Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Phương pháp nghiên cNu

Phương pháp nghiên cNu

Tải bản đầy đủ - 0trang

Chương 1

Hàm vái bien phân b% ch¾n

Cho khống I ⊂ R. T¾p hop các hàm đơn đi¾u u : I → R khơng

là khơng gian vectơ, vì nói chung, hi¾u cna hai hàm đơn đi¾u thì khơng

đơn đi¾u.

Trong chương này, chúng ta se mơ tá khơng gian véc tơ nhó nhat các

hàm u : I → R chúa tat cá các hàm đơn đi¾u.



1.1.



Bien phân theo tNng điem

Cho khống I R. Mđt phõn hoach cna I l mđt tắp P :=



{x0, x1, ..., xn} ó đó, x0 < x1 < ... < xn.

Đ%nh nghĩa 1.1. Cho khoáng I ⊂ R và hàm u : I → R.

Bien phân theo tùng điem (goi tat là bien phân) cúa u trên khống I là

giá tr%:



n



Varu := sup,



.



,

|



−1)|



(1.1)



u(xi) − u(xi

i=1



trong đó, c¾n trên đúng đưoc lay trên tat cá các phân hoach P :=

{x0, x1, ..., xn} cúa I, n ∈ N.

Hàm u : I → R đưoc goi là có bien phân huu han ho¾c bien phân b%

ch¾n neu Varu < ∞.

7



8



Không gian tat cá các hàm u : I → R vói bien phân b% ch¾n đưoc

kí hi¾u là: BV P (I).

Nhắn xột 1.2. Chỳ ý rang, neu mđt trong các điem đau mút, chang

han b := supI ∈ I thì trong đ%nh nghĩa cúa Varu, ta chs can xét

nhung phân hoach có xn = b. Th¾t v¾y, neu P := {x0, x1, ..., xn}

là m®t phân hoach vói xn < b thì P r := {x0, x1, ..., xn, b} cũng là

m®t phân hoach cúa I và

n



.

i=

1



n



|u(xi) − u(xi−1)| . |u(xi) − u(xi−1)| + |u(b) − u(xn)| ≤



Varu

i=

1



Đe nhan manh sn phu thu®c vào khống I, chúng ta thưòng kí

hi¾u VarI u.

Neu khống I suy bien túc là inf I = supI thì ta viet VarI u =

0.

Hàm u : I → R đưoc goi là có bien phân huu han đ%a phương

ho¾c bien phân b% ch¾n đ%a phương neu Var[a,b] u < ∞, ∀[a, b] ⊂ I.

Không gian tat cá các hàm u : I → R có bien phân b% ch¾n đ%a

phương đưoc kí hi¾u là BP Vloc (I).

Neu I = [a, b] thì BP Vloc ([a, b]) = BP V ([a, b]).

Neu Ω ⊂ R là mđt tắp mú thỡ ta cú the viet nh hop đem

đưoc các khống mó đơi m®t ròi nhau:

[

Ω=

In

n



Khi đó, bien phân cna u : Ω → R đưoc đ%nh nghĩa bói:

.

Varu :=

Var

I u

n

n



và u đưoc goi là có bien phân b% ch¾n trong Ω neu Varu < ∞.

Khơng gian tat cá các hàm u : Ω → R có bien phân b% ch¾n

cũng đưoc kí hi¾u là: BP V (Ω).



Neu u : I → Rd thì ta đ%nh nghĩa bien phân cna u giong như Đ%nh

nghĩa 1.1 nhưng giá tr% tuy¾t đoi bây giò đưoc thay the bói chuan trong

Rd .

Không gian tat cá các hàm u : I → Rd có bien phân b% ch¾n

(bien phân b% ch¾n đ%a phương) đưoc kí hi¾u là BP V (I; Rd)(tương

úng,

BP Vloc (I; Rd)).

Sau õy l mđt so bi tắp:

Bi tắp 1.3. (i)Neu u : [a, b] → R khá vi khap nơi và đao hàm ur

cúa nó b% ch¾n thì u ∈ BP V ([a, b]).

(ii)Neu u : [a, b] → R khá vi khap nơi và ur khá tích Riemann thì u



BP V ([a, b]) và

Varu =



¸



b



|ur(x)| dx.



a



Đoi chieu vói đ%nh lý Katznelson-Stromberg dưói đây.

Bài t¾p 1.4. Cho u : [0, 1] → R đưoc đ%nh nghĩa bói:

.

neu 0 < x ≤ 1,

x

u(x) :=

1b

a

x .sin

0

neu x = 0.

trong đó a, b ∈ R. Vói giá tr% nào cúa a,b hàm u có bien phân b%

ch¾n. Chúng minh rang ton tai các giá tr% a, b sao cho vói a, b đó u

có bien phân b% ch¾n nhưng ur khơng b% ch¾n.

Bài t¾p 1.5. Cho u, v ∈ BP V ([a, b]).Chúng minh rang:

(i)u ± v ∈ BP V ([a, b]).

(ii) u · v ∈ BP V ([a, b]).

(iii) Neu v(x) ≥ c > 0, ∀x ∈ [a, b] và vói c > 0v ∈ BP V ([a, b]).

thì



u



(iv)Đieu gì se xáy ra neu ta thay the [a, b] bói mđt khoỏng bat k I

R

(cú the khụng b% chắn)?



Chỳng ta chuyen sang m®t vài tính chat chung cna hàm vói bien

phân b% ch¾n.



M¾nh đe 1.6. Cho khống I ⊂ R và hàm u : I → R. Khi đó ta có

(i)Vói moi c ∈ I,

sup |u(x)| ≤ |u(c)| + Varu.

x∈I



Do đó, neu u ∈ BP V (I) thì u b% ch¾n.

(ii)Neu c ∈ I, thì

VarI∩(−∞,c] u + VarI∩[c,∞)u = Varu.

(iii)Neu I khơng chúa đau mút phái cúa nó thì

lim

x→(supI)







VarI∩(−∞,x] u = Varu.



Đong thòi,neu I khơng chúa đau mút trái cúa nó thì

lim

x→(inf I)



+



VarI∩[x,∞)u = Varu.



Chúng minh. (i)Co đ%nh c ∈ I. Vói moi x ƒ= c, xét phân hoach P

:=

{c, x}. Khi đó

|u(x)| ≤ |u(c)| + |u(x) − u(c)| ≤ |u(c)| +

Varu,

và vì

v¾y



sup |u(x)| ≤ |u(c)| + Varu.

x∈I



(ii)Goi I1 := I ∩ (−∞, c] và I2 := I ∩ [c, +∞). Giá sú P := {x0, x1,

..., xn}

và Q := {y0, y1, ..., ym} là phân hoach cna I1 và I2. Theo Nh¾n xét

1.2 ta có the giá sú rang xn = y0 = c. Khi đó, P ∪ Q l mđt phõn

hoach cna I v vỡ vắy

n



.

i=1



m



|u(xi) u(xi−1)| . |u(yi) − u(yi−1)| ≤ Varu.

+

i=

1



Đau tiên, lay c¾n trên đúng trên tat cá các phân hoach P cna I1 sau đó

lay trên tat cá các phân hoach Q cna I2 ta có ket quá:

VarI1 u + VarI2 u ≤ Varu.



Đáo lai, giá sú P := {x0, x1, ..., xn} là m®t phân hoach cna I. Lay

m ∈ {1, 2, ..., n} sao cho xm−1 ≤ c ≤ xm. Khi đó, P1 := {x0, x1, ...,

xm−1, c}

và P2 := {c, xm, ..., xn} tương úng là các phân hoach cna I1 và I2, do

đó

n



.

i=

1



m−



|u(xi) − u(xi−1)| 1 |u(xi) − u(xi−1)| + |u(xm) ± u(c) −

.

=

u(xm−1)|

i=

1



n



.



+



|u(xi) − u(xi−1)|



i=m

m−1 +1







.



|u(xi) − u(xi−1)| + |u(c) − u(xm−1)|



i=1



+ |u(xm) − u(c)|



n

.



|u(xi) − u(xi−1)|



i=m

+1



+

≤ VarI1 u + VarI2 u.



Lay c¾n trên đúng trên tat cá các phân hoach P cna I, ta có

Varu ≤ VarI1 u + VarI2 u.

(iii) Theo phan (ii), ta chí can xét trưòng hop Varu > 0. Giá sú I

khơng chúa đau mút phái (các trưòng hop khác cna nó tương tn) và co

đ%nh 0 < t < Varu. Theo Đ%nh nghĩa cna Varu ta có the tìm m®t

phân hoach P := {x0, x1, ..., xn} cna I sao cho

n



t<



.



|u(xi) −



u(xi−1)|.

i=

1



Vói moi x ∈ (xn, supI), ta có P là mđt phõn hoach cna I (, x|,

v vỡ vắy theo phan (ii),

n.

t<

|u(xi) − u(xi−1)|

,x ≤ Varu.

≤ VarI (

i=1



Cho x → (supI)−, ta có



t≤



∩ −∞ |



lim

x→(supI)







VarI∩(−∞,x] u ≤ Varu,



do hàm x ∈ I ›→ VarI∩(−∞,x] u là hàm tăng (theo phan (ii)). Bây giò

cho

t ƒ Varu, ta có đieu phái chúng minh.

Nh¾n xét 1.7. Lay I = [a, b], vói a < b, theo M¾nh đe 1.6 (ii) vói

moi

c ∈ [a, b], ta có

Var[a,c] u + Var[c,b] u = Var[a,b] u.

Bài t¾p 1.8. Cho khống I ⊂ R và u ∈ BP V (I). Chúng minh

rang, neu I chúa điem mút phái b := supI và u liên tnc trái tai b thì

lim Var

I∩(−∞,x] u = Varu.



x→b



Ví dn 1.9. Hàm u(x) := sinx, x ∈ R là hàm b% ch¾n và thu®c

BP Vloc (R)

nhưng khơng thu®c BP V (R) (vì sao?)

Tiep theo chúng ta nghiên cúu moi quan h¾ giua hàm đơn đi¾u và

hàm có bien phân b% ch¾n.

M¾nh đe 1.10. Cho khoáng I ⊂ R và hàm u : I → R là hàm đơn

đi¾u. Khi đó, vói moi khống J ⊂ I,

VarJu = sup u + inf u.

J



J



Nói riêng, u ∈ BP Vloc (I). Hơn nua, u ∈ BP V (I) neu và chs neu nó b

%

ch¾n.

Chúng minh. Giá sú rang u là hàm tăng và khoáng J ⊂ I. Khi đó, vói

moi phân hoach P := {x0, x1, ..., xn} cna J ta có,

n



.

i=1



n



|u(xi) − u(xi−1)| . (u(xi) − u(xi−1))

=

i=

1



= u(xn) − u(x0) ≤ sup u − inf u.

J



J



Lay c¾n trên đúng trên tat cá các phân hoach cna J cho ket quá,



VarJu ≤ sup u − inf u.

J



J



Đe chúng minh bat đang thúc ngưoc lai (V arJ u ≥ supJ u − infJ u),

ta

chí can xét trưòng hop J là t¾p khơng suy bien. Xét phân hoach

P := {a, b} ⊂ J , vói inf J ≤ a < b ≤ supJ . Khi đó,

u(b) − u(a) = |u(b) − u(a)| ≤ VarJu.

Neu supJ ∈ J thì lay b = supJ , ta có u(b) = supJ u, neu

supJ



∈/ J thì



cho b ƒ supJ , ta có u(b) → supJ u.

Bi¾n lu¾n tương tn cho điem đau mút trái, ta có

sup u − inf u ≤ VarJu.

J



J



Ta có đieu phái chúng minh.

Hàm V đưoc giói thi¾u trong đ%nh lý sau đây đ¾c bi¾t quan trong

trong phan tiep theo.

Đ%nh lí 1.11. (Bien phân bat đ%nh)

Cho khống I ⊂ R, điem x0 ∈ I và hàm u ∈ BP Vloc (I).Vói moi x ∈

I, đ%nh nghĩa:



.

V (x) :=



Var[x ,x]u

≥ x0 ,

0



(1.2)



neu x



−Var[x,x0 ] u neu x <

x0 .

Khi đó, vói ∀x, y ∈ I, vói x < y, ta có

|u(y) − u(x)| ≤ V (y) − V (x) = Var[x,y] u.



(1.3)



Nói riêng, ta có V và V ± u là các hàm tăng.

Chúng minh. Co đ%nh x, y ∈ I, vói x < y. Theo Nh¾n xét 1.7,

 Var[x ,y]u



0

0



− Var[x



,x]u



= V(y) − V(x) neu x0 ≤ x <



y,



Var[x,y] u : Var

[x,x0 ] u − Var[y,x0 ] u =−V(x) + V(y)

=

 ≤ x0 ,



neu x < y







Var[x,x0 ] u + Var[x0 ,y] u =−V(x) + V(y)

x0 ≤ y.



neu x ≤

(1.4)



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Phương pháp nghiên cNu

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×