Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm song chính quy

Mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm song chính quy

Tải bản đầy đủ - 0trang

r uur

0=

t

Suy ra

:



a



uuur

=a

uuruur

t

t

uuuuur 2

t



2



uur

uur

+

t

t



Ta có thể thay



r



ur uur 2 r

t . .

bằng w =

Vậy một vectơ chỉ phương của

pháp tuyến chính

có dạng:

uur uuuuur uur ur

t

t w=

t



uuuuur 2 uur

t

t



2.2.2. Định lí ( điều kiện tương

đương) (xem [2], tr. 92)



gọi là



M



t



mặt phẳng mật tiếp

của

tại điểm song chính



p

h



n

g

t ,

q2

u

y



d

= 0.

t0 khi li t t0

m

và chỉ t

khi

t0



Chứng minh

t ,



.



Gọi: h= d

r

.là vectơ pháp tuyến đơn vị

T

a

c

ó

:



r

u

u

u

u



u u

uuu u

r



uuuuur uuuur



uuu

u

uuu

u

n t

t =

P

n

P

.

P

t



t P

=

P

.

P P

c

o t

s 0



t

P.

si

n

=

h



0



=

d

Trong đó :



được xác định

như hình vẽ:



t ,



.



Cơng thức khai triển Taylor tại điểm t0 :

uur

uur

t0

t0

2

t =

t0 +

t

t

+

t t0 2 + 0 t t0

0

1!

2!

r

r uur

r

n uuuuur

2

= n

Suy ra: d

t ,

+ n.0 t t0.

t

t

t

0

0

t0 t t0 +

.

2



Điều kiện cần

Giả sử

Suy ra:



Do đó:



là mặt phẳng mật tiếp.

r ur

0

n.'(t0 )

r ur

0

n.''(t0 )

d

lim

t t t0,

t t0



r

n



t t0

= lim



2



2



0 t t0 = 0



t t0



Điều kiện đủ



Giả sử:



lim

t



Suy ra

:



Suy ra :

.



t



t0



lim

t



Khi đó ta có:



d



t0



d



t ,

t0



2



t ,

t t0



(*)



t t0 = 0

= lim

t



r



t0



d



t



t ,

t0



r u

n uur

lim | n u t0 +

t0

t t0

2

r

r uuuuu = 0

n r

r

tr 0

uur



2



t t0 = 0



r

t t0 + n 0 t t0 | = 0.

(1)



Từ (*) suy

ra:



lim |

n



n

t t0



0 t t0



2



|= 0



2

r uur

n

t0 = 0



t



Suy ra:

.



t0 +



Từ (1) và (2) suy ra



t0



là mặt phẳng mật tiếp của



(2)

tại điểm



t0 .



3. Tham số hóa tự nhiên của một cung chính quy

3.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 8)

Một tham số hóa r:

I



3



r s của một cung chính quy



,s



được gọi



a



là một tham số hóa tự nhiên của nó nếu Pr P= 1.

* Nhận xét: Mọi cung chính quy (kể cả cung chính quy định hướng)

đều có tham số hóa tự nhiên.

3.2. Tính chất

a) Nếu r :

I

chính quy thì l r

s1,s2



b) Nếu r :

1

I1



3



là một tham số hóa tự nhiên của một cung



,sa r



s

=

S1

3



S2 .



,s



a



3



và r2 :

I2



r1

s



,

ua



hóa tự nhiên của cùng một cung chính quy thì: u=

c) Nếu

I



:



3



, ta



r2 u là hai tham số



s+C (C là một hằng số).



t là một tham số hóa bất kì của một cung



chính quy thì ta có thể đổi tham số t sang tham số s theo công thức:

t



s= P



t

Pdt



( t0 J )



t0



để s là tham số hóa tự nhiên của cung.

3.3.Định lí (xem [2], tr. 85)

Mọi cung chính quy (kể cả cung chính quy định hướng) đều có tham số

hóa tự nhiên.



Chứng minh

Giả sử cung chính quy

t



0 ,t



J.



có tham số hóa



: J



3,



ta



t nên



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Mặt phẳng mật tiếp của cung tại điểm song chính quy

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×