Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
< e, i = 1,..., k}

< e, i = 1,..., k}

Tải bản đầy đủ - 0trang

và khoảng cách của y thông thường là 0 với khoảng cách của x.Vì vậy, khi

khơng gian Hilbert ở dưới là vơ hạn chiều, thì điều này có thể xảy ra.Thực tế,

chúng ta luôn giả sử rằng không gian Hilbert ở dưới là vơ hạn chiều, bởi vì

nếu khơng tất cả các tơpơ là trùng nhau.



Cho A là một tốn tử thỏa mãn: Axi = yi và Ayi = 0 (i =1,…, k). Và

Az = 0 , z,

xi



= 0 và z,

yi



= 0 (i =1,…, k) .



Rõ ràng A là một toán tử lũy tinh cấp 2, và rõ ràng A xác định một cơ sở

mạnh.

Bước 2:

Nếu phép nhân là liên tục mạnh, thì trong trường hợp đặc biệt nó liên tục

mạnh trong các cặp có dạng (A,A).

Nhưng liên tục mạnh trong (A,A)

, nghĩa là : nếu (An, An)



2



(A,A) thì A



n



lưới / chuỗi liên tục trong (A,A)

2



A .



Bây giờ ta lấy bất kì một A B(H).

A B(H) ) = cls(N) , vì vậy tồn tại một lưới Al

vì vậy (Al ,A l



)



A,



(A,A) ( theo định nghĩa hội tụ trong tơpơ tích). Nếu phép



nhân có lưới liên tục, thì A 2

l

A l2 = 0. Vậy, 0



N sao cho Al



2



A . Nhưng A l



N, vì vậy với mỗi l ta có



2



A , và từ tính duy nhất của giới hạn mạnh, nếu nó tồn tại,



2



ta có A = 0. Nhưng A là bất kỳ, đặc biệt ta có thể lấy A là một ánh xạ đồng

nhất trên H, mâu thuẫn với trên.

) Gián đoạn của phép nhân trong tơpơ tốn tử yếu:

Vì tơpơ mạnh mạnh hơn tơpơ yếu, vì vậy một tập trù mật mạnh thì nhất

định là trù mật yếu, vậy tập N tất cả các toán tử lũy tinh cấp 2 là trù mật yếu.

Chứng minh như trên trong đó chỉ cần thay tất cả những chỗ mạnh là yếu

ta sẽ được điều cần chứng minh.

Định lý 3.2.6.

1) Phép nhân phải thì liên tục mạnh và yếu. Tức là, cho B cố định, ánh xạ

B(H)



B(H) định nghĩa bởi A a AB liên tục mạnh và yếu.



2) Phép nhân trái liên tục mạnh và yếu. Tức là, cho A cố định, ánh xạ B(H)

B(H) được định nghĩa bởi B a AB liên tục mạnh và yếu.



Chứng minh. Ta sẽ sử dụng sự hội tụ.

) Liên tục mạnh:

1. Đối với phép nhân phải:

Giả sử rằng Al



A mạnh nghĩa là Al x



Vậy, trong trường hợp đặc biệt, Al Bx



Ax mạnh với mỗi x



ABx với mỗi x



H.



H, và điều này



xác lập tính liên tục mạnh trong A.

2. Đối với phép nhân trái:

Giả sử rằng Bl



B nghĩa là Bl x



Bx mạnh với mỗi x



H.



Thì, vì A liên tục nên bị chặn. Vậy nếu ta giả sử rằng ABl x ® AB mạnh với

x

mỗi x H, và điều này xác lập tính liên tục mạnh trong A.

) Liên tục yếu:

1. Đối với phép nhân phải:

Nếu Al ® A yếu ,nghĩa là Al x ®

Ax

thì Al x, y

®



Ax,

y



với mỗi x,y



yếu với mỗi x



H,



H.



Thì trong trường hợp đặc biệt Al Bx, y

®



ABx,

y



với mỗi x, y



H, và liên



tục yếu trong A.

2. Đối với phép nhân trái:

Nếu Bl

®



B yếu thì Bl x

®



thì Bl x, y

®

AB x, y

=

l



yếu trong B.



với mỗi x, y



Bx,

y

*



B x, A y

®

l



Bx yếu với mỗi x H



*



Bx, A y

=



H. Thì trong trường hợp đặc biệt,

ABx,

y



với mỗi x, y



H, và liên tục



Chú ý 3.2.2. Ta dễ thấy một nhận xét về tôpô: Nếu một hàm từ một không

gian này đến một khơng gian khác là liên tục, thì hàm đó vẫn liên tục nếu tơpơ

tại miền tạo ảnh là lớn hơn và hàm đó vẫn liên tục nếu tơpơ tại miền ảnh là

nhỏ hơn.

Định lý 3.2.7. Chuẩn (tức hàm T ® T ) liên tục đối với tơpơ chuẩn và gián

đoạn đối với các tơpơ tốn tử mạnh và tơpơ tốn tử yếu.



Chứng minh.

*) Đối với tơpơ chuẩn:

Việc chứng minh đối với tơpơ chuẩn chính là đi chứng minh bất đẳng thức

A - B £ A- B .

Chứng minh với liên tục trong A0



B(H). Chúng ta nên chứng minh: Với mỗi



> 0, tồn tại một số > 0 sao cho A A0

Cho > 0 và ta lấy

nếu A A0



<



thì A - A0 < .



= thì

< thì



A - A0



A - A0 <



lưu ý: Các chứng minh ở trên là đúng với bất kỳ một không gian định chuẩn

nào, chứ không chỉ trên B(H), bởi vì bất đẳng thức



A - B £ A - B đúng



trong bất kỳ một không gian định chuẩn nào.

*) Đối với tơpơ tốn tử mạnh và tơpơ tốn tử yếu:

Sử dụng chú ý 3.2.2.

Gián đoạn đối với tơpơ tốn tử mạnh



gián đoạn đối với tơpơ tốn tử



yếu. Vì vậy, ta phải chỉ ra gián đoạn của chuẩn đối với tơpơ tốn tử mạnh.

Chúng ta sẽ lấy một ví dụ trong đó chuẩn khơng liên tục theo



khơng liên



tục.

Lấy một không gian Hibert vô hạn chiều H. Xây dựng một dãy giảm dần

của không gian con khác không có dạng x É x1



x 2 É x3 É ... ( Điều này



É

là không thể đối với không gian hữu hạn chiều, nhưng chúng ta đang xét với

không gian vô hạn chiều), và đặt Pn là dãy toán tử chiếu (trực giao) tương

ứng.

Dãy Pn hội tụ mạnh tới 0.



Dãy các ảnh

Pn



khơng hội tụ tới 0 = 0, bởi vì dãy các ảnh

Pn



khơng đổi nó bằng 1, vì với bất kì phép chiếu trực giao nào ta đều có:



là dãy



P = P2 = PP = P*P = P 2 Þ P = P 2 Þ P = 1

*



Định lý 3.2.6. Liên hợp (tức là hàm T ® T ) là liên tục đối với tơpơ chuẩn và

tơpơ tốn tử yếu nhưng gián đoạn đối với tơpơ tốn tử mạnh.

Chứng minh.

*) Liên tục chuẩn

*



Ta chỉ cần sử dụng đẳng thức A - B* = A B



( và lấy = )



*) Liên tục yếu

Liên tục yếu được suy ra bởi đồng nhất thức

*



*



A x, y

x,(A

-



*



(A



B x, y =



*



*



B )x, y =



*



x,(A - B



*



)y



=



B)y = x, Ay

-



x, By

=



Ay, x - By, x



Mà trong bất đẳng thức trước chúng ta đã sử dụng tính chất |z| = | z | với mọi

z £.

*) Gián đoạn mạnh:

Để chứng minh gián đoạn mạnh của liên hợp, ta xét B(Ɩ 2).

Lấy U là sự chuyển dịch một phía ( một sự chuyển dịch tọa độ bên phải),

ta có: U: B(Ɩ 2)



B(Ɩ 2) sao cho



U(x0 ,x1 ,x2 ,...)= (0,x0 ,x1 ,...)



*k



và định nghĩa Ak = U , k = 1, 2, 3, ...

Chú ý rằng



*



U (x0 ,x1 ,x2 ,...)= (x1 ,x2 ,x3 ,...) (Dịch chuyển tọa độ sang trái)

*



*



Ta khẳng định Ak® 0 mạnh, nhưng dãy A k khơng hội tụ mạnh tới 0 = 0.

Thật vậy:



2



Ak (x0 ,x1 ,x 2 ,...) = (xk ,x k+ 1 ,x k+ 2

,...)



2



= ∑ xn .



2



2



Vì vậy với mỗi x thì ||Akx|| ( trong đó x = (x ,x ,x ,...)) là phần dư của chuỗi

0



2



1



2



hội tụ, vậy A x

® 0 với mỗi x, thì Ak x ® 0 với mỗi x, do đó Ak® 0

k

mạnh.



*



khơng hội tụ mạnh tới 0 = 0: Vì nếu khơng, với bất kì 0 ¹ x

A

*k



H ta



*



có A k x ® 0 mạnh, nghĩa là A*k x ® 0. Nhưng A*k x ® 0 là khơng đúng, vì

nó khơng là dãy Cauchy :

*



*



Am+ n x

n



2

m+ n



An x =



=2



(x



2



m



= U (U x x)



= U xx



=



n



m



= U (U

x)-



(U x )

m



2



2



n



U (x)

2



m



- 2 Re U x, x + x



2

m



2 Re U x, x

+

2



2



x- U

x



2



m



= x 2-



U



n



x =2

-



- Re x, U*m x



(x



m



Re U x, x

2



)



)



Ở trên ta đã chỉ ra



Am x ® 0 bằng định nghĩa U*m

x



*



rằng : Am+ n x

*



*



2



An

x



Vậy Am+ n x

-



2



® 2 x , khi m, n rt ln.

*



An

x



đ



2 x ạ 0.



đ 0. Nú ch ra



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

< e, i = 1,..., k}

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×