Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
§3 CUNG SONG CHÍNH QUY TRONG ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN CỦA NÓ

§3 CUNG SONG CHÍNH QUY TRONG ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN CỦA NÓ

Tải bản đầy đủ - 0trang

Ta có:

(t)



ro



(t)



'(t) r '(s). '(t)

''(t) r '(s). ''(t) r ''(s). '2(t)

Suy ra:

Và:

Do đó:



'(t)



'(t)

)



'(t)

)



''(t



''(t



(do r '(s) 1)



r '(s) . '(t)

'(t)

r

'(s)



r '(s) .



r ''(s) . r '(t)



r

'(s)



r '(s) . r ''(s) .

sin



Vậy:



k t



3

' (t) vì r '(s)



r ''(s)



'(t)



3



T '(s) .



'(t)



3



'(t)



3



k t .



'(t)



3



'(t)



''(t)

'(t)



3



r '(s), r ''(s) . r '(t)



r (s) .



k s.



1 nên r ''(s)



3



3



.



1.1.3. Cung có độ cong bằng 0

Giả sử

r:J



là một cung chính quy có tham số hóa tự nhiên

ur

r r

uuuuur

ur

3

E ,k s

T '(s) 0 nên T '

s J . Suy ra T s

a ( a là

0,



vectơ hằng).

r

Vì vậy '(s)



r

a .Từ đó ta

có:



r



r(s)



r



O a.s b ,

với



r r

a,b là vectơ hằng



tức ảnh của



nằm trên một đường.



1.1.4. Ý nghĩa

là số đo

hình học



Gọi



lim

s0



ur



ur



(bằn s)và

T

thì:

g

(s

Radi

an)

của

góc

giữa

T (s)



k(s)



s



1.1.5. Ví dụ

a) Mọi cung thẳng

có độ cong k

bằng 0.

Chứng minh:



O



Giả sử cung thẳng



r

s.e



có tham số hóa tự

nhiên:

r:¡

KD

hr

i

'



30



đ

ó0

:



n



, sa r s

, nên

k s

ds



r

a

:

s ¡ .Suy



0,



k

Vậy mọi cung thẳng có

độ cong bằng 0.

b) Cung có độ cong

k bằng 0 sẽ là

cung thẳng.

Chứng minh:

k

(

có: s

) r

( e là vectơ

Kh

D hằng đơn vị)

i

đó:



th

:



r



0,s

0,s



J

J



r

'

(

s

)

e



r r

s.e c



N r(s)

ên

ta



:



30



0.



r

r(s)

r



O



Suy

ra:



r(s)



r



O r(s)



Do đó ta có:

r(s)



r



r



O s.e c O

'



s. (tịnh tiến O lên một

e



điểm O ').Vậy cung có độ cong k bằng 0 là cung thẳng.

c) Tính độ cong của cung tròn có tham số hóa:

r s

2

r:¡

E , s a O Re R

r

r s

r ' Re

R

r

r

r '' 1

e

s

R



r s

e R



1

2R



2



.Suy ra: k(s)



R



Vậy cung có độ cong đều



k(s)



1,

R



.

r ''(s)



1.

R



s ¡ .



1.2.Độ xoắn

Định nghĩa: Cho là một cung song chính quy định hướng trong



n



thì



đã có trường vectơ tiếp xúc đơn vị T ( xác định hướng) và trường vectơ pháp

tuyến chính đơn vị N dọc . Bây giờ nếu n=3 và



3



đã có hướng thì xác định



được trường vectơ đơn vị B T N dọc gọi là trường vectơ trùng pháp

tuyến đơn vị dọc .(phương của của B tại mỗi điểm là phương của trùng

tại điểm đó). Vậy cho cung chính quy định hướng



trong



(có hướng), có trường mục tiêu trực chuẩn thuận T , N, B dọc



gọi là



pháp tuyến của

3



trường mục tiêu Frétnet dọc

Khi đó, do



B.B 1

nên



.

DB

0.

ds .B

42



Do

B.T



B. DT

0 nên DB .T

ds

ds



0.



43







DT

kN ds



và B.N 0 nên suy ra:



DB 0 .

ds .T

Vậy

DB trực giao với T và B ,vì thế

nó cùng phương với N (tại

ds mọi

điểm ). Từ đó có hàm số

để:

gọi

(hàm) độ xoắn của



N.



dọc





DB

ds



2. Cung song chính quy

2.1. Định nghĩa (xem [2], tr.

93)

3



Cho cung

trong làgọi là

song chính quy nếu mọi

điểm của

điểm song chính quy.

N

(t) là một tham số hóa của

ế

thì

u

song chính quy khi và

t

a

chỉ khi các

trường vectơ

D

,

dt



dọc là một hệ độc

lập tuyến tính.



2.2. Nhận xét

a) Mọi cung song chính quy

đều là chính quy.



b) Cung chính

quy chưa

hẳn đã là

cung song

chính quy.

Chứng minh:

a) Giả sử cung

là cung song

chính quy có

tham số hóa s

a



c

ó

r

'

,



r r

ur

r

độc

lập

tuyến

tính.

Suy

ra r



r s

.

Khi

đó

ta



0. Do

vậy

cung

là cung

chính



r

'

'

quy.

b) Giả sử

cung

thẳng

có tham

số hóa:

r

r'



r(s)



O



rr

r0.

e , r ''



r

se .



r r khơng độc lập tuyến tính.

Khi đó r ', r

''

Suy ra cung khơng song chính quy.

c) Mọi cung chính quy là song chính quy khi và chỉ khi

độ cong của nó khác 0 tại mọi điểm.

Chứng minh:

+ Điều kiện cần

Giả sử

là cung song chính quy

có tham số hóa: s a

r

r

r '(s), đ

r ''(s) ộ

c

D

o l

đ ậ

p

ó:



r(s) .

Khi đó



t

u

y

ế

n

t

í

n

h

.

0 (s

0 S

(s

uy

ra

:



r

r

J ) ''(s)

J )k(s)



+ Điều kiện đủ

Cho



là cung

số hóa

rJ

:



n



,sa



chính

tự



quy có

nhiên:



tham



r s ) k(s)

(*)

2.3. Mặt phẳng mật tiếp cung song chính quy trong

O , s3 J .

Ck r

( , r

E

h r

chính

r

3

0 , ssong

J . chính quy

là cung

o

Giả

sử

trong

E

cung

Suy '

có tham số hóa là:

(

J.

T

r

l

s

r



'( à t a

x(t), y(t), z(t) , t

)

l

suy

s đ

r ) ộ (t)

à

r

1, (s

J ).

, c

t

r l

h

r

'

''



a

r ''(s)

( ( p

m

s s t

) ) u

s

y



ế

h

n

ó

t

í

a

n

t

h



.

n

h

i

ê

n

Suy

song

là cung

.

chính

S

quy.

u

y

r

a

:

rn

rr

K

O , s J nên

r

hi

J ).

0 (s

đó

ta



:

'(

).

''(

s

0



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§3 CUNG SONG CHÍNH QUY TRONG ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN CỦA NÓ

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×