Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu

Tải bản đầy đủ - 0trang

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1

TÍNH CHẤT TỪ CỦA ĐIỆN TỬ TỰ DO TRONG KIM LOẠI

1.1. Khí điện tử tự do trong kim loại

1.1.1. Lý thuyết cổ điển về khí điện tử của Drude Mơ

hình Drude - Lorentz:

- Kim loại gồm các ion dương nằm ở nút mạng.

- Các điện tử hóa trị tách khỏi nguyên tử và chuyển động tự do trong kim loại

tạo thành khí điện tử tự do.

Theo Drude các êlectron dẫn điện trong kim loại như các hạt cổ điển

chuyển động tự do trong “hộp tinh thể” và có thể dùng thuyết động học phân

tử để mơ tả tính chất của nó dựa trên các giả thuyết sau:

- Các điện tử chuyển động luôn bị va chạm.

- Giữa các va chạm, các điện tử chuyển động tuân theo các định luật của

Newton.

- Thời gian bay tự do trung bình  của các điện tử không phụ thuộc vào vị trí và

vận tốc của nó.

- Khi va chạm vận tốc của điện tử bị thay đổi đột ngột  cơ chế chính làm các

điện tử cân bằng nhiệt với mơi trường xung quanh hay trở lại trạng thái cân

bằng khi ngừng tác dụng ngoại lực.

Khi khơng có điện trường: êlectron chuyển động nhanh và thường xuyên

thay đổi chiều.

Khi có điện trường:

- Vẫn có sự chuyển động hỗn loạn.

- Thêm chuyển động trung bình có hướng theo phương của điện trường.

Trong điện trường êlectron có hai loại vận tốc vT



và vd . Vì

vd



<<

vT



nên



chuyển động có hướng của tập thể êlectron khơng ảnh hưởng đáng kể đến thời

gian bay tự do  .





Khi đặt lên một vật dẫn điện một điện trường E thì các điện tử tự do trong



kim loại chịu tác dụng của lực điện trường chuyển động có hướng với vận tốc

trung bình vd ( vận tốc cuốn).

Do đó trong vật sẽ xuất hiện một dòng điện có mật độ tuân theo định luật

Ohm:







j  



(1.1)



( là độ dẫn điện riêng của vật dẫn).

Lực điện trường tác dụng lên điện tử là:







Fe   eE .



(1.2)



Mặt khác trong quá trình chuyển động các điện tử ln bị tán xạ trên mạng

tinh thể  lực ma sát có dạng :





Fms  1

mv .





(1.3)



Theo định luật II Newton ta có:







F

Fe  m  ma



(1.4)



s



eE 



1

mv









m



dv

dt



.



(1.5)



Chọn điều kiện ban đầu t  0 : v  0



 0 ta có phương trình có dạng:



  

eE

1 .

v

( 1.6)

1 exp



m

  



(1.7)

Ban đầu v  0  0  Fms  0 .



Dưới tác dụng của lực Fe vật chuyển động nhanh dần  v tăng dần cho



đến khi ổn định thì:







Fe  Fms  0 .



(1.8)



Khi đó điện tử chuyển động đều với vận tốc vd

1



  eE .

mvd



eE

.



vd  

m



(1.9)

(1.10)



Ta có:

J  neevd  n e

e



eE

m



 ne



e 2 E

m



,



(1.11)

e



.



(1.12)



(  gọi là độ linh động của điện tử,  là thời gian hồi phục, ne



là nồng độ



mặt khác



E



 ne  nee



với  



m



J

điện tử.)

Coi các điện tử tự do trong kim loại như khí điện tử thì vận tốc nhiệt vT

các điện tử được tính theo cơng thức:

1

3

mv 

kT .

2

T

2

 Ý nghĩa của  :



của



(1.13)



-  có thứ nguyên của thời gian đặc trưng cho tốc độ thiết lập cân bằng của hệ.

-  có thể coi là thời gian tung bình giữa hai lần va chạm của điện tử hay thời

gian tự do trung bình của điện tử.

-  phụ thuộc vào vận tốc chuyển động nhiệt vT



 càng nhỏ.

-  không phụ thuộc vào vận tốc cuốn vd



của điện tử, vT càng lớn thì



của điện tử, tức là khơng phụ



thuộc vào điện trường ngồi. Do đó độ dẫn điện  nói chung khơng phụ

thuộc vào điện trường ngồi.

-  càng nhỏ thì hệ nhiễu loạn trở về cân bằng càng nhanh.



8



-  bằng thời gian mà sau đó vd



giảm e  2,718 lần và được gọi là thời



gian hồi phục.

Bằng thực nghiệm người ta đo được  (dựa vào định luật Ohm)











15

s .

1014  10  



(1.14)



Quãng đường bay tự do trung bình của điện tử là  .

Ta có:

Trong đó

vT



  vT .



(1.15)



 107 cm s ,   1014  1015  s .



(1.16)



o



  10 A .







(1.17)



Thực nghiệm cho thấy:

Ở nhiệt độ thấp lớn hơn ở nhiệt độ phòng  các tinh thể kim loại tinh khiết

o



 lớn hơn nhiều kích thước A .



 



Ví d ụ Đồng rất sạch:  4 K



  3.109 s ;



v  1,5.108 cm s



loại khác ở nhiệt độ

4 K



 105  300K 

   4 K 



 v



(1.18)

 0, 45 cm , một số kim



có  □ 10 cm .



Nếu coi tán xạ chính của êlectron là do mạng tinh thể thì  □ angstron

 khơng phù hợp với kết quả thực nghiệm  mơ hình Drude chưa phù hợp

với thực nghiệm.

- Ở nhiệt độ cao: Thực nghiệm cho thấy ở nhiệt độ cao  □



1

T



lý thuyết cổ điển 



còn theo



□ T 3 2 .



 thuyết cổ điển không phù hợp với thực nghiệm.

 Sự dẫn nhiệt của khí điện tử

Điện tử trong kim loại vừa là hạt tải điện vừa là hạt tải nhiệt. Wiedemam và

Frauz bằng thực nghiệm và Lorentz bằng lý thuyết đã thiết lập được công

thức liên hệ giữa hệ số dẫn điện  và hệ số dẫn nhiệt K như sau:



K







 LT .



(1.19)



Trong đó L = hằng số = số Lorentz.

Ví dụ: sự phụ thuộc của hệ số dẫn nhiệt K vào độ dẫn điện  của một số

kim loại ở



20 C







được thể hiện qua đồ thị sau:



K







1 1



WK m 



300

Al



200



Mg

Ni



100

Pd



Hg



0 10



40  106 1m1 



30



20



2



L là một hằng số 2,3.108 bằng watt. / độ .

Hình 1.1. Sự phụ thuộc của hệ số dẫn nhiệt K vào độ dẫn điện 

Theo thuyết động học phân tử:

1

K  c



 v  



3



v 

3 2 



v



1



K





K







1 3 



2





2



3k  T

 B

2e



(1.20)



v  



nk

B T



T



2



nk v  .



(1.21)



B B



 L



2



3  kB 

2e



.



(1.22)



Nhận xét:

+ Giá trị của L theo công thức trên tương đối phù hợp với thực nghiệm. Với

kết quả này nên thuyết Drude được chấp nhận trong lịch sử phát triển của lý

thuyết kim loại.

+ Tuy nhiên, theo thuyết này

CV



lấy từ kết quả của cổ điển (đã không phù



hợp thực nghiệm)  kết quả trùng hợp của L là ngẫu nhiên, quãng đường tự

do trung bình theo thuyết Drude rất nhỏ (angstron) với thực nghiệm (cm), còn

nhiệt dung của khí điện tử tự do theo thuyết rất lớn so với thực nghiệm.

1.1.2. Lý thuyết lượng tử về khí điện tử

Đặc trưng của kim loại là độ dẫn điện tốt. Điều này chứng tỏ các điện tử

trong kim loại bị tập thể hóa và có thể chuyển động tự do trong mạng kim loại

từ nguyên tử này sang nguyên tử khác.

Trong gần đúng bậc nhất tính chất của điện tử có thể coi như tính chất của

khí lý tưởng mà các hạt là các điện tử khơng tương tác nhau. Chất khí đó bị

giữ lại không đi ra khỏi kim loại bởi các lực điện ở biên giới kim loại. Như

vậy các điện tử chuyển động trong không gian giới nội và theo các nguyên lý

tổng qt của cơ học lượng tử thì nó bị lượng tử hóa, tức là các hạt khơng thể

có các trạng thái lượng tử gián đoạn.

Xét bài toán một điện tử, từ đó suy ra các điện tử còn lại. Phương trình

Schrodinger có dạng:

2   2   2

2

 2m  x2

y









2 

z2



 k  r 





 k k  r  .



(1.23)



Hàm sóng phải thỏa mãn điều kiện biên tuần hoàn nghĩa là nếu giả thiết

các điện tử bị giới hạn trong một hình hộp có cạnh là L thì:



 (x  L, y, z) = 



(x, y, z)



 (x, y  L, z) =  (x, y, z)

 (x, y, z  L) =  (x, y, z) .



Để thỏa mãn phương trình

Schrodinger



với điều kiện biên tuần hồn như



vậy, hàm sóng phải có dạng sóng chạy phẳng:

kr e .







(1.24)



ikr



Trong đó k là véctơ sóng và nhận các giá trị gián đoạn:

k 

x



2n ,

ky

L







2n







,k



2n

L



L



,



1.25)



z



ở đây n  0, 1, 2...tức là tổ hợp bất kì của véctơ k có dạng



2n

L



. Các thành



phần của véctơ k chính là các số lượng tử mà cùng với số lượng tử ms



cho



biết phương của spin sẽ xác định trạng thái của điện tử. Dễ chứng minh được

rằng với các giá trị

ki



(i = x, y, z) như thế, điều kiện biên tuần hoàn được thỏa



mãn.

Đặt  k r 

 eikr vào phương trình

Schrodinger

e

2 r2 2

2m

  ke

ikr



2

 ike ik   k e

2m

ikr







Đây là giá trị riêng  k



ta có:



k =



 2

2m



k



2



=

+



(1.26)

ikr



(1.27)

ikr



 2( 2

2m k x



2



k y + k z ).



của các trạng thái véctơ sóng k



Ta có độ lớn của véctơ k là:

k

^



2



(1.28)



2



(  là bước sóng).







(1.29)

Ta có tốn tử xung lượng: P  i .

^

= ieikrik = ke ikr = k  k  r 



P  k  r  = i  k  r 

^

 k là trị riêng của tốn tử xung lượng P .



(1.30)

(1.31)



Vì P



 mv nên vận tốc hạt liên hệ với k qua v 



k



.

m



(1.32)



Ở trạng thái cơ bản của một hệ gồm N điện tử tự do các trạng thái bị chiếm

có thể được mơ tả bởi các điểm bên trong một hình khơng gian k. Năng lượng

ứng với mặt hình cầu này được gọi là năng lượng Fermi. Véctơ sóng ứng với

mặt cầu ký hiệu là kF . Bản thân mặt này gọi là mặt Fermi (trong trường hợp

này mặt ấy là mặt cầu)

Năng lượng ứng với mặt cầu Fermi là:



F

Vì kx ,



ky ,

kz



2



2



2m k F



.



(1.33)



chỉ nhận những giá trị gián đoạn nên mỗi véctơ sóng cho



phép, tức là mỗi một bộ ba số lượng tử ki tương ứng một yếu tố thể tích trong

F 4 k 3 3

.

3 . Vì vậy, số các trạng thái cho phép bằng

3

2

không gian k là

2 L

L



 











Và bởi vì mỗi trạng thái có thể chứa hai điện tử với spin mS khác nhau nên:

N.

(1.34)

4 k 3 3

2

 V F3

F

k



2 



L









kF

với

V



 L3 là thể tích hình hộp.



Bán kính hình cầu Fermi kF



3 2



3



2



3

N















V



13



,



(1.35)







chỉ phụ thuộc vào mật độ hạt N V không phụ



thuộc vào khối lượng m. Đặt giá trị kF thu được vào công thức 

F ta có:

2



 3 N  2 3

 F = 2m 

 .

 V 

2



(1.36)



Vận tốc điện tử trên mặt Fermi v F bằng:

13



2







v

F



Đại lượng



k F



= 



3 N



m



m











V







 F  TF

gọi là nhiệt độ Fermi.

kB



.



(1.37)



Hãy xét khái niệm mật độ trạng thái. Đó là số các trạng thái trên một

khoảng năng lượng một đơn vị D  .

 

Từ biểu thức (1.36) ta suy ra:

V

N 



 2 m 



32



F



3 2



.



2



(1.38)



Do đó mật độ trạng thái ở năng lượng Fermi là:

32

V  2m 

12

dN

F

=

(1.39)

D  F  

2

2 2 

d F

  

3N

D  F  =

hay

(1.40)

F .

2

Đối với các điện tử tự do mà năng lượng  □ k 2

ta có thể chứng minh

cơng thức chung cho mật độ trạng thái là:

32



D  



=



dN

d



=



V  2m 

2



2











 

2



 12,



(1.41)



F



tức là:

D   = A  1 2 .



(1.42)



Sự phụ thuộc như vậy của mật độ trạng thái chỉ đúng ở 0  K còn ở nhiệt độ

T  0 K



sự phụ thuộc của mật độ trạng thái phải là f   ,T   D    , ở đây



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Phương pháp nghiên cứu

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×