Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 1: Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của vật lý học cổ điển.

Chương 1: Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của vật lý học cổ điển.

Tải bản đầy đủ - 0trang



v



Lực này ln vng góc với phương chuyển động nên

đóng vai trò của lực hướng tâm. Dưới tác dụng của lực đó

hạt chuyển động theo một đường tròn. Bán kính R của quỹ

đạo tròn này được xác định từ điều kiện: e v B 



mv

R



2





B



. Do đó



mv

R eB



(1.2)



Bán kính R của quỹ đạo tròn phụ thuộc vào vận tốc v của hạt mang

điện và độ lớn của cảm ứng từ B và tỉ số e/m gọi là điện tích riêng của hạt

mang điện.

Một đặc điểm của chuyển động này là chu kỳ chuyển động của hạt

(thời gian chuyển động một vòng) khơng phụ thuộc vào vận tốc của hạt. Chu

kỳ chuyển động T có giá trị là

có: T 



T



2m



2 R

v



. Thay giá trị ở các biểu thức trên ta

(1.3)



eB



Tần số góc  của hạt (góc quay được trong 1s) có giá trị:

2 e

  B

T



(1.4)



m



và được gọi là tần số xyclotron.

Ta thấy chu kỳ chuyển động T và tần số góc  chỉ phụ thuộc vào điện

tích riêng e / m và cảm ứng từ B.





v2



Hình vẽ bên cho ta quỹ đạo của hai hạt giống nhau có

 

vận tốc v ;

1

v2



khác nhau. Nếu hai hạt cùng xuất phát từ



một điểm O thì sau khi chyển động một vòng với cùng một

khoảng thời gian, chúng sẽ gặp lại nhau ở O.



O







v1





 Trên đây ta giả sử vận tốc v vuông góc với



hợp tổng quát khi vận tốc v hợp với cảm ứng từ





B . Bây giờ ta xét trường



B một góc nào đó khác



/ 2 .









Ta sẽ phân tích v thành hai thành phần v vng góc với B và v// song song





với B , ta

v  vsin ; v//  vcos . Lực Lorenxơ tác dụng lên hạt có giá

có:

trị: f  e v Bsin  e v B

.







Lực này xác định bởi thành phần v , khiến cho hạt chuyển động theo



đường tròn nằm trong mặt phẳng vng góc với B . Lực gây nên bởi thành



phần v// bằng khơng. Do đó chuyển động của hạt là tổng hợp của hai chuyển

động:





● Chuyển động tròn đều trong mặt phẳng vng góc với B , với vận tốc

dài bằng v , với bán kính quỹ đạo, chu kỳ, tần số được xác định theo

các biểu thức (1.2); (1.3); (1.4),chỉ cần thay trong đó các giá trị của v

bằng v  vsin  .

● Chuyển động đều theo quán tính với vận tốc v//  vcos , dọc theo



phương của B .

Vì thế quỹ đạo của hạt là một đường xoắn ốc hình trụ có trục trùng với

 

v v



v//





phương của cảm ứng từ B

.

Bước của đường xoắn ốc là:





B



2vcos

h  v // T 



e



1

B



2vmcos





eB



.



m



1.2. Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo cơ học lí

thuyết.

1.2.1. Mơ tả chuyển động của hạt dựa vào phương trình Lagrange

Trong cơ học Newton chuyển động của một hạt được mô tả bằng

phương trình của định luật II Newton còn trong cơ học lý thuyết thì chuyển

động của hạt được mơ tả bằng phương trình Lagrange loại II (hay phương

trình Lagrange trong tọa độ suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng qk)

d T

dt q k



T  Qk

– q

k



(1.5)



(k = 1, 2,…,s ) với s là số bậc tự do của hệ, Qk là lực suy rộng và T là động

năng của hệ.

Để tìm định luật chuyển động của cơ hệ chỉ cần giải hệ thống s phương

trình Lagrange loại II.

Đại lượng q

k



dq

 dt k gọi là vận tốc suy rộng,

2



dq



đại lượng qk 2 gọi là gia tốc suy rộng

dt



T

và đại lượng p 

gọi là xung lượng suy rộng.

k

qk

k



Xét trường hợp liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng.

Nếu các lực tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì khi đó biểu thức của lực

suy rộng có dạng:

N











Qk  F ri

i

q k

i1





U r

   i   U

qk

i1 ri qk

N



Và phương trình Lagrange loại II lúc đó sẽ có dạng:

d L d t

q k







L



0



qk



Trong đó L = T - U gọi là hàm Lagrange.

Nếu vị trí của cơ hệ tự do được xác định bởi những tọa độ Đecac xi, yi,

zi ( i = 1, 2,…, N) thì hàm Lagrange có dạng:

1 N

L   m  x 2  y 2  z 2   U  x , y , z ,..., x , y , z 

i

i

1

1

i

N

N

N

2 k1 k i

Những phương trình mô tả chuyển động của hạt sẽ là:

d L







d t x i

d L



L  0,

x i







d t y i



L  0,

yi



( i = 1, 2,…,N)



d L L

d t z i  zi  0,

d

Hay viết dưới dạng vectơ:

L L

  0

dt 

 ri ri



 i  1, 2,..., N







Xét trường hợp hạt chuyển động trong điện từ trường:

Hạt có khối lượng m, điện tích e chuyển động dưới tác dụng của lực





 

  





điện từ F  eE  e v.B . Trong đó E, B, v lần lượt là cường độ điện trường,

cảm ứng từ của trường lực mà hạt chuyển động và vận tốc của hạt.

Như đã biết hạt chuyển động trongg điện từ trường có động năng và thế

năng được xác định như sau:

1

2

Động năng: T  mv

2



 

Thế năng: V  e  ev A

Vì vậy hàm Lagrange của hạt là: L 



 

1

2



2



mv  e  ev A



Xét trường hợp đơn giản là hạt chuyển động trong điện từ trường đều,

  



có E, B, v lần lượt hướng theo các phương Ox, Oz, Oy.





Với các thành phần của 



B 0, 0, B , có thể chọn A   By , 0,0 . Thật

vậy:





































B  rotA  



Az 

Ay ;

Ax 

Az ;

Ay 

Ax 

y

z

z

x

x

y













Thành phần Bx  0 , để đơn giản ta đặt A y  Az  0 .

Thành phần thứ hai: By  0 vì Az  0 nên Ax  Ax  x, y .

Thành phần thứ ba:



Bz  B; A y  0 nên B  



Ax

y



và có thể đặt



A x  By như vậy thỏa mãn cả thành phần thứ hai.

 

Ta có e    Fdr  e  Edx  e E x

 

1

1

Suy ra

2

2

2

2

L  mv  e  e v A  m  x  y  z   eEx 

eByx 2

2

Hình chiếu phương trình Lagrange trên các trục tọa độ là:

eB



y  

xC



2 m

2

 mx  eBy  eE  0

e B





eE eBC











m

y



eBx





x



x









2

0

 

m

m

m



z  D

 mz 0





 x  x 0 0, y  y 0 0, z  z 0 0,

Các điều kiện ban đầu t = 0 thì: 

 x 0  0, y 0  v0 , z 0  0

Phương trình (1.7) có nghiệm là:

eB

eB

mE Cm

x  C cos

t  C sin

t



2

m

eB

eB

1

2

m

Thay điều kiện ban đầu vào (1.6) và biểu thức của x ta có:



1.6

1.7

1.8



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 1: Chuyển động của hạt mang điện trong điện từ trường theo quan điểm của vật lý học cổ điển.

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×