyến tính, xem [1]). Ta nói X là

một khơng gian tuyến tính trên trường số K (thường xét K = R hoặc

C) nếu với mọi x, y ∈ X , xác định hai phép toán: cộng vector x + y

và nhân vector với vô hướng αx, thỏa mãn các tiên đề sau

i) x + y = y + x , ∀x , y ∈ X (tính chất giao hoán của phép cộng);

ii) (x + y) + z = x + (y + z ), ∀x , y, z ∈ X (tính chất kết hợp của

phép cộng);

Nguyễn Thị Huyền Nga



16



K36B - Sư phạm Toán



Định lý xấp xỉ Stone -Weierstrass



iii) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x + 0 = x , ∀x ∈ X (phần tử

này gọi là phần tử không);

iv) Ứng với mỗi phần tử x thuộc X ta có một phần tử −x thuộc

X sao cho x + (−x ) = 0 (phần tử −x được gọi là phần tử đối của x );

v) 1.x = x , ∀x ∈ X ;

vi) α(βx ) = (αβ)x , ∀x ∈ X (α, β là những số bất kỳ);

vii) (α + β)x = αx + βx , ∀x ∈ X ;

viii) α(x + y) = αx + αy , ∀x , y ∈ X .

Phần tử khơng và phần tử đối là duy nhất.

Ví dụ 1.4 (xem [1]).

i) Không gian X = R1 , phép cộng và nhân với một số thực hiện

bình thường.

ii) Khơng gian X = R2 , phép cộng vector và nhân với một số thực

hiện theo từng thành phần: Giả sử x = (x1 , ..., xn ); y = (y1 , ..., yn ).

Khi đó x + y = (x1 + y1 , ..., xn + yn ) và αx = (αx1 , ..., αxn ).

iii) Không gian X = l2 , phép cộng và nhân với đại lượng vô hướng

được thực hiện theo từng thành phần. Giả sử x = (x1 , ..., xn , ...) ∈ l2

và y = (y1 , ..., yn , ...) ∈ l2 . Đặt x + y = (x1 + y1 , ..., xn + yn , ...) và

αx = (αx1 , ..., αxn , ...). Dễ thấy αx ∈ l2 với mọi α ∈ R. Bao hàm

thức x + y ∈ l2 suy ra từ bất đẳng thức:







2



|xn + yn | ≤

n=1





2



|yn |2 < +∞.



|xn | +

n=1



n=1



Từ nay về sau, để cho xác định nếu khơng nói gì thêm, ta chỉ xét

khơng gian tuyến tính trên trường số thực và phức.

Định nghĩa 1.3.2 (Khơng gian tuyến tính định chuẩn, xem [1]).

Cho X là một khơng gian tuyến tính. Ta nói X là khơng gian tuyến

tính định chuẩn (định chuẩn) nếu với mọi x ∈ X xác định một số,

được gọi là chuẩn của x (kí hiệu x ) thỏa mãn ba tiên đề sau:

i) Xác đinh dương, có nghĩa là với mọi x ∈ X, x ≥ 0. Đẳng thức

xảy ra nếu và chỉ nếu x = 0.



Nguyễn Thị Huyền Nga



17



K36B - Sư phạm Toán



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Không gian metric compact

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×