Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Cấu trúc luận văn

Cấu trúc luận văn

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng ta sẽ nói tới một số định nghĩa, kí hiệu, và

một số định lí cơ bản được sử dụng trong khóa luận này.

1. Không gian Euclid

1.1. Định nghĩa (xem [4], tr. 139)

Cho V là một ¡ - khơng gian vectơ. Khi đó tích vơ hướng trên V



ánh xạ:

<. , .> :V V

r ur

x, y a



thỏa mãn 4 tiên đề sau:

r ur ur r

i)

x, y

y, x

r ur r

r ur

r r

ii)

x, y z

x, y

x, z

r ur

r ur

iii)

x, y

r x,r y

x, x 0

iv)

r r

r r0.

x,

0x

x



¡

r ur

x, y



r ur

x, y V

r ur r

x, y, z V

r ur

x, y V ,

r

xV



¡



uur

r

ur

ur

Ta gọi số thực x,

là tích vơ hướng của và y .

x

y

r ur

Ngồi ra tích vơ hướng còn được kí hiệu bởi x.y .



1.2. Định nghĩa

Khơng gian vectơ Euclid là một ¡ không gian vectơ nếu trên đó xác

định một tích vơ hướng.



Khơng gian Euclid là một không gian afin liên kết với không gian

Euclid hữu hạn chiều.

Không gian Euclid được gọi là n chiều nếu không gian vectơ Euclid

liên kết với nó là n chiều.

Ta thường kí hiệu



n



ur

là khơng gian Euclid n chiều và



n



là khơng gian



vectơ Euclid n chiều.

ur ur ur n

Với ,

ur ur urur

..cos,.

.



ur ur

bất kỳ, tích vơ hướng của hai vectơ vàđược kí

ur ur



hiệu



2. Hàm vectơ

2.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 6)

n



ur

n



:U



Trong

cho U là một tập hợp tùy ý khác rỗng khi đó mỗi ánh xạ

ur ,u a ur

được gọi là hàm vectơ xác định trên U .

(u)



2.2. Định lý (xem [2], tr 6)

Cho U là một tập hợp tùy ý

của

ur

n



:U



ur , u

a



ur

(u) .

Gọi



ur uur



cho hàm vectơ



là một cơ sở trực chuẩn của



uur

e1,e2 ,....,

en



Khi đó, tồn tại duy nhất các hàm số: xi :

U

r

n

ur

xi (u)ei .

x(u)

i L



n,



n.



¡ ,u a

i



x (u) sao cho:



* Nhận xét: Trong



n



cho một hàm vectơ tương đương với cho n hàm vectơ



tương ứng và ta gọi các hàm này là các hàm tọa độ.

2.3. Định nghĩa (xem [2], tr. 6)

Cho J là một khoảng trong ¡ .



ur

n



Xét hàm vectơ : J

ur

ur



ur

ur ,t a ur

(t) . Khi đó giới hạn của hàm vectơ (t)



(t

t) nếu tồn tại thì được gọi là đạo

li

(t)

hàm của hàm vectơ

m

t 0

t

ur

này tại t. Ta kí hiệu là

(t) .



3. Cung tham số

3.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 16)

n

n

¡ vào

gọi là

từ

một

khoản

g J



Mỗi

ánh

xạ

:J

ntham

.



số (hay một quỹ đạo) trong



3.2. V

í

d



a)



một

cun

g



n



là ánh

xạ hằng,





) {O}; ảnh của cung

tham số này



:

¡



là tập chỉ có một điểm O.

b)



:

¡



n



r



r

ur

n



tn là vectơ ≠ 0 của là );

ảnh của

(

r

n



,



(t)



0

đường thẳng đi qua O với vectơ chỉ phương n .

:

¡



n



(t)

0



r r

t n (n

3



ur n

là vectơ ≠ 0

của



), n của

ả h nó



cũng



là đường thẳng nói trên.

4. Ánh xạ khả vi

Định nghĩa: Cho U là

một tập mở trong

m

, V là một tập mở

trong

n

f

f làVmột

,

, p ấnh xạ

u

:

thì

f

khả

vi



U n ( (lớp £ k ) nếu

m

với O

p

ur

)

v , O là khả vi (lớp £ k ).

e p

c af

t

(

ơ

p

)

U



n,



Lấy một hệ tọa độ afin trong

p



n



thì: f



f1 p , f2

p



,..., f



n



p .



fi

:

U



¡(i =



1,2,

…,n)





ch



kh

i



c



m

số

:J



U ,t a



k



£

)

là một khi

hàm

số

trên

U.

Khi

đó f

khả vi

(lớp

f i (i trên U.



=

1,2, ràng

…,n) tích

khả các

vi

lớp £

k



ánhlàxạ

khả vi là

(t)

một

ánh xạ khả vi.

Chẳng hạn nếu

cung

tham

số

(khả

vi)

trong

U thì

fo

trong

V.



:J V

là một

cung

tham số

(khả vi)



5. Trƣờng vectơ dọc một cung tham số



xạ

:

J



Định nghĩa: Trường vectơ dọc cung tham

số

J , X (t) TE(tn .)

n



ur n

với

mọi t

, ( là một cung tham số

t t (khả vi)

a )



Định

nghĩa:

Cho

:J

t

r

o

n

g



n thì



t (t)

a ( (t), (t)) là một trường

vectơ dọc là



6. Đạo hàm của trƣờng

vectơ dọc cung tham

số

ur

Định nghĩa: Cho

cung tham số:

:J



n



,

t

a



( và cho

t trường

)



ur

ur n

ur

vectơ

dọc , xác

, (t) (

định hàm vectơ : J

(t),

(t))

thể xét trường

vectơ dọc

là: t a

dọc



trong



(t) (

(t),

n.



thì có



gọi là đạo hàm

của



(t))



Ký hiệu trường vectơ



dọc



là:



D

dt



:J



D2

Sau =

dt 2 .

đó,

ur n

có,t a (t) là ánh

thể

xét

trườ

ng

vect

ơ

dọc

, ta

ký ký hiệu

.

hiệu





Trong chương này, chúng ta đã xét một số định nghĩa, tính chất, và một

số định lý mang tính chất chuẩn bị. Sau đây, chúng ta sẽ đi nghiên cứu sâu

3



hơn về “Cung song chính quy định hướng trong E ”.



10



Chương 2

CUNG SONG CHÍNH QUY ĐỊNH HƢỚNG TRONG E



3



Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu sâu hơn về cung song chính quy

định hướng trong 3 .

§1 CUNG TRONG E

1. Cung trong E



3



3



1.1. Hai cung tham số tương đương

Định nghĩa (xem [2], tr. 69)

Cho I , J là hai khoảng mở trong ¡ . Hàm

số

vi phôi nếu f là một song ánh khả vi và

f

Hai cung tham số

J



:



3



1



là một hàm khả vi.



(t) và r :

I



,t



a



J được gọi là một



f:

I



3



,u



r(u)



a



và r khả vi) gọi là tương đương nếu có vi



( I , J là khoảng trong ¡ ,

phôi:

:J



ta u



1.2. Cung trong



sao cho r o



I

(t)



3



Quan hệ xác định như trên là một quan hệ tương đương. Mỗi lớp tương

đương theo quan hệ trên được gọi là một cung. Mỗi cung tham số thuộc một

lớp được gọi là tham số hóa của cung.

Hai tham số hóa của một cung sai khác nhau một vi phôi, ta gọi vi phôi

này là đổi tham số.



14



2. Cung chính quy

2.1. Điểm chính quy

3



Mỗi điểm của cung



trong E được thể hiện trong mỗi tham số hóa



của nó bởi một giá trị của tham số, nếu trong các tham số hóa:

ta



(t);u a r(u) , nó được thể hiện theo thứ tự t0 và u0 thì: u0



phép biến đổi tham số t a u



(t0 ) ,







(t) .



* Chú ý: Ảnh của các tham số hóa của một cung là trùng nhau và

được gọi là ảnh của . Tuy nhiên không thể đồng nhất cung với ảnh của nó,

nhưng để thuận tiện người ta vẫn thường đồng nhất mỗi điểm của

bởi chẳng hạn t0 trong tham số hóa t a



(t) của



gọi tắt đó là điểm t0 hay



xác định bởi t a



(t0 ) của cung



với điểm



xác định

3



(t0 )







(t) .



2.1.1. Định nghĩa (xem [2], tr. 70)

Cho cung



xác định bởi

3



:J

Điểm t0



của



ta





(t)



(t0 ) 0 gọi là một điểm chính quy của



(t0 ) 0 thì nó gọi là một điểm kì dị của



còn nếu



.



Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm chính quy được gọi là một

cung chính quy.

* Nhận xét: Các khái niệm trên khơng phụ thuộc vào tham số hóa của cung.

2.1.2.Ý nghĩa hình học

uuuuuuuuur

ur

r

Ta có (t0 ) (t) (t t0 )( (t0 ) )

(

qua



r



r

→ 0 khi t → t0) nên cát tuyến

uuuuuuuuur (t0 ) (t)



(t0 ) = M0 và (t) =M của cung có một vectơ chỉ phương



t t0



dần



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Cấu trúc luận văn

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×