Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu

Tải bản đầy đủ - 0trang

NỘI DUNG

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trước khi tìm hiểu về các loại tơpơ thường gặp trong khơng gian các

tốn tử tuyến tính bị chặn, chúng ta cần nắm được một số kiến thức cơ bản.

Chương 1 này nhắc lại một số kiến thức cơ bản đó. Các khái niệm và kết quả

trình bày trong chương này được tham khảo ở các tài liệu [1], [2], [3],[5] và

[6].



1.1. Không gian tuyến tính

Ở mục này, ta đi nhắc lại một số kiến thức về khơng gian tuyến tính.

Những khái niệm và kết quả ở đây được tham khảo trong tài liệu [3].

Định nghĩa 1.1.1. (Khơng gian tuyến tính)

Giả sử F là trường số thực ¡ hoặc số phức £ . Tập X khác rỗng cùng

với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân với vô hướng ):

Phép cộng xác định trên X X và lấy giá trị trong X:

(x,y)



x + y ; x, y X



Phép nhân vô hướng xác định trên F´ X và lấy giá trị trong X :

( , x)



x;



F, x



X



gọi là một khơng gian tuyến tính nếu các điều kiện sau thỏa mãn :

(i)



x, y



X:x+y=y+x



(ii)



x, y, z



(iii)



x



X:x+0=x



(iv)



x



X,



x



(v)



x



X,



,



(vi)



x, y



(vii)



x



X : x + (y+ z) = (x + y) + z



F: (



X,

X,



X : x + ( x) = x

x) = (



x=0

)x



F : (x + y) = x + y

,



F:( + )x= x+ x



(viii)



x



X : 1.x = x .



Nếu F = ¡ thì X được gọi là khơng gian tuyến tính thực. Nếu F = £ thì X

được gọi là khơng gian tuyến tính phức.

Khơng gian tuyến tính thường gọi là khơng gian véctơ và các phần tử của

nó thường gọi là các véctơ.

Định nghĩa 1.1.2. ( tập lồi)

Cho X là một khơng gian tuyến tính trên trường số thực. Một tập con K

của X được gọi là lồi nếu với mỗi x, y



K thì ax + (1



a)y



K, 0



a



1.



1.2 Không gian metric

Trong mục 1.2. này ta đi nhắc lại một số kiến thức về không gian metric.

Các khái niệm và kết quả ở mục này được tham khảo trong tài liệu [1] và [3].

Định nghĩa 1.2.1. (Không gian metric, metric) Ta gọi là không gian metric

một tập hợp X ¹



cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X´ X vào tập số



thực ¡ thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1) (



x, y



X ) d(x,y)



0, d(x,y) = 0 Û x = y ; ( Tiên đề đồng nhất) ;



2) (



x, y



X ) d(x,y) = d(y,x) ; ( Tiên đề đối xứng ) ;



3) (



x, y, z



X ) d(x,y)



d(x,z) + d(z,y) ; ( Tiên đề tam giác).



Ánh xạ d gọi là metric trên X, số d(x,y) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x

và y. Các phần tử của X gọi là các điểm ; Các tiên đề 1) , 2), 3) gọi là hệ tiên

đề metric. Không gian metric kí hiệu là M = (X,d).

Ví dụ 1.2.1. Với hai phần tử bất kì x, y



¡ ta đặt : d(x,y) = |x



y|



(1)



Hệ thức này xác định một metric trên ¡ . Khơng gian tương ứng được kí hiệu

là ¡ 1 . Ta gọi metric này là metric tự nhiên.

Ví dụ 1.2.2. Ta ký hiệu l2 là tập tất cả các dãy số thực hoặc phức x = (xn

2

¥

x n hội tụ.

)n=1 sao cho chuỗi số dương ån=

1



Với hai dãy số bất kỳ x = (xn)n=1 và

d(x,y) =



¥



å



x n - yn



y = (yn )n=1 ta đặt :

2



n= 1



Hệ thức này xác định một metric trên l2. Không gian metric tương ứng kí hiệu

là l2.

Định nghĩa 1.2.2. Cho khơng gian metric M = (X,d), dãy điểm (xn)

điểm x0





X,



X. Dãy điểm (xn) gọi là hội tụ tới điểm x0 trong không gian M khi



, nếu (



> 0) ( n0



*



N)( n



lim xn = x0 hay xn® x0



n



n0) d(xn,x0) < , ký hiệu :



(n®



)



Điểm x0 còn gọi là giới hạn của dãy (xn) trong khơng gian M.

Định nghĩa 1.2.3. (Hình cầu mở, hình cầu đóng)

Cho (X, d) là khơng gian metric.

Ta gọi là hình cầu mở tâm a

S(a;r) = {x



X: d (x,a) < r};



Ta gọi là hình cầu đóng tâm a

S (a;r) = {x

(x,a)



X bán kính r > 0 tập hợp



X: d



X bán kính r > 0 tập hợp

r}.



Định nghĩa 1.2.4. (Lân cận) Cho không gian metric M = (X,d). Ta gọi là lân

cận của điểm x X trong khơng gian M mọi hình cầu mở tâm x, bán kính r >

0 nào đấy.

Định nghĩa 1.2.5. (Tập mở, tập đóng) Cho khơng gian metric M = (X,d) và

tập A X. Tập A gọi là tập mở trong không gian M, nếu điểm x A, thì tồn

tại một lân cận của x bao hàm trong A.

Tập A được gọi là tập đóng trong khơng gian M, nếu điểm x

tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A.



A, thì tồn



Định nghĩa 1.2.6. Cho không gian metric M = (X, d) và hai tập con khác rỗng

A, B của X. Tập A gọi là trù mật trong tập B, nếu với mỗi phần tử x B đều

có ( > 0) ( y A) d(y, x) < . Khi tập B = X thì tập A gọi là trù mật khắp

nơi trong không gian M (hay trong X) .

Định nghĩa 1.2.7. (không gian tách được) Không gian metric M = (X, d) gọi

là không gian tách được, nếu tập X chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi

trong khơng gian M.

Ví dụ 1.2.3. Khơng gian metric ¡



1



là khơng gian tách được.



Ví dụ 1.2.4. Không gian l2 là không gian tách được.

Định nghĩa 1.2.8. (Ánh xạ liên tục) Cho hai không gian metric X và Y (metric

trên X sẽ kí hiệu là



X



, metric trên Y sẽ kí hiệu là



Y gọi là liên tục tại điểm x0



Y



). Một ánh xạ



từ X vào



X nếu



(" e > 0)($d> 0)(" X): r X (x, x0 )< dị

xẻ





Y



(x),Ư (x0 )) < .



Cũng như trong giải tích cổ điển, điều này tương đương với :

(xn)



(x0) cho mọi dãy xn



x0 .



1.3. Không gian định chuẩn

Trong mục 1.3. này ta đi nhắc lại một số kiến thức mở đầu về không gian

định chuẩn, và các kiến thức về tốn tử tuyến tính bị chặn. Các khái niệm và

kết quả này được tham khảo trong các tài liệu [1] và [5].

Định nghĩa 1.3.1. (Không gian định chuẩn)

Ta gọi không gian định chuẩn (hay khơng gian tuyến tính định chuẩn) là

khơng gian tuyến tính X trên trường P (P = ¡ hoặc P = £ ) cùng với một ánh

xạ từ X vào tập số thực ¡ , kí hiệu là × và đọc là chuẩn thỏa mãn các tiên đề

sau :

1) ( x



X) x



0, x = 0 Û x =



( Ký hiệu phần tử không là ) ;



2) ( x



X) (



P) a x = a x ;



3) ( x, y

£



X) x + y



x + y .



Số x gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng kí kiệu khơng gian định chuẩn là X.

Định lý 1.3.1. Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai véctơ bất kỳ x, y

X ta đặt d(x,y) = x

-



y . Khi đó d là một metric trên X.



Định nghĩa 1.3.2. (Dãy hội tụ) Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X

gọi là hội tụ tới điểm x



X, nếu lim xn - x = 0.

n



Ký hiệu: xn = x hay xn ® x (n ®



).



Định nghĩa 1.3.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X

gọi là dãy cơ bản, nếu lim x n - x m = 0.

m,n

Định nghĩa 1.3.4. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X gọi là

không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Ví dụ 1.3.1. Đối với dãy số thực bất kỳ x ¡ ta đặt x = x .



(1)



Công thức này cho một chuẩn trên ¡ . Không gian định chuẩn tương ứng ký

hiệu là ¡

.



1



¡



1



là khơng gian Banach.



Ví dụ 1.3.2. Cho khơng gian véctơ l2. Đối với véctơ bất kỳ x = (xn)

x =



¥



å



xn



2



l2 ta đặt



(2)



n= 1



Cơng thức này xác định một chuẩn trên l2. Không gian định chuẩn tương ứng

ký hiệu là l2. l2 là khơng gian Banach.

Định nghĩa 1.3.4. (Tốn tử tuyến tính) Cho hai khơng gian tuyến tính X và Y

trên trường P (P là trường số thực ¡ hoặc trường số phức £ ). Ánh xạ A từ



không gian X vào khơng gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn các

điều kiện:

1) ( x, x



X) A(x + x ) = Ax + Ax ;



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Phương pháp nghiên cứu

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×