Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
CHương 9. CHUYỂN ĐỘNG RỐI

CHương 9. CHUYỂN ĐỘNG RỐI

Tải bản đầy đủ - 0trang

rối, đại Urợng dưới dạng khóng thứ nguyên gọi là số Reynold:

Kt.



- ^



phái vtrợt khõi một giá trị tới hạn nào đó. Giá trị lới hạn



V



đó dược gọi là số Reynold tới hạn R rlh.(trong thí nghiệm của mình

Reynold tìm được

gần bằng 1,3.104).

Theo Reynold nếu R ,,> R rfk thì chuyển động là rối. Nếu R e< R rlh

thì chuyển đông là tầng (với u là đặc trưng vận tốc trung bình, cl là

đường kính ơng hay đặc trưng dỏ dài, V là hộ số nhớt động học).

Sau này người ta thấy rằng số R ,rh phụ thuộc vào nhiều yếu tố

như đ ộ nhám thành ốn g, cường đ ộ kích đ ộ n g củ a d ò n g ngoài V.V..

Theo định nghĩa:



Re = —



(9.1.1)



V



với u là đặc trưng về vận tốc, L là đặc trưng về kích thước, ta có thể

biêu diễn:

u 2

UL



L



V



v í/



_ Đ ặ c t r ư n g lự c q u á n tin h



D ặc trưng lực nhớt



L2



Vậy nếu chuyên động mà ờ đó lực nhớt đóng vai trò chủ yếu

(lực nhớt lớii) thì sỏ /?,. béỉ và trạng thái chuyển động sẽ là tầng, còn

chuyén động mà lực quián tính lớn (lực qn tính Jớn có xu thế

xáo trộn mạnh mẽ các klhối chất lòng) thì trạng thái chuyển đơng

sỗ là rối.



9.2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH REYNOLD



9.2.1. Các đỉéu kiện trung bình

Do tính phức tạp, khơng có quy luật của các đặc trưng trong

chuyển động rối nén để nghiên cứu chúng người ta thường chỉ xét

được các đại lượng trung bình đại diộn cho các đặc trưng đó. Vì thế

cho đến nay khi nghiên cứu chuyên động rối, thường phải sử dụng

phương pháp trung bình hố.

167



Hàm f ( .\ .v .: ,t ) dược gọi là lây irung bình Irên một m il'll

S ( \ , y , : J ) nào dó, kí hiệu là: f ( x , y . z . t ) , nếu:

/(.V . y . z . t ) =



J/(.v - Ị . y - ì ] , : - ( ; . t ~



x )ữ (ị.x ].q .x )iỉịt ỉr \ tic / th



(9.2.1)



.V



trong đóíy(x. v . r . t ) gọi là hàm mật độ và phải thoả mãn điều kiện:

J"o>(aV, z , /) cLxilytkilt = 1 .



(9.2.2)



Ví dụ:

Gọi V là vận tốc trung bình của một dòng chày qua một tiết

diện có diện tích s và trong một dơn vị thời gian (khoảng lấy trims

bình theo Ihời gian là một đơn vị) khi đó:



ì ư u ĩư ợ n g



Do vậy: V = - ÍÍ vểAs = — = —

5 Js d iệ n tíc h tiế t (liện

.1



<



Phép ỉấy trung bình (9.2.1), (9.2.2) thoả mãn các điều kiện sau

(và thường được gọi là điểu kiện Reynold):

7 + W



+S



a f = a f với a là hằng số.



%.



____ d s



hay:



(9.2.3)

(9.2.4)



4.

ds



l i » ư f n l =li»i(f„)

/ / —►CO



fg = fg .



(9.2.6)



Các điểu kiên (9.2.3), (9.2.4), (9.2.5) có thể chứng minh trực

liếp từ định nghĩa (9.2.1), (9.2.2). Còn điểu (9.2.6) là điểu kiện gần

đúng và chỉ thỏa mãn đối với một số miên lấy trung bìng nhất định.

Từ (9.2.6) nếu Ị ị= l thì: / = / .

168



(9.2.7)



9.2.2. Hệ p h ư ơ n g trìn h R eynold

Đẽ thicl lạp dược mót hệ phương rrình tương lự kiểu NavierSiock cho chuyến động rõi. Reynold quan niêm rằng tát cá các dặc

trưng cùa chuyến động đểu có thẻ bicu diễn được dưới dạng

(9.2.8)



F = F + F'



trong đó F ' là dặc irưng mạch dóng tương úng .

Chảng hạn độ IỚI1 véc tơ vận lốc, áp suất mật đò:

V = V + V"

p = P + P'

p = p + p ’



Xuftt phát từ phương trình chuyến động của chất lòng khòng

nén được ( J i v V = 0 ) (7.1.21) cùa Chương 7, ta có:

p i ~ = pp + D i v P



(9.2.9)



lỉt



Trước hết :



lit



= — + ị ỹ . v )l/



õt



v







mặt khác:

[( i/ỹ ỳ ị =



| ỉ i = A (v V )_ V

õ.\j



nến:



ă \j



(|ấy tổng theo j)

õ .\j



(v '. v)l7 = JivVV - VdivV = (H vVV.



Do vậy (9.2.9) trờ thành (bỏ kí hiệu véc tơ):

p - =pF + div{P -pW ).



(9.2.10)



ồt



Thay biểu diền:



V = V + V'

p = p + P'

F = F +Fầ



169



vàỡ (9.2.10) và lấy trung bình hai vế , sử dụng các diéu kiện trung

bình (9.2 3), (9.2.4), (9.2.5), (9.2.6), (9.2.7), ta được



civ



= F + D iv ( p - p \ ' ự - p V 'V ')



(9 .2.11)



ôt



So sánh (9.2.10) với (9.2.11) ta thấy phướng trình (9.2.11) xuất

hiện thẻm tcnxơ đối xứng hạng hai:

- pu'~ - pwV - p u 'w



n=



— p v'u ' - pv'- - p v 'w ‘



- pw ' ú -



(9.2.12)



pvv' v' — pM 1'



và gọi là ten xơ ứng suất phụ Reynold. Ta cũng kí hiệu :



V = v(ũ, V, w), V’ = vịư, v\ vv').

Phương trình (9.2.11) dưới dạng hình chiếu:

õũ

õũ

_dũ

_ õũ

0 I dp

— + M— + v — + VV—- = X - - — + vA w +

dt

ôx

õy

ôz

p õx



+ — (- pw'2 )+ — (- p « v ) + — (- pMv )

dxK



ôv







_õv



dyx



õv



' d z x



_dv







1 dp



-



—:- + u — + v — + w — = Y - —— + vAv +

õt

dx

ơy

dz

p ơy

T



U



---------



f



V



----------



T



v



v



----------



+ — (- p « v )+ —

õxX

õw

Õt



_ ôw



+u —

+





dx



=



-----------------------------



r



V



L



f



\ V



(9.2.13)



pv'2)+ — (- p v v )



'd y x



_ õw



/



1



dzK







— ỉ dp

._

=

= z

z --------———++ vAm'

vAh' +

õz

p õz



_Õ W



+

+V

V—

—— ++ vv

vv —





dy



+ JL ( _ p „ v )+



( - pv v ) + £ (- pw'*)



và phương trình suy từ phương trình liên tục:

ơũ

õv

dw

.

— + — + — = 0.

ổ r ỡy

ổz



170



(9.2.14)



Hệ (9.2.13). (9.2.14) gọi )à hệ phương trình Reynold cho

chuyển dộng rói cùa chất lỏng khơng nén được.



9.3. MỘT SƠ KHÁÍ NIỆM

9.3.1. Hệ sơ ma sát rối

Khi các khối chất lỏng xáo trộn với nhau sẽ dẫn đến việc

truyền động lượng cho nhau và đo đó sinh ra ma sát giữa các lớp

chất lòng.

Xét chuyên động trung bình phẳng và một yếu tơ điện tích

d o = d x . ỉ song song với đường dòng cùa chuyển động trung bình.

Ọua yếu lố mặt í/a , đường dòng của chuyển động mạch động đi

qua truyẻn động lương vào các lớp làn cận các yếu tố d o một

khoảng /7 2 nào đó với vận tốc mạch đống v'ứng suất tiếp của ma

sát rối n.„ = n v,ta kí hiệu là r và được định nghĩa như là trung

bình theo thời gian, đỏng lượng qua đon vị diên tích của yếu tố d ơ

của chuyên động rối và ‘C h i ế u ỉên phương cùa đường dòng X (Hình



20).



X



Hình 20



Ta xem động lượng chuyển từ trên xuống dưới là dưcmg và

ngược lại ỉà âm. Khi đó ta có:



/4 = pv'/'



Đại lượng:



<9.3.2)



gọi là hệ :>ố nhớt động lực học của rối hay còn gọi là hệ số xáo trộn



A



~



.



rối, còn £ = — = V / gọi là hê số nhớt động học rối.

p

Vậy với chuyển động trung bình phẳng trên, ta được hệ sơ' ma

sát tồn phần sế là:

~ r •



(9.3.3)



cỉy



Ở trên thành phẳng (y=0) thì A=0 và

(9.3.4)

còn khi xa thành thì có thể bỏ qua f.t và

(9.3.5)

Prandtl xem đại lượng /'trong (9.3.1) tương tự như độ dài

trung bình cùa đoạn đường tự do mà các phân tử va chạm nhau

trong lý thuyết trao đổi phân tử. Theo quan điểm cuả Pranđtl thì vận

tốc mạch động v' thoả mãn giả thiết:

(9.3.6)

áy



Dựa vào (9.3.6) và xem /' = / , Prandtl rút ra cơng thức:



Hay CỊIÌ viết dưới dạng:

(9.3.8)



Từ những già thiết bán ihực nghiệm và lý thuyết thứ nguyên,

một sò lác già đã lập được hệ thức:

ciũ



(9.3.9)



(9.3.10)



9.3.2. Phán bơ vận tốc Logarit

Cấu trúc dòng rối (đoạn đường xáo trộn, hệ số ma sát rối...) ờ

giin chu luyến của vật mà chất lỏng bao quanh rất khác với rối tự do

ờ xa chu tuyến. Có sự sai khác đó là do ảnh hường cùa tính nhớt

phân tứ đến các quá trình truyền rối.

Giá sử lĩiột nửa mặt phẳng trên chứa đầy chất lỏng, thực hiện

một chuyên động trung bình phẳng song song với Ihành vơ hạn mà

ta ký hiệu là trục o.v. Già thiết bỏ qua lực khối, khơng có biến thiên

173



các đại lượng trung bình theo những đường dòng song song với o .x

Cắc dặc trưng trung bình cơ bản chỉ phụ thuộc vào y.

u - u ( y ) ,v = 0 ,p = p ( y )



Phương trình chuyển động tầng có dạng:

- n0

ị„ id~' u =

dy



ậ = 0.

dy



Nghiệm của hê trên sẽ là:



u = cty + 1 2 , p



= c o n s t.



Ta có điẻu kiện biên:

y = 0 = > ỉ/ = 0 ,T m = ụ.



í d. tu. . \






Do vậy:





(93.11)



u ~ ~ y .



n

Phân bô' vận tốc là tuyến tính và ứng suất ma sát trên thành

khơng đổi:

du

Ttt = ụ. - f = c o n s t .

dy



Bây giờ ta xét chuyển động Fối với rlà hộ số ma sít rỏi.

Phương trình Reynold có dạng:

d 2u

dy



dĩ.



, /



+ dy =



X

= “)•



Tích phân phương trình này ta có:

du



T + f i—



- C - c o n s t,



dy



Trên thành thì: v' = 0 nên T = - p u 'v = 0 .

174



Vì Vày c= Tt>) do đó :

du



Miền gần thành ma



sát



= í' = const = t t., .



rối



T



(9.3.12)



bé hơn ma sát phần tử fi—- = TW



nên phư
trình chuyển động tầng. Ờ miền xa thành Tu bé hơn T và có thể bỏ

qua, theo cơng thức Prandtl (9.3.7) ta có:

(9.3.13)

Khoảng cách y từ hạt lỏng đang xét đến thành là đặc trưng

hình học duy nhất cho dòng nên Prandtl đã già thiết:

(9.3.14)



/ =xy



với X là hằng số xác định bằng thực nghiêm (x=0,4). Phương trình

(9-3.13) với điểu kiện (9.3.14) cho ta nghiệm:

(9.3.15)

Ta cần xác định hằng số tích phân c trong (9.3.15). Ký htóu

ơ ( là độ đày lớp dưới tầng, U' là vận tốc dòng giữa lớp dưới tầng và

lớp rối ngoài (miển chuy<ển ). Đặc trưng của lóp dưới tầng là ứng

suất ma sát trên thành r(,u, các hằng sơ' vật \ ý f í , p . v ề mặt thứ

nguyên các đại lượng ấy cho ta hai tổ hợp:



V



V



(9.3.16)



V,



175



Tổ hợp thứ nhất có thứ nguyên là vân tóc và gọi là vàn tòc

động lực học. Tổ hợp thứ hai có thứ nguyên là độ dài và đươc gọi là dộ

dài động lực học. So Reynold tương ứng với các đại lượng đó sẽ là:

R ,= - = l.



u



Từ (9.3.16) ía có thế chỉ ra rằng các đại lượng có thứ nauyễn

vận tốc hay đơ dài chi khác (9.3.16) một hảng số nhân không thứ

nguyên. Chẳng hạn:

ơ, =


(9.3.17)



và do đó:

ur = ơ, ^



= aV*



(9.3. IX)



( a là hệ số tý lệ).



Với những giả thiết trên (9.3.15) trở thành:

- —

V' IIII

11 =



V+



c.



(9.3.19)



X

K hi V = ỏ,, t hì «= //,. nên:



V,



H, = - l n ồ „ + C .



X

Do đó:

r>

11

p

rc

1



/



o



\



a 7T



X



= v; í a - - 1/ /1/ a ) - i v j n ^ r

7

K

1

X

)



Thay c vào (9.3.19) và đặt:

II

(P =







v _ >’

n = .y—=

7

V* /

176



(3.20)



til có:



<|>= ■ III r| 4 a - ■- I l i a .

X



(9.3.21)



X



Nikmadsc đã làm thí nghiệm với chuyến động trong ống tru

tròn trong khống rộng ciia sỏ Reynold Rr = ----- (
Y

ống, V là hệ số nhớ t đ ộ n g hoc, u,h là vận tốc trung bình) cho lới

3,24. | 0 \ và đã chi ra rằng phân bố vận tốc dạng:





»•



=




5 7 5 /#Tt + 5.5



(9.3.22)



rất phù hợp với thục nghiệm.

Do (9.3.22) đúng với số' Reynold lớn nên được gọi là phân bô'

phổ biến.

Như vậy với lớp dưới tầng :




(9.3.23)



g.



Trôn biẻn cùa lớp dưới:r |, = —- = a .

Ki



So sánh (9.3.21) với (9.3.22) ta thấy:

X * 0 .4 .0 . s = / /,5 .



Hai hằng số trên là hai hàng số cơ bàn Ihực nghiệm đặc trưng

cho chuyển dộng rối.



177



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

CHương 9. CHUYỂN ĐỘNG RỐI

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×