Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 7. CHẤT LỎNG THỰC KHÔNG NÉN Được

Chương 7. CHẤT LỎNG THỰC KHÔNG NÉN Được

Tải bản đầy đủ - 0trang

V ,



/»„



/\,



/\,



/>,;



/»:,



/>:»



p,. )



(7.1.2)



= /3



được gọi là tenxơ ứng suất. Để xác định các thành phần cùa



lenxcT



(7.1.2) người ta đưa vào các giả thiết sau:

A ) Khi khơng có tính nhớt thì tenxơ (7.1 ..2) trờ vé ten xo cùa

chất lỏng lý tướng, tức là các thành phần cùa nó thóa m ăn các

đ iều kiện:



P..--P



i*j ■



Từ đó ta có rhể đặt:

/ \ v = - / > + 'y y .



Pn



/>v:='y.-



(7 .1 . 3)



với tv chỉ khác không trong chất lỏng thực.

B) Các đại lượng ttỊ là các hàm tuyến tính thuần nhất cùa các

thành phẩn tenxơ vận tốc biến dạng, trong đó các hệ sơ cùa hàm

này khơng phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ vng góc. Ta đã có

tenxơ vận tốc biến dạng theo (1.3.9) Chương 1:



V



V



2



e,



ĩ 6'



-



2



0,

'



với:

ỡv>

E/ =



0



ổv ,E- = ặ y



Ỡr.

*



ở\’

ỡr_ ỡ rd\

ỡv. ơ\\.

ch\. _

ỡr.

= ri£ + ! > , 0 = ^ + ^ , 0

ổy



124



ƠV’v



ổr



ổv



ổ:



d\'õ\'



= IJ L + r_L

ổv



ổy



Giá thiết B vé lính tuyến tính cúa sự phụ thuộc là thòng thirờng

vi dó là sư phu thuộc đcm giàn nhất. Tính độc lập của hệ số cùa các

hàm tuyến tính đòi với việc chọn các hệ trục tọa độ vng góc dựa

trẽn lính dẳng hướng cúa chất lỏng nhớt, tức là lính thuần nhát theo

các phương khác nhau.

Xéi mặt bậc hai:



ZịỰ + e:xỳ + z


(7.1.4)



Tu chuyển các trục toạ độ theo các trục đối xứng của mặt trên,

giá sử X,y ,7.. Khi đó trong hệ mới mặt (7.1.4) có dang:

6/4 2 + 8 : T1 2 + £'í(5 2 - C ■

Như vậy trong hệ m ới các thành phần cúa tenxơ vận tốc biến

d ạn g trờ thành:

0 , = 0 : = 0 J = 0,

Eỵ -- c Ị , £ -Ị



Ể?->|Cị — ^ Ị •



Các trục đối xímg V, V, 2 , gọi là các trục chính của tenxơ vận

tốc hiến dạng, các đại lượng e,. e2. e, gọi là các giá trị chính của

ten xơ vân tốc biến dana h a y là các vân tốc dãn đài chính. Ta đã có:

E/ + E-. +



= tìiv V .



(7.1.5)



Cóng thức (7.1.5) điúng cho hệ toạ độ bất kỳ, vì vậy trong hê

toạ dò V, V, z ta cũng có:

í'i + ÍS + f ? = tỉivV .



Theo già thiết B các thành phần của lenxơ úng suất trong hê

toạ độ X ,y.z sẽ là hàm tuyến tính cùa e,. e2. e,. Chẳng hạn:

r\ . = a ie i + "->*’■>+



<>



riV = a.e, + a ,e, +



.



/.... = a,e, + a2e, + uf e2 .



(7 .1 .6 )

(7.1.7)



Đ ế dưực hê thúc ihứ nhất của (7.1.7) la chỉ cần đổi trục X

thànih trụ c y , trụ c V th à n h trụ c z\ trụ c r th à n h trục X tro n g (7 .1 .6 ).



125



Hệ thức thứ hai cững nhận được bẳng cách xét tương tự. Xé! phép

biến đổi toa độ:

x = x



.



, z=- y .



Các trục toạ đô mới vẫn là các trục chính cùa tenxơ vận tốc

biến dạng và ta có các công thức sau:

V, = V, , Vv = V . , V. = - V y



* ỡv,

to*

e/ = - i r = ~ Jr = eJ



Ơx



*



ơx



dv



e2 = - r r = eì

dy



e )= e 2

t.x x -



t.x x ’



Theo giả thiết B ta có:

t xy = 1 1 ^



1



+ a2e* +aje*Ị = « /* /



+ a ìe ->- {xx = a iei + a2e2 + a ìí'.ì-



Từ đó suy ra: a 2-O ị



Ký hiệu:



aỊ - X + 2\x,

cỉ2 — ci) —À.



ta viết lại các công thức (7.1. 6 ) và (7.1.7) dưới dạng:

r , v =*>(*/ + « í + e3)+2ịU!l



tyY = ^ { e , + e 2 + e s )+ 2 \ie 7



(7.1.8)



ếtV = x { e , + e ĩ + e ĩ )+ 2 ịx e 1,

Cũng theo giả thiết B, ta có chẳng hạn:



*, V = ia4el + a se2 + “(,«))■

Xét phép biến đổi toạ độ:

X = X . y = -ý, z - -Z.



126



(7.1.9)



Các trục toạ độ mới cũng là các trục chính cúa tenxơ vận tốc

bicn dạna và ta có:

= 'V ->\ = ~ ' I. ’

e , = e ,,e ] = e2 ,e] = e , t



Cõng thức cuối cùng suy ra từ nhân xét sau: ỉ



là hình chiếu



trên trục y cùa ứng suất tác dụng lên diện tích có pháp tuyến ngồi

trùng với phương trục X còn / là hình chiếu trẽn trục y của ứng

suất cũng tác dụng lên diộn tích đó nhưng do trục y và trục y ngược

hướng nhau nên ta có kết quả trên. Theo giả thiết B ta có:

1 IV -



U4*1 + a Ả



a 6e )



+



=



~(<*4e i



+



u 6e J



+



< * & ) = - t x -ỹ



=> u4 = a Ị = a 6 = 0

Do vậy I



=0.



Chímg minh tương tự, ta có :



Như vậy các trục toạ độ mới X, y , z cũng là các trục chính của

tenxơ vận tốc biến dạng. Các thành phần của tenxơ ứng suất có dạng:

p y = —p + XdivV + 2ịiej

p



= - Ị ) + XdivV + 2ịie2



(7.1.10)



p . . = - p + XdivV + 2ị.veỊ

p



‘ XV



.



=



p



y -



: .í



=



0 .



Ta thẩy các trục chính cùa tenxơ ứng suất trùng với các trục

chính của tenxơ vận tổc biến dạng. Tenxơ ứng suất trong hệ mới,

theo (7.1.10) sẽ là :

P = ( - p + h J ivV )ỉ + 2ịxỳ.



(7.1.11)



Trong đó / là tenxơ đơn vị, còn:

127



e,

♦= 0

0



0



0^



e2



0



0



e ,j



Nhưng do các thành phần tương ứng của hai tenxơ bâng nhau

trong một hộ toạ độ nào đó thì chúng cũng bằng nhau trong hệ toạ

độ bất kỳ khác. Vậy trong hệ toạ độ -V, y. 2 ta có:



-0, V

0 0'



Pyx Pvy





py\ Pyy Py. = (—/> + XdivV) ° ỉ 0 + 2 ;/

{0 0 h

!>:> P:: ,



2



2



z2

?



- 0,

2 '



- 0,



- 0 ,



:



'



2



2



'



C.





Từ dó ta suy ra các hộ thức sau:

P.X.Ì ~ ~ p +



+ “2HE I



p



= -Ị) + hJivV + 2ụ.e,



p „



= - p + dìvV + 2ụZị



(7.1.12)



= Py,

l>y. = Ị)x: =ịíQ 2.



(7.1.13)



!>y: = p-.y =M0/.Từ các hệ thức trên ta thấy tenxơ ứng suất là đối xứng. Đế xác

định hộ số À ta có thê đưa ra giả thiết: Xem áp lực trong chất lòng

thực ln ln bằng trung bình cộng với dấu ngược lại của ba ứng

suất tác dụng lên ba diện tích vng góc vói nhau, tức là:



p = --(p.*.s +p„ + px ) ■



(7.1.14)



Từ (7.1.12), ta có:

( />„ + />vy + p .. ) = - 3 p + (3Ằ + 2 (ii lỉivV .

128



(7.1.15)



Với chài lóng khóng ncn được thì (7.1.15) trùng với (7.1 14).

Đẽ già Ihict Irén đúng cho trường hợp tống qiiíit ta cấn đật:

X=



.



(7.1.16)



Thay (7 .1.16) vào (7.1.12), ta có:

nv



Ị)



= - Ị) "



- ụ d ivY +

3



õỵ



2

p...

/ vv



- ~p -



-



y

p ..



ổi’v



V í H v V + 2*■*

li —

ÕY







=- p - -yu li\-Y +



3



c^v



ô:



./ftỉ’ụ = M

/ dv\



ÕV; >



ỉt



ôÃ )



Ị \ , =M

V



' dl ±

õ :



Ẽ ỉl



(7.1.17)



ỡv



tro n g dó // gọi ià hộ sơ' nội ma sát hay hệ số nhứt. Thứ nguyên của

// là: ML ' T 1, với ký hiệu M là thứ nguyên khối lượng, L là (hú

n g u yên độ dài, T là thứ ngun thời gian và có thể tính theo các

cớ n g thức cuối của (7.1.17). Thông thường Iigirời ta còn dùng đại

lượrm :



Ịị =



^ để thay c h o hệ số nhớt J.ivà được gọi là hộ sò nhớt



p

đ ộ n g học.



7.1.2. Hệ phưưng trình Navier - Stock

Theo Chương 2. ta đã thiết lập phương trình tống quát cùa

c h u y ển động cùa môi trường liên tục:

129



JjJp nJS = 0.



(7.1.18)



s



V



Thay p n theo công thức (7.1.1) và chú ý rang :





Ị Ị a i o s ( n .x ) J S = Ị ị Ệ ^ / V

s

V



ta có:

JV = 0 .



(7.1.1»))



Trong các cơng thức trên V là thể tích lỏng được bao bời mặt

tùy ý. D o thể tích yếu tố lỏng V là tùy ý nên từ (7.1.19) suy ra:



dV - Ị

dPy- +. ÕP: ' =

W = - = F + - ' dPx +. —

ảt

o V ôx

dy

õz



F + -J iv P

p



s



(7.1.20)



trong đó ký hiêu:

\



8 p x , dp> , dP: =

ơx

ơy

dz /



J/V-/5



(7.1.21)



.



Viết (7.1..21) dưới dạng hình chiếu ( V = (u ,v ,w ), F = (X .K .Z ))

và s ừ d ụ n g (7.1.17) ta được:

õu

du

du

du v

— + u — + V— + W— = x

ôt

ôx

dy

dz



l dp

p ăx



ờ ddivV

—— — + 9Aíí

3 õx



õv

dv

ỡv

dv

l dp 3cƯ ỉW Q

— +U — + V— + H'— = y - - - 2 1 + —— _ + $Av

õt

ôx

õy

õz

p dy 3 õy

dw







ôt



dw



+ M —



' dx



dw



dw

+ W’ —- =

dy

õz



+ V —-



z



_ ỉ dp

p õz



§ dtii\V

—— —



3



õz



+



_

(7.1.22)



- .

9A w .



Hệ ba phương trình (7.1..22) gọi là hệ phương trình NavierStock. N ếu chất lỏng khơng nén được íhì phương trình chun động

sẽ là:

130



du

du

õti

du ,,

- - +U— + V— • + w ■—= X - ■

ô.x



rV



(V







p cU



ổv

d\'

d\'

/ õn

+ /,.^ + r _ + M, i i - ^ y - I f i ' + SAv



dt



ổ.v



ởvi’



c?w



- — + M —



• õt



dy



] õp

+ ỠAw



ơ.x



d y



dw

+ V —



dy



p



õ:



dv\'

+ H’ — -



õy



I õp



_

= z



(7.1.23)



-



ôz



— —



+



3 ủw ’



p ôz



Các hệ phương trình (7.1..22) hay (7.1..23) kết hợp với phương

trình liên tục, tương ứng. Với chất lỏng nén được:

^ + divoV = 0

dt

với chất lỏng kỉiông nén được: divV = 0 .

Đẽ giãi được bài toán cơ học chất lỏng cụ thể, ta cần thiết lập

cho hệ các phương trình trên các điều kiện biên, điều kiện đầu thích

hợp và kết hợp với một số phương trình m ơ tả các q trình như bảo

tồn nâng Urợng, truyền nhiệt, khuyếch tán...Ta gọi hệ phương trình

tổng hợp như vậy là hệ phương trình chuyển động.

Hệ phương trình Navier-Stock do Navier đưa ra năm 1827, ông

chỉ xét cho trường hợp chất lỏng khơng nén được và sau đó là SaintVenent nãm 1843, Stokes năm 1845 đã đưa ra cách thành lập mới

m à theo đó ta xây đựng được hê phương trình (7 . 1 .22). N h u vây cho

đến nay đã gần hai th ế kỷ và đã có hàng vạn cơng trình khoa học

dựa trên hê phương trình đó, tuy nhiên những hiểu biết của chú ng ta

vé hệ phương trình trên còn q khiêm tốn. Vì vậy vào ngày 24

tháng 5 nãm 2000, để chào mừng thiên niên kỷ mới, V iện T oán

học m ang tên Clay (C M I) mới được th àn h ỉâp tại C am bride (b an g



M assachusetts, Mỹ) đã công bố tại Paris Bày bùi toán cùa thiên

niên ky (với giải thường 1 triêu đô la ch o mổi bài), tro ng đ ó có

bài tốn: Tạo lập nhữniị tiến bộ thực c h ấ t hưởng tới m ộ t lý th u y ế t

toán h ọ c nhám m ở to u n g những bí ẩn b a o trùm hệ p h ư ơ n g trình

N u v ie r-S to ik .

131



7.2. NGHIỆM GIẢI TÍCH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOCK

Dưới đây ta xét mội sổ' trường hợp tích phân dtrợc hệ phương

trình chuyển động của chất lòng thực.



7.2.1. Dòng giữa hai bản phăng song song (Dòng Couette)

Xét chuyến dờng chất lóng thực, khơng nén được mộl chiéu.

dừng giữa bàn phẳng cố định có phương trình là:v=fl và một mạt

phẳng có phương trình: v= h chuyển động với vận tốc không đổi

v.(h= ( oust) (Hình 15).

y



V / / / A 0 s / s / / / / / / / / / / / //7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 T ~ X



Hlnh 15



Giả thiết khơng có lực ngồi, chuyển dộng song song với frục

ơ.v. do đó:

X=Y



= z



= 0, 1 -



IV



=0,



II



= u(x,y.z).



Với các già thiết Irên hộ phương trình chuyên động trờ Ihànhỉ:



I32



ty = n

õ:



ỹ=

d.\



(7.2.1)



0.



Từ phtrơng trình thứ hai và thứ ba ta thấy Ị)-Ị)ị.\), tù phương

trình cuối ta có II = uịy,

do đó từ phương trình đầu ta suy ra:

ôp

— = c o n s t.

Ổ-V

Để xác định ti, ta có phương trình:

f -nJ

'

du

du

I dp

Kổr



dy )



=







.



(7.2.2)



nâv



với các điéu kiện biên:

II = 0 khi V = 0 \ à u = V khi V = h .



(7.2.3)



Ta sẽ tìm nghiệm của bài lốn (7..2..2) và (7..2..3) dưới dạng:

H = u (y ).



(7.2.4)



Thay (7..2.4) vào ợ . .2.2) và tích phan, ta dược:

/ dp 2 A

D

II = — — y + A y + B

2ịi õ.\

trong đó A và B là các hằng số tích phàn. Sử dụng điều kiộn biên

(7..2.3), ta tìm được:

/ dp

" =~ ( r - h y ) +

2ịi ơ.v

I di) •>

Nếu ta đặt: II = — -2 -ịy - —

2ụdx



Vy

ă

h



(7.2.5)



Vv



- - + 1 1 ,( y .z )





thì «.(>', r ) s ẽ thoả mãn bài toán:

All. = 0

n .( 0 ,: ) = 0 ,n .( h .z ) = 0.



(7.2.6)



133



Nghiệm cùa bài toán (7..2.-6) chỉ là nghiệm tầm thường:



u.(ytz) = 0.

Vậy (7..2..5) là nghiệm duy nhất của bài toán. Nếu cà hai bàn

phẳng đều cố định thì phân bơ' vận tốc sẽ là

u = ± Ẽ p ụ . hy).

2\idxv

'

Nếu khơng có đ ộ giảm áp suất



ơx



(7.2.7)



- 0 thì phân bố vận tốc sẽ



Vy

là phân bố tuyến tính: u — —

Xét lưu lượrig cùa chất lỏng chuyển qua một mặt cắt vng

góc với bản phẳng, có chiểu rộng một đơn vị và trong một dơn vị

thời gian:



Q = Ịỳ«iS = j'udy =

S

0

1*

I “*

•* í

Nếu hai bán phẳng c ố định:



^ -h * +



Vh



(7.2.8)



Ỉ 2 V õx

/V i



,



e , _ - L f y

12ụ ơx



.



(7.2.9)



Từ (7.2.9), ta tính được vận tốc trung bình và vận tốc cực đại:

tb



Q



s



ỉ dph!

Ỉ2ịi dx



;,ì2 ~-



8 ịid x

#Ịi dx



«^2 J



(7.2.10)



Ta goi: — = —— — = - — là đô giảm áp suất ữên chiểu dài /.



dx



I



I



Tờ (7..2..9), suy ra:

.



(7.2.11)



k

Vậy đô giảm áp suất tỷ lề với lưu lượng và tỷ lệ nghịch với h ’

134



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 7. CHẤT LỎNG THỰC KHÔNG NÉN Được

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×