Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
(ii) Khai trien chuoi lũy thNa đoi vái hàm ánh

(ii) Khai trien chuoi lũy thNa đoi vái hàm ánh

Tải bản đầy đủ - 0trang

+



+ ... +



+ ...



s



Khi đó hàm goc cna nó đưoc xác đ%nh bói

a1 t

f (t) = L−1 (F (s)) = a0 +

+



sn



s2



1!



a n tn



a

2 2t

+ ... +

2!

n!



+ ...



1

Ví dn 2.15. Tìm hàm goc cna hàm F (s) = s−1 e−s . Sú dung khai trien

Taylor cna hàm ex ta.đưoc

.

1

1

1

1

1

n

...

+

(

1)

+ ...

−1 − s

1

+

s e =

− s 2! −

n!sn

s

s2

1

1

1

1

1



+

+ ... + ( 1)n

+ ...

3!

= −

2!



n!

s

1! 3

n+1

s

4

s

s

2

s

Khi đó hàm goc cna nó là

.

1.

−1 1 − s

f (t) = L

e

s

t2

t3

=1−t+



+ ... +

2

2

(2!)

(3!)

(−1)

. √ .4

2 t



= 1 − . √ .2

2 t

22



2242

(−1)



+



= J0 .2 t.



− ... +



tn



n



(n!)



n



2



+ ...



. √ .2n

2 t

+ ...

2242



Hàm J0 (.) là hm Bessel bắc 0.

(iii) Bien oi Laplace ngac cỳa mđt phân thNc hÑu tý. Nhieu úng

dung cna phép bien đoi Laplace can đen vi¾c tìm bien đoi ngưoc F (s) cna

các phân thúc huu tý có dang

F (s) =



P (s)

,

Q(s)



ó đó b¾c cna Q(s) lón hơn b¾c cna P (s) và h¾ so cna lũy thùa lón

nhat cna Q(s) bang 1. Ta viet Q(s) = (s − a)m...(s2 + ps + q)n... là

tích cna các thùa so có dang (s − a)m và (s2 + ps + q)n; vói p2 − 4p <

0. Khi đó, ta có

P

(s)



Q(s) .

1

=+

A



s−a



A2



+ ...

A



(s − a)



m



.

(s −

a)



m



+ ..

2.



... +



.



B1 s +



C1



+



s2 + ps + q)

q



B2s + C2

(s2 + ps +

2



+ ...

+



.

Bns + Cn

n

(s2 + ps + q)



Các hang so Ak, Bk, Ck tìm đưoc theo phương pháp h¾ so bat đ%nh. Do

bien đoi Laplace có tính chat tuyen tính nên đe đơn gián ta có the coi các



h¾ so Ak, Bk, Ck đeu bang 1. Vi¾c còn lai là xác đ%nh hai bien đoi Laplace

ngưoc sau.

1

(s + . Ta có



Loai thN nhat. Xác đ%nh hàm goc cna hàm F (s)

=



a)

f (t) = L



−1



.−1

(F (s)) = L



.



1



= tme−at.



m



(s + a)



s2 p

+ ps + q = .s +



.

Khi đó, neu đ¾t ω

=

p



F (s) = .s +



4q −



+



2



2



n



p2 > 0.



,

4q



4



thì ta có

p



4

.2 +



−n



ω2.



+

2



q)







p2



. ..s



.2 +



4q



. Ta viet



s+

1

2

(s + ps +



Loai thN hai. Xác đ%nh hàm goc cna hàm F (s)

=

p



m



2



.



.

p



.



.2



.





−n



.

+ ω2



+ 1 .p s +

2

2



Như the ta đã chuyen oc hm ỏnh ve mđt trong hai dang sau

sa



.

hoắc

n

2

2

.(s − a) − ω 2.

.(s − a) +

ω2.



2.8.



Các đ%nh lý bien đoi



2.8.1. Đ%nh lý (Đ%nh lý bien đoi thN nhat).

Neu F (s) = L (f (t)) vói Re(s) > 0 thì



.



. at

.

F (s − a) = L e f (t) , vói so thnc a và Re(s) > a.

(Cơng thúc bien đoi trên đây còn goi là cơng thúc chuyen d%ch).

Chúng minh. Vói Re(s) > a ta có

F (s − a) = ¸∞

e−(s−a)tf (t)dt

=



0





¸e

0



−st



.



at



.



e f (t) dt



. at

.

= L e f (t) .



2.8.2.



Các ví dn Ví dn

2.16. Bói vì



L(t) =



1



, vói Re(s) > 0



s2

nên

1

at



L(te ) = (s

a)

M®t cách tong qt



2



, vói Re(s) > a.

n!



n at



L(t e ) =



,

n+1



(s − a)

vói n = 0, 1, 2, ... và Re(s) > a. Đieu đó cho ta m®t bien đoi ngưoc

huu ích

sau

1

.

.

L

n! n+1 = t neat vói t

0. n!

(s − a)

s

Ví dn 2.17. Ta đã biet

; L (cos ωt) =

.

2

2

ω

s +ω

L (sin ωt) =

s2 + ω2



Theo đ%nh lý bien đoi thú nhat ta có

.

.

L e2t sin 3t =



3



.

2



(s − 2) + 9

M®t cách tong quát, ta có

. at

.

L e cos ωt =

a



s−



, vói Re(s) > a;



2



(s − a) +

ω ω2 , vói Re(s) > a;

at

L e sin ωt =

.



.



2



(s − a)



+

ω2



.



.



at



L e cosh ωt =

a



s−

2



, vói Re(s) > a;



(s − a) −

ω 2 , vói Re(s) > a.

L e sinh ωt =

ω

2

(s − a)



ω2

.



at



.



Ví dn 2.18.

.

L−1



.



s



.

= L−1



s2 + 4s +

1



.

s

2

(s + 2) − 3



.



.



s+2



.

2

=L

2

2

L−

(s + 2) − 3

(s + 2) − 3





−2t

−2t

sinh 3t.

=e

cosh 3t − e

√2

−1



1.







3

2.8.3. Đ%nh lý (Đ%nh lý bien đoi thN hai).

Neu F (s) = L (f (t)) vói Re(s) > 0 thì

L (ua(t)f (t − a)) = e−asF (s)

Chúng minh. Đieu đó đưoc suy tù

¸∞

¸∞

e−st [ua(t)f (t − a)]dt

e−stf (t − a)dt

a



=

0



và đ¾t τ = t − a tích phân bên ve phái tró thành

¸∞

¸∞

e−sτ f (τ )dτ = e−asF (s).

e−s(τ +a)f (τ )dτ =

e−as



0



a



2.8.4. Các ví dn

Ví dn 2.19. Xác đ%nh L (g(t)) vói hàm

.

0

khi 0 ™ t < 1

g(t)

2

(t



1)

khi t “ 1.

=

Ta có

L (g(t)) = L .u1(t)(t − 1)

. 2.

−s

=e L t

2e−s

=



s3



2



.



, vói Re(s) > 0



Đ%nh lý bien đoi thú hai cũng có the xét dưói dang ngưoc

.

.

L−1 e−asF (s) = ua(t)(t − a),

vói F (s) = L (f (t)) , a “ 0.



(2.14)



Ví dn 2.20. Tìm



.

L−1



Ta có



2s

s2 +



e−2s



L−1 s2 + 1



2.9.



.



s2 + 1



e−2s



Do đó theo (2.14) ta có

.



.



e−2s



L(sin t).



1

.



=e







= u2(t) sin(t − 2), t “ 0.



Đao hàm và tích phân cúa bien đoi Laplace



Khi s là bien phúc, bien đoi Laplace F (s) (vói các hàm thích hop) là

m®t hàm giái tích cna tham so s. Khi s là bien thnc, chúng ta có m®t cơng

thúc đoi vói đao hàm cna F (s), cơng thúc này van đúng trong trưòng hop

bien phúc.

2.9.1. Đ%nh lý (Đao hàm cúa bien đoi Laplace)

Cho f là m®t hàm liên tnc tùng khúc trên [0, ∞) có b¾c mũ α và

L (f (t)) = F (s). Khi đó

dn

n f (t)) , vói n = 1, 2, 3, ... và s > α. (2.15)

n



t



dsn



F (s) = L ((−1)



Chúng minh. Ta có

d



F (s) =

ds

d

¸∞

ds

¸∞

=



e−stf (t)dt

=

0



¸∞



0



.

.

∂ e−stf (t) dt



s



−te−stf (t)dt = L (f (t))



0



Bói vì vói bat kỳ s > α ta có the tìm đưoc m®t so x0 sao cho s ≥ x0 > α,



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

(ii) Khai trien chuoi lũy thNa đoi vái hàm ánh

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×