Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Phương trình vi phân vái đieu ki¾n đau

Phương trình vi phân vái đieu ki¾n đau

Tải bản đầy đủ - 0trang

Tù tính chat tuyen tính cna bien đoi Laplace ngưoc và các hàm goc đã

biet trên đây, ta nh¾n đưoc nghi¾m cna phương trình can giái là

.

.

.

.

. + L−1 .

.

.

+ 1 −1

−1

1

1

y = −L−1



1

1

L

L

1 1

2

4

s

+

2

2

s−1

s

1 3s 1

+

= −t + t

1

t

6

t

e



2

e−



2

Tong quát, phương pháp bien đoi Laplace đưoc chúng minh ó trên có the

áp dung vói phương trình vi phân tuyen tính cap n vói h¾ so hang so, nghĩa

là có the giái đưoc đoi vói phương trình

dn y



dn−1y



+ an−1 n−1 + ... + a0y = f (t)

dtn

dt

y(0) = y0, yt(0) = y1, ..., y(n−1)(0) = yn 1.

an



(3.3)







Ví dn 3.4. Giái phương trình

ytt + y = Eua(t),

y(0) = 0, yt(0) = 1.



vói đieu ki¾n đau



Lay bien đoi Laplace vói 0 ™ t < a và E (hang so) đoi vói t ≥ a ta

nh¾n

đưoc

s2L(y) − sy(0) − yt(0) + L(y) =

Ee



−as



s

Tù đó, ta có

L(y) =



−as

+ Ee



1

s2 + 1

1



s(s2 + 1)

.

s

1



.



.



=

E

Khi đó



.



s2



+1



1



.



+



s







e−as



s2 +



1

..



s



.



.



1

y = L−1 2

s +1



+ EL−1



s − s2 +

1



= sin t + Eua(t) (1 − cos(t − a))



e−as



dna vào đ%nh lý 2.8.1. Chúng ta cũng có the viet y dưói dang

.

sin t,

0™t< a

y

sin t + E (1 − cos(t − a)) , t “ a

=

Ta có chú ý rang

y(a−) = y(a+) = sin a, yt(a−) = yt(a+) = cos a



ytt(a−) = − sin a, ytt(a+) = − sin a + Ea2.

Do đó ytt(t) liên tuc.

Ví dn 3.5. Giái phương trình vi phân

.

sin t,

tt

y +y=

0,



Ta có

2 −1



¸π



(y) + L(y)



1



Tù đó ta suy ra

L(y) =



L−1



e−st sin tdt



.

.. π

−e

= (s sin t + cos t) .

.

s2 + 1

−πs

1

+ 2

= e2

.

s +

s +1

0



Sú dung ket q



π


,



y(0) = yt(0) = 0.



vói đieu ki¾n đau



s L

=



0™t™π



−st



1



+



(s2 +

2

1)



.



.



ω2



(s2 + ω2)



2



1



πs





e

.

2

+ 1)



(s2



= ωt)(sin

2ω ωt− ωt cos



và đ%nh lý 2.8.3, ta nh¾n đưoc

1

(sin t − t cos t) +

2

uπ(t)



.



y=



.



1

(sin(t − π) − (t − π) cos(t − π)) .

2



Ngoài ra ta có cách viet khác



1 (sin t − t cos t),0 ™ t < π



2

y



 − 1 π cos t,

=

t “ π.

2

Ta có bieu dien hàm



f (t) = sin t(1 − uπ(t))

= sin t + uπ(t) sin(t − π).

πs



Tù đó, ta có



3.3.



1



L(f (t)) =

+ e

.

s2 + 1 s2 + 1



Nghi¾m tong qt



Neu đieu ki¾n đau (3.1) khơng đưoc xác đ%nh cu the, thì ta van có the

sú dung bien đoi Laplace đe tìm nghi¾m tong qt cna phương trình vi

phân.

Ví dn 3.6. Giái phương trình vi phân

ytt + y = e−t,

vói đieu ki¾n đau tong qt

y(0) = y0, yt(0) = y1.

Bien đoi Laplace cá hai ve cna phương trình, ta đưoc

s2L(y) − sy(0) − yt(0) + L(y) = L(e−t).

(s + 1)(s2 + 1)



Tù đó ta suy ra

L(y) =



1



+

sy0



s2 + 1



+



y1

s2



.

+1



Sú dung đong nhat thúc ta giái ra đưoc

1

1

s−1

2

L(y) =



2 + y0 s

+

2

s2 +

1

Sú dung bien đoi ngưoc L−1, ta có

s+1



y = 1e−t + (y0

− 2



s2 +

1



1



y1



.



s2 + 1



1

) sin t.

2



) cos t +

2

(y1 +



Vói moi giá tr% cna y0, y1 ta tìm đưoc nghi¾m ta đưoc nghi¾m tong

qt cna phương trình là

1

y = c0 cos t + c1 sin t +



t



e− ,



2

ó đó c0, c1 là các hang so tùy ý. Chú ý rang −∞ < t < ∞.



3.4.



Van đe giá tr% biên



Van đe giá tr% biên cũng tuân theo phương pháp giái cna bien đoi

Laplace. Ta xét ví du sau

ytt + λy = cos λt,





vói đieu ki¾n đau

y(0) = 1, y . . = 1.

π

Sú dung bien đoi Laplace ta có

L(ytt) + λ2L(y) = L(cos λt).

Khi đó, ta có



Tù đó suy ra



s

(s2 + λ2)L(y) =

t

s2 + λ2 + sy(0) + y (0).



s



yt(0)



sy(0)



+ 2

.

L(y) = 2

+

(s + λ2 ) s2 + λ2

s + λ2

Sú dung bien đoi Laplace ngưoc ta đưoc

1

y(t) =



t sin λt + cos

λt +





yt(0)

λ



sin λt.



(3.4)



Sú dung ket quá



.

L



−1



.



s



(s2



+



ω2)



=



1



t sin ωt,





và thay giá tr% cna y(0) = 1 vào phương trình (3.4), ta nh¾n đưoc

π

1=y. .

π

yt(0)

= 2 + .

4λ λ

2

λ

Tù đó, ta nh¾n

π

đưoc

t

=

1



.

y (0

)

λ

4λ2

Lai thay vào (3.4) ta đưoc

1

π

y(t) =

4λ2

t sin λt + cos λt +−

.1

. sin λt.



Tương tn, neu có tđieu

ki¾n đau thay đieu ki¾n đau cna bài tốn bang đieu

ki¾n y(0) = 1, y .π . = 1 ta nh¾n đưoc h¾ thúc tương tn h¾ thúc (3.4) là

λ

1

yt(t)

(sin λt + λt cos λt) − λ sin λt + yt(0) cos λt.



=





Tù h¾ thúc này, ta đưoc



−π

π

1 = yt . . =

− yt(0)

λ







.

t



y (0) = − 1 +



Khi đó, nghi¾m cna phương trình là

1

y=





3.5.







t sin λt + cos λt



π.



.

π.



1



.

1+

sin λt.





λ



Phương trình vi phân vái h¾ so đa thNc



Như đã biet trong đ%nh lý 2.9.1, neu hàm f liên tuc trên [0, ∞), và có

b¾c mũ α thì

dn

L y(t)) ; (s > α),

n

n

(t

(F (s)) =

dsn

(−1)



vói F (s) = L(y(t)).

Khi n = 1, ta đưoc L(ty(t)) = −F t (s). Giá thiet thêm rang yt(t) cũng

thóa mãn các giá thiet cna đ%nh lý. Khi đó, ta đưoc

d

L(tyt(t)) =

L(yt(t))

−ds

= −sF t (s) − F (s)

Tương tn đoi vói ytt(t)

d

tt



L(ytt(t))

ds

.

d . 2

t

=−

s F (s) − sy(0) − y (0)

ds

= −s2 F t (s) − 2sF (s) + y(0).



L(ty ) = −



Trong nhieu trưòng hop, các bien đoi L (ty(t)) , L (tyt(t)), và L (tytt(t))

đưoc sú dung đe giái các phương trình vi phân tuyen tính có h¾ so đa

thúc.

Ví dn 3.7. Giái phương trình

ytt + tyt − 2y = 4; y(0) = −1, yt(0) = 0.

Bien đoi Laplace đoi vói hai ve cna phương trình, ta đưoc

s2F (s) + s − (sF t(s) + F (s)) − 2F (s) =

s

hay ta có



.

F (s) + 3

s



.



t



4



+ 1.



4

− s F (s) =



Sỳ dung ket quỏ





à(s) =

exp



s2

.



.á .



.



3 s /2

,

s ds = s e

2



3

s



ta nh¾n đưoc

Do đó



.F



/2



s /2

(s)s33e−s



=





2



.t



4



s e−



2



s2



+ s3

F (s)s3e−s2

=



/2



−4



¸



e−s

se



2



/2



.



2



−s /2



¸

/2

ds + s3e−s2 ds.



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Phương trình vi phân vái đieu ki¾n đau

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×