Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 1 Kien thNc chuan b%

Chương 1 Kien thNc chuan b%

Tải bản đầy đủ - 0trang

z−





2

i





|z|



2



1

= z.z¯;

=





|z|



2



vói z ƒ= 0.



z



So phúc khác 0 đưoc bieu dien dưói dang cnc z = r.eiθ vói r > 0, θ ∈ R

đưoc goi là argument cna so phúc z(argument cna so phúc z đưoc xác đ%nh

m®t cách duy nhat vói sn sai khác m®t b®i cna 2π) và eiθ = cos θ + i

sin θ.



Bói vì .e

. .. = 1 nên r = |z| và θ là góc hop bói chieu dương cna truc Ox

và núa đưòng thang xuat phát tù goc toa đ® đi qua điem z. Cuoi cùng, ta

lưu ý rang neu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ).



1.2.

1.2.1.



M®t so van đe cơ bán ve phương trình vi phân

Đ%nh nghĩa



Phương trình vi phân là m®t phương trình chúa hàm can tìm và các

đao hàm cna nó. Neu hàm can tìm chí phu thuđc mđt bien đc lắp, thỡ

phng trỡnh ú oc goi là phương trình vi phân thưòng. Neu hàm can

tìm phu thuđc hai hoắc nhieu bien đc lắp thỡ phng trỡnh đưoc goi là

phương trình vi phân đao hàm riêng.

Trong khóa lu¾n này, chúng tơi chí xét phương trình vi phân thưòng.

Như v¾y phương trình vi phân thưòng có dang tong quát

F .x, y, yt, ytt, ...y(n). = 0,



(1.1)



trong đó F là hàm xác đ%nh trong m®t mien G nào đó cna khụng gian Rn+2

gom bien đc lắp x v y l hm cna bien đc lắp cựng cỏc ao hm cap

m®t đen cap n cna nó. Cap cna m®t phương trình vi phân thưòng đưoc

xác đ%nh bói cap cao nhat cna đao hàm xuat hi¾n trong phương trình đó.

Neu tù phương trình (1.1) ta tìm đưoc bieu dien cna đao hàm cap cao nhat

y(n) qua các bien còn lai, thì ta nói phương trình giái ra đưoc đoi vói y(n)

ho¾c còn goi phương trình dang chính tac, túc là phương trình (1.1) có

dang dưói đây



y(n) = f .x, y, yt, ..., y(n−1). .



(1.2)



Nghi¾m cna phương trình (1.1) cũng như (1.2) là hàm y = y(x) khá vi

n lan trên khoáng (a, b) nào đó thóa mãn các phương trình đó vói moi

x thu®c khống (a, b). Đưòng cong y = y(x), x ∈ (a, b) goi là đưòng

cong tích phân cna phương trình đã cho. Đe giái phương trình vi phân ta

cũng dùng thu¾t ngu “tích phân phương trình vi phân” vì lý do này.

1.2.2.



Bài tốn Cauchy



Bài tốn tìm nghi¾m y = y(x) cna phương trình (1.2) xác đ%nh trên

khống (a, b) nào đó thố mãn đieu ki¾n

y0 = y (x0) , 0 = yt (x0) , ..., y

yt



(n−1)



= y(n−1) (x0) ,



(1.3)



0



đưoc goi là bài tốn Cauchy. Đieu ki¾n (1.3) đưoc goi là đieu ki¾n đau.

1.2.3.



Van đe ton tai và duy nhat nghi¾m cúa phương trình vi

phân



é đây, chúng tơi chí giói thi¾u ve van đe ton tai và duy nhat nghi¾m

cna phương trình vi phân. Vi¾c chúng minh đ%nh lý này, chúng ta có the

tham kháo trong tài li¾u đưoc trích dan [1].

Đ%nh lý 1.1. (Ton tai duy nhat nghi¾m) Cho phương trình vi phân cap n

dang chính tac

y(n) = f .x, y, yt, ..., y(n−1).

Neu ve phái cúa phương trình trên là m®t hàm liên tnc cúa n + 1 bien

trong m®t mien nào đó cúa Rn+1 chúa điem .x0, y0, yt 0 , ...,

y

đao hàm riêng



(n−1

)

0



. và



các



∂f ∂f

∂f

,

,

...

∂y ∂yt ,

∂y(n)



liên tnc thì ton tai m®t khống (a, b) chúa điem x0 đe trên khoáng này

ton tai và duy nhat m®t hàm y = y(x) khá vi n lan trên khống đó và

thóa mãn đieu ki¾n đau (1.3).



Chương 2

Bien oi Laplace

2.1.

2.1.1.



Mđt so khỏi niắm

%nh ngha



Giỏ sỳ f l hàm bien thnc ho¾c phúc cna bien t > 0 và s là tham so

thnc ho¾c phúc. Bien đoi Laplace cna hm f oc xỏc %nh v ký hiắu búi

á

F (s) = L (f (t))

=



τ



e−stf (t)dt = lim

0



τ→∞



¸



e−stf (t)dt.



(2.1)



0



Bien đoi Laplace cna hàm f (t) đưoc goi là ton tai neu tích phân (2.1)

h®i tu trong m®t mien nào đó. Trưòng hop tích phân trên phân kỳ thì ta

nói khơng ton tai bien đoi Laplace xác đ%nh đoi vói hàm f .

Ký hi¾u L(f ) đưoc sú dung cho bien đoi Laplace cna hàm f , và tích

phân trên là tích phân Riemann thơng thưòng vói c¾n vơ t¾n. Hàm F (s)

đưoc goi là hàm ánh cna bien đoi Laplace. Phép bien đoi Laplace đưoc

goi là thnc hay phúc neu bien so s cna hàm ánh F (s) là thnc hay phúc.

Tham so s thu®c m®t mien nào đó trên đưòng thang thnc ho¾c trong m¾t

phang phúc. Chúng ta se chon s thích hop sao cho tích phân (2.1) h®i tu.

Trong tốn hoc cũng như trong ky thu¾t, mien cna bien s đóng m®t vai

trò het súc quan trong. Tuy nhiờn, trong mđt trũng hop ắc biắt, khi cỏc

phng trỡnh vi phân giái đưoc, mien cna tham so s thưòng khơng can xét

đen. Khi bien s là phúc ta thưòng sú dung ký hi¾u s = x + iy. Ký hiắu

L l bien oi Laplace, nú tỏc đng lờn hm f = f (t) và sinh ra m®t hàm

mói theo bien s là hàm F (s) = L (f (t)).



2.1.2. Các ví dn

Ví dn 2.1. Neu f (t) ≡ 1 vói moi t ≥ 0, thì

. −st =

. −sτ

¸∞ −st

.

e

lim

e

e

.1dt

=

1 .

.τ .

+

L (f (t))

τ→∞

..

s



lim

=

τ→∞

−s .0

s

0



(2.2)



Trưòng hop s là so thnc dương thì ta nh¾n đưoc ngay

1

L(1) = , s > 0.

(2.3)

s

Neu s ≤ 0 thì tích phân se phân kỳ và dĩ nhiên khơng có lòi giái cna bien

đoi Laplace.

Neu s là1bien phúc vói Re(s) > 0 thì bang tính tốn tương tn ta cũng có

L(1) = . Thnc v¾y, đe có the kiem tra tính tốn trên đây, ta can đen

công



s

thúc Euler





e = cos θ + i sin θ, θ thnc.

(2.4)



Dĩ nhiên, ta có .e . = 1. Chúng ta can chúng tó (có the bó qua đi dau trù

. .

cũng như nhung c¾n lay tích phân đe đơn gián hóa sn tính tốn)

¸ estdt =



st ,



(2.5)



s

vói so phúc tùy ý s = x + iy khác 0. Đe thay đieu này, theo cơng

thúc Euler chúng ta có nh¾n xét rang

¸

¸

¸

xt

xt

e(x+iy)tdt = e cos ytdt + e sin ytdt.

¸

st

i

e dt =

Tích phân tùng phan đoi vói hai tích phân trờn ta nhắn oc

st



á e dt =



xt



x2 + y2



[(x cos yt + y sin yt) + i (x sin yt − y cos

yt)] .



Ta bieu dien ve phái cna (2.5) như sau



xt

e(x+iy) = e (cos yt + i sin yt) (x − iy)

t

t

x2 + y2

=

x+

s

iy

xt

= 2e

x + [(x cos yt + y sin yt) + i (x sin yt − y cos yt)] .



es



y2



Như v¾y đang thúc (2.5) đưoc chúng minh.

Thêm nua, chúng ta cũng thu đưoc đang thúc (2.3) vói tham so phúc s

neu lay Re(s) > 0. Bói vì

.

.

lim e−sτ =

lim

.

.

τ→∞



τ→∞



.

.

e−xτ e−iyτ =

.

lim .



e−xτ = 0,

τ→∞



nên ta nh¾n đưoc giói han trong (2.3).

Sú dung ket quá trên đây, chúng ta có the tính đưoc L (cos ωt) và L (sin

ωt), vói ω là so thnc.

Ví dn 2.2. Trưóc het ta tính



e(iω−s)t



¸∞

.



L e

=



.

iωt



e



−st iωt



e



.



dt = lim

τ→∞







.

iω − s .



1

=

s − iω



0

0



Bói vì x = Re(s) > 0 nên

lim

.



.



1



.

τ→∞



.

eiωte−sτ =

.

.

lim



e−xt = 0. Tương tn ta tính

τ→∞



đưoc L e−iωt =

. Sú dung tính chat tuyen tính cna phép bien đoi

s + iω

Laplace L và các tích phân là tốn tú tuyen tính, ta suy ra

. iωt

.

.

= L (cos ωt) .

e +

L eiωt + L

.

.

.

−iωt

−iωt

e

e

=L

2

2

Do đó

L (cos ωt) =



1



.



s



+



1

2

Hồn tồn tương tn

1 1

L (sin ωt) =

.



.



1



s−





1



.



(2.6)



=

s + iω

.



=



ω



s2 + ω2

2i



s − iω







(Re(s) > 0) .

s+







(2.7)



s2 + ω2



Bien đoi Laplace cna các hàm đưoc xác đ%nh trong m®t phân đoan đưoc

sú lý de dàng như sau

Ví dn 2.3. Cho hàm



.t

f (t)

=



khi 0 ™ t ™ 1

1



khi t > 1



Tù đ%nh nghĩa



¸∞

L (f (t))

=



e−stf (t)dt



0



1



.1

¸ −st



= te−st .. +1 e dt +

e−st.

lim

.

τ→∞ −s .

−s .0 s

1

1e

=

s2



2.2.



0



s



(Re(s) > 0)



SN hđi tn



Mắc dự toỏn tỳ Laplace có the áp dung cho m®t so khá r®ng các hàm,

nhưng có nhieu hàm mà tích phân (2.1) khơng h®i tu. Chang han, vói hàm

f (t) = e(t2) ta có

τ



lim

τ→∞



¸



¸τ

t

e−ste 2 dt = lim et2 −stdt = ∞,

τ→∞



0



0



vói moi cách chon cna bien s vì tích phân khơng b% ch¾n khi τ → ∞.

Đe có the nghiên cúu sâu hơn ve bien đoi Laplace, chúng ta can phân bi¾t

hai dang h®i tu cna tích phân Laplace

2.2.1.



Đ%nh nghĩa



Tích phân (2.1) hay bien oi Laplace oc goi l hđi tu tuyắt oi neu

ton tai giói han



.τ −st

.

lim ¸ e. f (t) . dt.



0



Neu L(f (t)) hđi tu tuyắt oi, thỡ

..á r

..

. −st

.

. e f (t)dt. ™

lim

.

.

.



τ



.



τ→∞



¸τ r .

.

.e−stf (t). dt → 0,

τ



khi τ → ∞, vói moi τ t > τ . Đieu đó suy ra rang L(f (t)) cũng h®i tu theo



nghĩa thơng thưòng như trong đ%nh nghĩa (2.1).



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 1 Kien thNc chuan b%

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×