Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
+ Điều kiện đủ

+ Điều kiện đủ

Tải bản đầy đủ - 0trang

r s ) k(s)

(*)

2.3. Mặt phẳng mật tiếp cung song chính quy trong

O , s3 J .

Ck r

( , r

E

h r

chính

r

3

0 , ssong

J . chính quy

là cung

o

Giả

sử

trong

E

cung

Suy '

có tham số hóa là:

(

J.

T

r

l

s

r



'( à t a

x(t), y(t), z(t) , t

)

l

suy

s đ

r ) ộ (t)

à

r

1, (s

J ).

, c

t

r l

h

r

'

''



a

r ''(s)

( ( p

m

s s t

) ) u

s

y



ế

h

n

ó

t

í

a

n

t

h



.

n

h

i

ê

n

Suy

song

là cung

.

chính

S

quy.

u

y

r

a

:

rn

rr

K

O , s J nên

r

hi

J ).

0 (s

đó

ta



:

'(

).

''(

s

0



Mặt phẳng mật tiếp của cung đó có phương trình là:

x(t)

x '(t)

x ''(t)



Y y(t)

y '(t)

y ''(t)



Z z(t)

z '(t)

z ''(t)



0

3



Trong đó (X, Y, Z) là tọa độ của điểm thay đổi trong E .

2.4. Trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị

DT

dọc cung song chính quy

Xét trường vectơ

ds



N



DT

ds



DT

ds



thì được trường vectơ đơn vị N dọc



pháp tuyến chính đơn vị dọc



.



Ta có thể xác định N dưới dạng



DT



trongn đặt



gọi là trường vectơ



( k là độ cong ).



kN

ds

Trường vectơ đơn vị N dọc

a) Tại mọi điểm của

của



xác định bởi các điều kiện sau:



, phương của N là phương của pháp tuyến chính



tại điểm đó.



b) Với mọi tham số hóa t a



(t) của

N (t).



N (t).

''(t

Thật

vậy:



D '



dt

Suy ra:



N (t)

D



)



t



:



D '

(t) 0

d

Dr '



D (r o )

dt

'



(t)

DT



''(r 'o



)



'



2



o



ds

'(t).N (t).



Dr '



( (t))



2



' (t)



(t) .



dt



ds



ds



Trong chương này, chúng ta đã nghiên cứu chi tiết và cụ thể các khái

3



niệm, định lý, tính chất về :”Cung song chính quy định hướng trong E ”.Để

giúp bạn đọc có thể nắm vững các khái niệm, định lý, tính chất vừa nghiên

cứu ở trên, sau đây chúng ta sẽ tìm lời giải cho một số bài toán cơ bản như

sau.



Chương 3

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG

TRONG



3



Để củng cố những kiến thức đã nghiên cứu ở chương 1 và chương 2,

sau đây chúng ta sẽ đi tìm lời giải cho một số bài tập về cung song chính quy

3.



định hướng trong



3



Bài tập 1: Tìm cung song chính quy trong



mà các mặt phẳng mật tiếp



a) Thẳng góc với một phương cố định.

b) Song song với một đường thẳng cố định (và các tiếp tuyến khơng song

song với đường thẳng đó).

Lời giải:

a) Giả sử cung song chính quy

:J



¡



3,



Ta có:



ta



trong



3



có tham số hóa tự nhiên



(t) .



ur



(t)



1,



t



J.



Mặt phẳng mật tiếp chứa tiếp tuyến, pháp tuyến chính của



vng góc



với một phương cố định. Suy ra, trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc

cung



là vectơ hằng.

Suy ra B là trường vectơ pháp tuyến đơn vị của

ur urur

B

1

,

ur

Khi đó ta có: ' 0 nên

0.

B'

Ta có B'



N (



độ xoắn của cung



= 0 nên



(1)



tại t, N là trường vectơ pháp



tuyến chính đơn vị của ) .

Ta có: N ≠ 0 , suy ra



.



là cung phẳng.



Vậy cung



là cung phẳng thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3



b) Giả sử cung song chính quy

:J

Đường thẳng mật tiếp của

định) ur

r

B.

a



trong E có tham số hóa tự nhiên:

3,



sa



(s)



tại mọi điểm song song với



ur

r

( cố

0 ( a vectơ hằng. B vng góc với mặt phẳng mật tiếp, B là



trường vectơ pháp tuyến đơn vị).

ur r ur r

Ta có: B'.a B.a '



ur r



0,khi đó ta có B'.

a



r

a = 0).



r

Tức là: N.a 0 (



r

là vectơ hằng suy ra



0 (Do

a



J , N là trường vectơ

r

pháp tuyến chính định vị của ).

N.a 0 .

Do các tiếp tuyến không song song với đường thẳng đó suy ra

độ xoắn của cung



tại s



= 0 hay

Suy

ra



cung



Vậy cung



là cung phẳng.



là cung phẳng thì thỏa mãn u cầu bài tốn.



Bài tập 2: Tìm cung song chính quy trong

ta



3



xác định bởi tham số hóa:



(t) biết phương trình mặt phẳng mật tiếp tại mỗi điểm của nó trong hệ



tọa độ Descarts vng góc Oxyz là:



a t X b t Y

Trong đó :



c t Z



d t



0



t a a(t),b(t),c(t), d (t) là các hàm số cho trước.



Lời giải:

Giả sử



:ta



(t)



(x(t), y(t), z(t)) là tham số hóa của cung



. Mặt



phẳng



mật



trình : a t X b t Y



tiếp



c t Z



của



d t



cung



0.







phương



Ta ký hiệu : N



t



a t ,b t ,c t



là vectơ pháp tuyến của mặt



phẳng ấy. Mặt phẳng mật tiếp đi qua

ur uur

(by dczd

ax

t

h

a ' x a '') xb ' (t

yc 'oz

d'

)

.

N b ''dy ặc '' z d ''

'(t c

(

t

)

)

ur

d

''(

uu

t)

r

(

t

)

.

N

'

(

t

)

ur

uu

r

(

t

)

.

N

''

(

t

)



N, N , N



a

= 1)a ' N

a '' ế

u



D



b



c



b ' c ≠ 0.

b ''

'

c

'

'



(t) nên ta có:

(1)



Khi

, ,z t

đó (1)

là hệ y một

Camer cách

, ta

t duy

tính

được



x t

n , ,c t và các đạo

h b hàm bậc nhất, bậc

ất hai của chúng.

t t

h

e

o



a

t



với một đường thẳng cho trước.

là một

cung phẳng (xem bài tập 1).

Bài tập 3: Chứng minh rằng các tính chất sau

của một cung song chính quy định hướng

trong



3



là tương đương:



1) Tiếp tuyến tạo một góc khơng đổi với một phương cố

định.

2) Pháp tuyến chính song song vơi một mặt phẳng cố

định.

3) Trùng pháp tuyến tạo một góc khơng đổi với

một phương cố định với điều kiện độ xoắn

khác 0 tại mọi điểm.



2) N 0, khi đó N t

u

D ln song song

với một mặt

phẳng cố

định.

Suy

ra

mặt

phẳn

g mật

tiếp

của

luôn

song

song



4) Tỷ số giữa độ xoắn và độ cong là hàm hằng.

5) T ,T ,T = 0 ( trong đó T là trường vectơ tiếp

, xúc

đơn vị dọc

D ds) Cung như thế gọi là cung đinh ốc tổng

quát.



Lời giải:



r

Trước hết ta chứng minh 1,2,3 là tương đương. Thực vậy, giả sử a là

vectơ không đổi luôn làm với tiếp tuyến của cung

đổi .

ur r

T.a



một góc khơng



ur r

(khơng đổi). Khi đó: T '.a 0 .



cos

Khi đó ta có:



r

uur

k.a.

N



0(

k



r uur



0) tức là a.N



0, điều này tương đương với



pháp tuyến chính luôn song song với một mặt phẳng cố định .Suy ra

ur r

r

si . (Trùng pháp tuyến làm với vectơ cho trước a một góc khơng

B.a

đổi). n

ur

r

Giả sử B ln làm với a (vectơ đơn vị cho trước) một góc khơng đổi

ur

r

r

0).

.N.a0(

uur r

ur

r

( B . a ) = 0 tức

là:

Khi đó ta có:



N.a 0.Suy ra: T ln làm với

a



một góc cố định.



Vậy 1,2,3 là tương đương.



suy

ra:



Bây giờ ta chứng minh 1 tương đương với 4.

r

Giả sử là vectơ không đổi luôn làm với T một góc khơng đổi

a

r uur

a.N 0 tức là:

r

ur ur

a( kT

R) 0

(1)

r ur

r

sin vào (1) ta có: k.cos

r sin

0

Thay ur

a.T cos

.a.B

hoặc



k



= cotg



Ngược lại, nếu



ta



(không đổi).

r



k



luôn không đổi dọc ta

sẽ tìm được vectơ đơn vị

a

khơng đổi ln làm với vectơ tiếp tuyến đơn vị T của

Xét trường vectơ



dọc



:

k



T



B



một góc không đổi.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

+ Điều kiện đủ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×