Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy

Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chứng minh

Giả sử cung chính quy

t



0 ,t



J.



có tham số hóa



: J



3,



ta



t nên



t



Xét hàm số

Khi đó:



t =P



Suy ra



t = P



¡ ,ta s



:J



t Pdt



t0



t J



t P0



I ( với I là khoảng mở trong ¡ ) là một vi phôi.



:J



3



o1 :I



Đặt:

r



1



sa r s

Ta có:



s



ro

ro

P PP



P.



o P



Suy ra:



Pr P



P P o P.



Từ đó ta có:



P. Pr

Pr o P 1.



Vậy mọi cung chính quy đều có tham số hóa tự nhiên.

3.4.Ví dụ

3



Cho tham số

¡



:



,ta 0



(a



2



b2



uuuur

r

ae t btk t



Tìm tham số hóa tự nhiên của



.



Lời giải

Ta có:



Suy ra

: Xét : ¡



ur



P

¡

ta s



r

ae t



t



2

r

ae t



t P

t



(t)

t0



a2



r

bk t .



2

b2 dt



r

bk t



2



a2



b2 t



a

t

t0



2



2



b .



a2



b2 t t0



0)



Chọn t0

Khi đó:



a2



0 suy ra (t0 )

o1 : ¡



r



b2 t s



E3

1(s)



sa r s

1 (s)



r(s)

uuuur r

r(s) ae



s



(t)



s

a2



a2

s



b



b2



b2



a2



b2



r

k



Thử lại:

r

r ' ae



Ta có :



r'



s

a2

r

ae



r '2

a2

a2



2



b2

3

a2

b2



b2



a2



1

a2



b2



b2



2



r

bk

b2

1

a2



a2



b2



1



Vậy tham số hóa cần tìm là:

uuu

r(s)

ur



r

ae



s

a2



b2



b



s

a2



b2



r

k



b2



.

r

bk

a 2 b2



2



§3 CUNG SONG CHÍNH QUY TRONG



3



ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN CỦA NÓ

1. Độ cong và độ xoắn

1.1.Độ cong

1.1.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 89)

Cho cung chính quy



trong



n



. Xét một tham số hóa tự nhiên của nó,



s a r(s) thì mọi tham số hóa tự nhiên của nó có dạng r o ,

(vậy

T



'' 0 ). Từ đó đặt



'



1



r ' thì T là một trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc



DT

xác định một trường vectơ

, nhưng DT khơng phụ thuộc vào r , tức

ds

ds

dọc vì trong tham số hóa tự nhiên t a r (t) .

D ro '

dt

Độ cong của



D



'(r 'o )



'' r

'o



'



2



Dr '



Dr '



o ds



dt



o



ds



tại điểm s trong tham số hóa tự nhiên s a r(s) của nó



là:

k s



DT

ds



(s)



Dr '

(s)

ds



Vậy ta được hàm độ cong (hay gọi tắt là độ cong) k dọc

k



DT

ds







.



1.1.2. Cơng thức tính độ cong trong E



3



Cho cung chính quy với tham số hóa bất kỳ

một tham số hóa tự nhiên của nó là r :

I

phép đổi tham số từ t sang s thì

r o, s



3



:J



3,



ta



, s a r s mà



(t) .



(t) . Lấy

:J



I là



Ta có:

(t)



ro



(t)



'(t) r '(s). '(t)

''(t) r '(s). ''(t) r ''(s). '2(t)

Suy ra:

Và:

Do đó:



'(t)



'(t)

)



'(t)

)



''(t



''(t



(do r '(s) 1)



r '(s) . '(t)

'(t)

r

'(s)



r '(s) .



r ''(s) . r '(t)



r

'(s)



r '(s) . r ''(s) .

sin



Vậy:



k t



3

' (t) vì r '(s)



r ''(s)



'(t)



3



T '(s) .



'(t)



3



'(t)



3



k t .



'(t)



3



'(t)



''(t)

'(t)



3



r '(s), r ''(s) . r '(t)



r (s) .



k s.



1 nên r ''(s)



3



3



.



1.1.3. Cung có độ cong bằng 0

Giả sử

r:J



là một cung chính quy có tham số hóa tự nhiên

ur

r r

uuuuur

ur

3

E ,k s

T '(s) 0 nên T '

s J . Suy ra T s

a ( a là

0,



vectơ hằng).

r

Vì vậy '(s)



r

a .Từ đó ta

có:



r



r(s)



r



O a.s b ,

với



r r

a,b là vectơ hằng



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×