Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
§1 CUNG TRONG E3

§1 CUNG TRONG E3

Tải bản đầy đủ - 0trang

2. Cung chính quy

2.1. Điểm chính quy

3



Mỗi điểm của cung



trong E được thể hiện trong mỗi tham số hóa



của nó bởi một giá trị của tham số, nếu trong các tham số hóa:

ta



(t);u a r(u) , nó được thể hiện theo thứ tự t0 và u0 thì: u0



phép biến đổi tham số t a u



(t0 ) ,







(t) .



* Chú ý: Ảnh của các tham số hóa của một cung là trùng nhau và

được gọi là ảnh của . Tuy nhiên khơng thể đồng nhất cung với ảnh của nó,

nhưng để thuận tiện người ta vẫn thường đồng nhất mỗi điểm của

bởi chẳng hạn t0 trong tham số hóa t a



(t) của



gọi tắt đó là điểm t0 hay



xác định bởi t a



(t0 ) của cung



với điểm



xác định

3



(t0 )







(t) .



2.1.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 70)

Cho cung



xác định bởi

3



:J

Điểm t0



của



ta





(t)



(t0 ) 0 gọi là một điểm chính quy của



(t0 ) 0 thì nó gọi là một điểm kì dị của



còn nếu



.



Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được gọi là một

cung chính quy.

* Nhận xét: Các khái niệm trên khơng phụ thuộc vào tham số hóa của cung.

2.1.2.Ý nghĩa hình học

uuuuuuuuur

ur

r

Ta có (t0 ) (t) (t t0 )( (t0 ) )

(

qua



r



r

→ 0 khi t → t0) nên cát tuyến

uuuuuuuuur (t0 ) (t)



(t0 ) = M0 và (t) =M của cung có một vectơ chỉ phương



t t0



dần



ur (t0 khi

t

tới )



t0 , do đó có thể nói một cách hình ảnh: tiếp tuyến của

điể

m



tại



(t0 )= M0 là “vị trí giới hạn” của các tiếp tuyến M0M khi M

dần tới M0



dọc cung.

2.2. Tiếp tuyến, pháp tuyến, pháp diện

2.2.1. Tiếp tuyến (xem [1], tr. 20)

Nếu



(t là điểm chính quy của cung

0 ) đi qua



(t0 ) có vectơ chỉ



thì đường thẳng ( l )



(t0 ) gọi là tiếp tuyến của

tại (t0 ) .



phương Cho

cung tham số:



3



:J

ta

Ta



:



1



2



3



x (t), x (t), x (t)



uuuur

(t)



1



2



3



(x ) (t),(x ) (t),(x ) (t)



Phương trình tiếp tuyến:

1



x1(t)



(x1) (t)



2



x2 (t)



(x 2 ) (t)



3



x3 (t)



(x 3 ) (t)



.



2.2.2. Pháp tuyến (xem [1], tr. 20)

Mỗi đường thẳng

đi qua một pháp tuyến

tại (t0 ) .

của



(t và vng góc với tiếp tuyến ( l )

0 ) gọi là



2.2.3. Pháp diện (xem [1], tr. 20)



Siêu u

( và

ph

) vu

đi

ơn

g



c

với

tiế

p

tuy

ến

(l

)

gọi



ph

áp

d



tại



m

ặt

p

h



n

g

v

u

ơ

n

g

g

ó

c

v

ới

(

l

).



(t0 ) , khi



Cho cung tham số :

3



:J



1



ta

Ta có :



uuuur

(t)



2



3



x (t), x (t), x (t)

1



2



3



(x ) (t),(x ) (t),(x ) (t)



Phương trình pháp diện:

X 1 x1(t) (x1) (t)



X2



x2 (t) (x2 ) (t)



2.3. Ví dụ

3



Trong E cho cung đinh ốc tròn:

Chứng minh rằng



(t)



X3



x3 (t) (x3 ) (t)



acost, asin t,bt



(a > 0, b ≠ 0).



là cung chính quy. Viết phương trình tiếp tuyến,



pháp diện tại điểm (t0 ) của



.



Lời giải

Ta có:

(t)



asin t, acost,b

a2



(t)

Do đó:

Vậy



0



(t)



b2



0



0



là cung chính quy.



Tiếp tuyến tại điểm



(t0 ) là:

xacost0

a sin t0



y asin t0

acost0



zbt0

b



Pháp diện tại (t0 ) là:

asin t0 x acost0



acost0 y



asint0



b z bt0



0



3. Cung định hƣớng

3.1. Định nghĩa

3.1.1. Định nghĩa (xem [1], tr. 20)

Định nghĩa: Cho hai cung tham số tương đương

và r :

I



3



,u a r(u) . Giả sử



:J



(t)



3 ,t



I là phép đổi tham số từ



đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm (vì

Suy ra: Hoặc



:J



a



(t)



sang r thì



là vi phơi).



0 với mọi t là điểm trong của J hoặc



(t) 0 với



mọi t là điểm trong của J .

Nếu



(t)



0 ta nói



là phép đổi tham số bảo tồn hướng và nói







r là tương đương định hướng.

Ta nhận thấy quan hệ trên là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương

đương theo quan hệ trên được gọi là một cung định hướng.

Vậy: Cung định hướng là một tập hợp tất cả các cung tham số tương

đương cùng hướng với một cung tham số

J



:



3



. Ta gọi



một đại diện hay một tham số hóa của cung định hướng đó.

3.1.2. Ví dụ

Hai cung tham số sau có tương đương định hướng khơng:

3



:J

ta 0



r:I



J



0,2



r r sin j

cosi



E3



u a 0 cos



u

2



r

u

sin

i



2



r

j



:J



3







Hƣớng dẫn tìm (t) :

Ta có :



ur

(t)



r

r( (t))

r

(t)

i sin 2



(t)

r r sin t j

costi

cos

2



Suy

ra:



r

j



(t)

2

(t)

sin t sin 2

cost cos



(t )

2

(t ) 2

(t )

2



t 2k

t 2k

t 2k



(t)



2t



4k



Ta có:



2t



Suy ra:



0 2t 4k



Mặt khác:



4k



3



(1)



2



(0, 2 )

t



(2)



Từ (1) và (2) suy ra: k = 0.

Suy ra:



(t)



2t



Do đó ta có:



'(t) 2 0 .



.



Lời giải:

Hai cung tham số



và r là tương đương định hướng vì sẽ tồn tại vi phơi

: 0, 2



,3

ta u



bảo tồn hướng thì :



'(t) 2 0



( t J ).



(t)



2t



Ta có:



uuuur



r



r

(t) co

si

rr



uuuur

(r o )

(t

)



sin j

r



r

2t

i sin

2

t (0, 2 )



r( ( r( 2)

r

t)) r cost

2t

sin t j

cos

2t



Suy ra: r o



j



.



Vậy hai cung tham số đã cho là tương đương định hướng.

3.2. Đảo hướng của

một cung định

hướng

3.2.1.Định nghĩa

(xem [1], tr. 20)

Cho hai cung tham

số



3



t

a



:J

có vi phơi đảo

hướng (



t



t



0,



,



t





J) :J

u t



r:

I



I,ta



được gọi là cung đảo. hướng của cung

3.2.2.Định nghĩa

Cho cung



là một cung định hướng:



2





r cost r sin t j

ta 0

Xét vi phôi







¡



3



,

u

a



r u .Nếu



thì cung



,

Ct

u

na

g

t

h

a

m



u

t

đảo

hướ

ng

(vì



10,



2



s



:

o1 : ¡



r

ua

r u



2



t ¡ ).



r

r u



uur 1

u

o

ur 1

ur

u

cos



2

r

sin ui cosu j



2



r

u i sin

r



u



2



r

uj



3.3. Trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc cung định hướng

Cho

:J

a



là một cung

3



,t



chính quy



định hướng xác định bởi



t thì rõ ràng trường vecto :U

a



là trường vecto tiếp xúc đơn vị dọc cung



.



U,t



t



t

P



tP



§2 ĐỘ DÀI CUNG. THAM SỐ HĨA TỰ NHIÊN

CỦA CUNG CHÍNH QUY

1. Độ dài cung

1.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 31)

Cho cung tham số

mút) [a,b] và giả sử

Với



mỗi



m



i 1



3



: a,b



xác định trên đoạn thẳng (kể cả các



liên tục.

phép



a t0



chia



t1 t2 ...

tm



b,



lập



tổng



. Nếu các tổng đó có cận trên với mọi phép chia như vậy thì

uuuuuuuuuu

ur (ti 1)

(ti )



ta nói cung tham số đó có độ dài cung và độ dài cung đó là cận trên ấy.

1.2. Định lý (xem [2], tr. 31)

Nếu J khả vi lớp £ 1 thì nó có độ dài cung và độ dài cung ấy là:

b



'(t) dt .

a



* Chú ý: Nếu n = 3:

ur (t)

ur (t)

ur



(t)



x(t), y(t), z(t)

x (t), y (t), z (t)

[x (t)]2 +[y (t)]2 +[z (t)]2



Khi đó:

b



b



(t) dt

a



a



[x (t)]2 +[y (t)]2 +[z (t)]2 .



1.3. Ví dụ

3



Trong E tính độ dài các cung đoạn có biểu thức tọa độ Descartes sau

đây:

sin t), a(1cost), 4acos t,

2



a) (t)



a(t



b) (t)

2t



cos t,sin t,cos



c)



acht,asht,at ,



3



3



a



,



0,0 t 2



(0

t 2 )



(t)



a 0,0 t t0



x3 a 2

x,,

,

3a2 2x



d) (x)



a 0, a x 3x



Lời giải

a)



(t)



sin t), a(1cost), 4acos t

2



a(t



a(1cost), asin t, 2a sin t

2



(t)



2 2a sin t

2



(t)



2 2a sin t

2



Do đó:

l(



)



0,2



(2 2asin

4 2acos t 2t )d

2

0



20

b)



(t)

'(t)



2



t



2



3



(0 t 2 )



4

2a

8 2a



0



t



sin d

2 2



3



cos t,sin t,cos2t

3cos2 t sin t,3sin2 t cost, 2sin 2t



'(t)5 sin 2t 2



20



t



.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

§1 CUNG TRONG E3

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×