Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 3. CÁC LOẠI TÔPÔ THƯỜNG GẶP TRONG KHÔNG GIAN CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN VÀ QUAN HỆ GIỮA CHÚNG

Chương 3. CÁC LOẠI TÔPÔ THƯỜNG GẶP TRONG KHÔNG GIAN CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN VÀ QUAN HỆ GIỮA CHÚNG

Tải bản đầy đủ - 0trang

Tơpơ tốn tử mạnh là tơpơ yếu nhất trên B(X,Y) có tính chất làm cho tất

cả các ánh xạ Ex : B(X,Y) ® Y được xác định bởi Ex(T) = Tx là liên tục với

mọi x



X.



Một cơ sở lân cận tại gốc được cho bởi các tập có dạng:

{S | SỴ

B(X,Y),



Sx



i



Y



< e, i = 1,..., n}



Trong đó {xi }n là tập hợp hữu hạn các phần tử của X và e là một số dương.

i=

Trong tôpô này một lưới {T a } các toán tử hội tụ đến một toán t T ( Ký

Tx đ 0vi mi x ẻ X.

s

hiu là: Ta ® T ) khi và chỉ khi Ta x

Định nghĩa 3.1.3. (Tơpơ tốn tử yếu (weak operator topology))

Tơpơ tốn tử yếu trên B(X,Y) là tơpơ yếu nhất có tính chất làm cho tất cả

các ánh xạ Ex,l : B(X,Y)® £ được xác định bởi Ex,Ɩ (T) = Ɩ (Tx) liên tục với

mọi x X, Ɩ



*



Y.



Một cơ sở tại gốc được cho bởi các tập có dạng :

{S | SỴ B(X,Y), |Ɩ i(Sxj) | < e , i = 1,…,n ; j = 1,…,m}

m

n

trong đó {x } và {Ɩ j} j=

*

là các họ hữu hạn các phần tử của X và Y tương

i i=

1



ứng.

Một lưới các toán tử {Ta

}

yếu (Ký hiệu:



hội tụ đến một tốn tử T trong tơpơ tốn tử



w



Ta ® T ) khi và chỉ khi |Ɩ ( Ta x ) Ɩ ( Tx )|® 0 với mọi Ɩ



Y



*



và x X.

Chú ý 3.1.1. Chúng ta không nên nhầm lẫn giữa tơpơ tốn tử yếu trên B(X,Y)

và tơpơ yếu (khơng gian Banach) trên B(X,Y). Tơpơ tốn tử yếu là tơpơ yếu



nhất làm cho các phiếm hàm tuyến tính bị chặn có dạng Ɩ ( x) trên B(X,Y) là

*



liên tục với mọi x X và Ɩ Y . Tôpô yếu (không gian Banach) là tôpô yếu

nhất làm cho tất cả các phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên B(X,Y) liên tục.



Định lý 3.1.1. Tơpơ tốn tử yếu yếu hơn tơpơ tốn tử mạnh, tơpơ tốn tử

mạnh yếu hơn tơpơ toán tử đều.

Chứng minh.

)



Ta chứng minh hội tụ chuẩn kéo theo hội tụ mạnh.

Giả sử trong tôpô chuẩn Tn



mọi x



)



X ta có



Tn x Tx

®

-



T. Suy ra Tn

-



T ® 0 .Từ đó suy ra với



s



0 . Suy ra Tn ® T .



Hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu.

s



Giả sử Tn ® T . Suy

ra

|l(Tnx

l



Tx)| £



Mà Tn x Tx

®

Lại có |l(Tnx



Tn x Tx

®

-



0 . Mặt khác với mỗi l



với mọi x



X.



0 . Suy ra |l(Tnx Tx)|



0.



Tn x Tx



Tx)| = |l(Tnx)



l(Tx)|



0. với mọi l



*



Y và x



*

Y ta có:



X.



w



Vậy



Tn ® T .



Từ kết quả vừa chứng minh và định nghĩa 1.5.1.13. ta suy ra điều phải chứng

minh.



3.2. Các loại tôpô thường gặp trong khơng gian các tốn tử

tuyến tính bị chặn B(H) trên một không gian Hilbert.

Ở trên chúng ta vừa xây dựng khơng gian các tốn tử tuyến tính bị chặn

B(X,Y) từ không gian Banach X đến một không gian Banach Y khác. Trong

mục này ta sẽ xét một trường hợp thường gặp của khơng gian B(X,Y), đó là

khi X



Y



H trong đó H là một không gian Hilbert, được trang bị một tích



vơ hướng ×,× , thì lúc này khơng gian B(X,Y) B(H,H)



B(H) .



Có nhiều tơpơ được định nghĩa trên khơng gian B(H). Các tôpô này đều

là lồi địa phương và được định nghĩa bởi họ các nửa chuẩn.Các tôpô thường



gặp trên B(H) là tơpơ chuẩn, tơpơ tốn tử yếu và tơpơ tốn tử mạnh. Bây giờ

ta đi định nghĩa ba tơpơ đó.

Định nghĩa 3.2.1.(Tơpơ chuẩn hay tốn tử tơpơ đều hay tôpô đều)

Ta biết B(H) là một không gian định chuẩn và chuẩn đã cho sinh ra một

metric, do đó B(H) là một khơng gian metric. Vì vậy tơpơ chuẩn được định

nghĩa bởi tơpơ sinh bởi metric.

T ® 0.



Trong tơpơ chuẩn Tn® T khi và chỉ khi Tn

-



Định nghĩa 3.2.2. (Tơpơ toán tử mạnh (Strong operator topology) )

Một cơ sở con đối với tơpơ tốn tử mạnh là tập hợp các tập có dạng

O(T0, x,



B(H) : (T



)= T



T0 )x <



Ta biết một cơ sở là tập hợp tất cả các giao hữu hạn các tập hợp như vậy.

Vậy một cơ sở là tập hợp tất cả các tập có dạng

O(T0, x1, x2, … , xk,



)= T



B(H) : (T



-



T0 )

xi



< , i = 1, 2, … , k



Các khái niệm hội tụ tương ứng : Tn® T mạnh khi và chỉ khi Tnx® Tx

mạnh với mọi x



H (tức là



Tn x Tx ® 0 với mỗi x ) .

-



Tơpơ tốn tử mạnh còn được gọi là tôpô mạnh và thường được ký hiệu là

SOT.

Định nghĩa 3.2.3. (Tơpơ tốn tử yếu (weak operator topology) )

Một cơ sở con đối với tơpơ tốn tử yếu là tập hợp tất cả các tập có dạng

O(T0, x, y,



)= T



B(H): (T



T0 )x , y <



Một cơ sở đối với tơpơ tốn tử yếu là tập hợp các giao hữu hạn các tập

như vậy.



Ta có khái niệm hội tụ tương ứng: Tn ® T yếu khi và chỉ khi Tnx® Tx

yếu với mỗi x thuộc H ( Tức là:



Tn x, y ® Tx, y với mỗi x, y ).



Tơpơ toán tử yếu thường được ký hiệu là WOT.



Chú ý 3.2.1. Trong khơng gian B(H) thì ba loại tơpơ chuẩn, tơpơ tốn tử

mạnh, tơpơ tốn tử yếu đều là những tôpô được sinh bởi họ các nửa chuẩn.

Cụ thể:

Tôpô chuẩn là tôpô sinh bởi họ các nửa chuẩn T với T



B(H).



Tơpơ tốn tử mạnh là tơpơ sinh bởi họ các nửa chuẩn Tx với T

x



B(H),



X.

Tơpơ tốn tử yếu là tơpơ sinh bởi họ các nửa chuẩn Tx, y với T



x, y



B(H),



X.



Định nghĩa 3.2.4.

(i)



Tập con của một không gian véctơ tôpô là đóng yếu khi nó đóng đối



với tơpơ tốn tử yếu và nó là đóng mạnh khi nó là đóng đối với tơpơ tốn tử

mạnh.

(ii) Một hàm số được gọi là liên tục mạnh nếu nó liên tục đối với tơpơ tốn

tử mạnh, và được gọi là liên là liên tục yếu nếu nó liên tục đối với tơpơ tốn

tử yếu.

Ví dụ 3.2.1. Xét các tốn tử bị chặn trên Ɩ

(i)



2



Cho Tn được định nghĩa bởi

Tn(x1, x2,…)

=



1

n



x1 ,



1

n



x ,…

2



thì Tn® 0 trong tôpô chuẩn.

(ii) Cho Sn được định nghĩa bởi

Sn(x1, x2, …) = (0, 0, …, xn+1, xn+2, …) trong đó có n chữ số 0

Thì Sn® 0 trong tơpơ tốn tử mạnh nhưng khơng hội tụ theo tơpơ chuẩn.

(iii) Cho Wn được định nghĩa bởi

Wn(x1, x2, …) = (0, 0, …, x1, x2, …) trong đó có n chữ số 0,



thì Wn ® 0 trong tơpơ tốn tử yếu nhưng khơng hội tụ theo tơpơ tốn tử mạnh

và tơpơ chuẩn.

Định lý 3.2.1. Xét trên không gian B(H). Cho Tn là một dãy các toán tử bị

chặn và giả sử rằng (Tnx,y) hội tụ khi n ®



với mỗi x, y



H. Thì tồn tại một



w



B(H) thỏa mãn Tn ® T.



tốn tử T



Chứng minh. (Xem trong Methods of Modern Mathematical Physics, Vol.1

Functional Analysis - M. Reed and B. Simon).

Định lý 3.2.2. Hội tụ chuẩn kéo theo hội tụ mạnh và hội tụ mạnh kéo theo hội

tụ yếu.

Chứng minh.

*)



Hội tụ chuẩn kéo theo hội tụ mạnh.

Giả sử trong tơpơ chuẩn Tn



Suy

ra



Tn x Tx

®

-



*) Giả sử



0 với mỗi x

ra



s



Tn ® T . Suy

ra



Tn x, y

-



T. Suy ra Tn - T



Tx, y

=



s



H . Từ đây suy



Tn x Tx

®

-



0.

Tn ® T .



0 với mỗi x



Tn x Tx, y

=

-



(Tn T)x,

-



X. Ta lại có



với mỗi x, y



H.



0 với mỗi x, y



H.



y



Mặt khác theo bất đẳng thức schwarz:



(Tn T)x,

Suy

ra

Hay



y

Tn x, y

-



Tn x, y

®



£ (Tn

-



T)x y = Tn x Tx y

-



Tx, y ® 0



Tx,

y



với mỗi x, y



w



H. Vậy Tn ® T .



Định lý 3.2.3.(Quan hệ giữa các loại tơpơ)

Tơpơ tốn tử yếu yếu hơn tơpơ tốn tử mạnh và tơpơ tốn tử mạnh yếu

hơn tơpơ chuẩn.

Chứng minh.

Từ định lý 3.2.2. và định nghĩa 1.5.1.13. ta suy ra điều phải chứng minh.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 3. CÁC LOẠI TÔPÔ THƯỜNG GẶP TRONG KHÔNG GIAN CÁC TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH BỊ CHẶN VÀ QUAN HỆ GIỮA CHÚNG

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×