Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 2: Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của cơ học lượng tử.

Chương 2: Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của cơ học lượng tử.

Tải bản đầy đủ - 0trang

dựng một khái niệm mới về lượng tử, đó là bức đầu của việc hình thành nền

cơ học lượng tử.



Trong cơ học cổ điển để đặc trưng cho chuyển động của một hạt ta

dùng những đại lượng như: tọa độ, xung lượng, mơmen động lượng của

hạt…. Các đại lượng đó gọi là các biến số động lực.Hạt chuyển động theo

một quỹ đạo và ở thời điểm đã cho thì tất cả các biến số động lực đều có giá

trị xác định.

Trong cơ học lượng tử vấn đề lại khác. Hạt khơng được hình dung như

một chất điểm chuyển động theo quỹ đạo mà là một bó sóng định sứ trong

một miền của khơng gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời

gian. Tại một thời điểm ta chỉ có thể nói về sác xuất tìm thấy hạt trong một

phần tử thể tích của khơng gian.

Vì có sự khác biệt nói trên mà trong cơ học lượng tử biến số động lực

không phải được mô tả bằng một số như trong cơ học cổ điển. Chúng ta phải

tìm một cách mơ tả khác thể hiện được những tính chất đã nêu ở trên của biến

số động lực, thể hiện được những đặc tính của các qui luật lượng tử. Những

nghiên cứu về tốn tử cho thấy có thể dùng cơng cụ tốn học này để mơ tả các

biến số động lực trong cơ học lượng tử. Chúng ta thừa nhận một số giả thuyết

về nội dung cách mô tả như những tiên đề.

2.1. Các đại lượng động lực và các tốn tử.

Trong các q trình xây dựng cơ học lượng tử người ta thừa nhận tiên

đề sau:

“ Mỗi đại lượng vật lí F trong cơ học lượng tử được biểu diễn bằng

một tốn tử tuyến tính, Hermite F□ .

Trong phép đo đại lượng F hệ lượng tử   q,t 



ở thời điểm t để được



số đo nào đó, hệ lượng tử sẽ chuyển về trạng thái liên kết máy đo – hệ lượng

tử. Trạng thái liên kết này được mô tả bởi hàm riêng  n  q,t  của toán tử F□

tương ứng với trị riêng fn.



Giá trị riêng fn là số đo fn của phép đo đại lượng F”.

Từ tiên đề trên chúng ta thấy rằng cần phải đối ứng đại lượng vật lí F

với tốn tử F nào đó.

Việc xây dựng dạng của tốn tử phải dựa trên các cơ sở:





Cơ học lượng tử xây dựng dựa trên cơ sở của cơ học cổ điển,



bởi vậy những đại lượng vật lí của cơ học lượng tử phải trùng với các đại

lượng vật lí cổ điển trong những điều kiện mà hệ lượng tử được coi như hệ cổ

điển.





Các phương trình tốn tử chính là các phương trình chuyển động



của cơ học lượng tử. Các kết quả rút ra từ các phương trình này phải được

thực tế kiểm nghiệm.



Phương trình

tốn tử:



i





t



 H□  mơ tả chuyển động tự do của hạt



với năng lượng E là phương trình cho hàm riêng và trị riêng của tốn tử

2

2

H□  

 .

2m

Để thỏa mãn các yêu cầu trên người ta đưa ra các tiên đề sau:





Các hệ thức liên hệ giữa các toán tử giống như các hệ thức liên



hệ giữa các đại lượng vật lí tương ứng trong cơ học cổ điển.

Nếu trạng thái của hệ lượng tử được biểu diễn bởi hàm tọa độ q và thời

gian t và nếu L(p,q,t), pk và qk (k≥1) là hàm Lagrange, xung lượng suy rộng

và tọa độ suy rộng thì:

Hàm Hamilton



H□  i .

t



s



H  q k , pk , t    pk q k  L được chuyển tương ứng thành

k1



Xung lượng được chuyển thành: p k 



L

q k



 p□k





 i



.



qk



Như vậy, theo quan điển của cơ học lượng tử thì chuyển động của một hạt



sẽ được mơ tả bằng hàm sóng 

và hàm sóng này tìm được bằng

 r;t











cách giải phương trình Schrodinger i



 H□ 



t



Với H□ là toán tử Hamilton. Tùy thuộc vào trường lực hạt chuyển động

trong đó mà tồn tử

H□



có dạng khác nhau.



2.2. Toán tử Hamilton

Dựa vào các tiên đề của cơ học lượng tử, trong cơ học cổ điển có hàm

Hamilton nó trùng với năng lượng của hệ ứng với chuyển động của cơ hệ khi

cơ hệ chịu liên kết dừng. Thì trong cơ học lượng tử tương ứng có tốn tử

Hamilton tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ. Tức trị riêng của tốn

tử Hamilton chính là năng lượng tồn phần của hệ.

Trong hệ tọa độ đề các, tốn tử



của một hạt gồm toán tử động năng



H□ cộng toán tử hàm lực: H□  T□ 

U□

Ở đây toán tử động năng T□ 

p



2



2m



2









 , còn hàm lực U  U r, t

2









 



2m



phụ thuộc vào tọa độ, thời gian t.

Trong trường hợp tổng quát, nếu hạt chuyển động trong trường lực phụ

2



2

thuộc vào vận tốc, gia tốc,... thì : H  

  W□

2m

Ở đây □

W là thành phần mô tả chuyển động của trong trường lực

tổng

quát.

Đối với hệ n hạt thì dạng tổng qt của tốn tử Hamilton là :

n



2



H□   

k1





  W□ 

2



2m



Trong đó



W□  là thành phần viết cho trường lực tổng quát mô tả tương tác của



các hạt trong hệ và là hàm của vận tốc các hạt và thời gian.

2.2.1. Dạng của toán tử Hamilton và một số toán tử khác trong các hệ tọa

độ.

 Toán tử nabla () :



  



● Trong hệ tọa độ Đề các :   i  j

k .

x

y

z

 



● Trong hệ tọa độ cầu :



● Trong hệ tọa độ trụ :





e







e 





r 

r sin   

r





  e 





 ez . 

  e   

z

  er







2



 Toán tử Laplaxơ (    ) :

2  2  2 .

2

2

2

x y

z



2



● Trong hệ tọa độ đề các :    



● Trong hệ tọa độ cầu :

1

2

2

 









1

















sin





2



2

2

2

2

r  r r  r  



r sin  









● Trong hệ tọa độ trụ:

2



 



1



    1 

rr r r  2 2

r 







2











2



z



2



 Tốn tử Hamilton.

Ta có

H□









  U r,

t 2m

2



2



 



● Trong hệ tọa độ đề các :

2

2  









2



2

 











.



H□  



 2

2m  x



y



2



U

z 

2



 



□ r, t



● Trong hệ tọa độ trụ :

2

  1     1 2



2 







r  2 2 

H 

  U r, t

r 

z2 

2m  r  r   r





 .



● Trong hệ tọa cầu :

□  1

H

   

r2



 



 



 



1



 



U□ r, t



sin



2



2













 2





 2 2





2

 

2m  r  r   r    

r sin    

2.2.2. Toán tử Hamilton của hạt mang điện chuyển động trong điện từ

trường.

Ta xét chuyển động phi tương đối tính của hạt mang điện tích e chuyển

 

động trong điện từ trường E, B tùy ý. Điện từ trường này có thể biểu diễn qua



thế vectơ A và thế vô hướng  của điện từ trường.



A



E  grad  

t





B  rot A,



Với điều kiện định cỡ Lorenxơ: div A = 0.

Hàm Lagrange của hạt mang điện trong điện từ trường:

 

1 2

L mv  eAv

e, 2





 



Xung lượng suy rộng P   L  m v  e A  p  e A.

v

  

Như vậy xung lượng của hạt: p  P  e A





 



U r, t



(2.1).



Nếu ngồi lực điện từ ra còn có những lực khác diễn tả bởi hàm lực

thì biểu thức tổng quát của hàm Hamilton sẽ là:



 





1 

2

H  p v  e A v  e  U  m v2  P 

 e  U

1

eA











(2.2)



2



2m



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 2: Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của cơ học lượng tử.

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×