Tải bản đầy đủ - 0 (trang)
Chương 6 . CHUYỂN ĐỘNG SÓNG CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG

Chương 6 . CHUYỂN ĐỘNG SÓNG CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG

Tải bản đầy đủ - 0trang

õ v



,



+

•— ♦ '[ i V

i, Iự ' ãỂ. * v' ơ ỳ



J ịM



ổ:



(6 .1. 1)



- ‘ § .) „ * .



»

I



õ \



+ r . —



p a >»





./



I



I



.



» '•



Khi r bc thì chỉ tích phân cuối của (6.1.1) là hữu hạn còn các

tích phãn còn lại bé, có thê’ bó qua. Gọi:

ĩ



n - ịpdt

0



là xung áp suất, khi đó xưng áp suất gây nên mơt chuyển động có

vận tốc với các thành phần:

V



=



at



;V =



í n \ . .



_ _



ơy











( 6 . 1. 2 )



Vậy chuyển động gây ra do xung áp suất là chuyển động có

thê. Do đó tồn tại thế vận tốc

sao cho V = gradỳt, và thế vận tốc

dó có (hể xem là do tác động cùa xung áp suất TI = -p<Ị>rt. Vì chất

lỏng thồ mãn các giả thiết về định lý Lagrange nẽn chuyển động

cúa chãi lỏng là khơng xốy. Ký hiệu là thế vận tốc và do đó:



V = gradiỊ>.



(6.1.3)



Từ phương trình liên tục divý = 0 , ta suy ra:

Aệ = 0 .



(6.1.4)



£ =- Q - L v 2 - u + F(t)



(6.1.5)



Tích phân Cauchy:

p



Ot



2w



trong đó u là thế cùa lực ngồi. Nếu xem lực ngoài chỉlà trọng lực

u - Ị>: và chuyển động xáy đừ chậm để có thể bò qua đại lượng

—- , khi đó ( 6 .1.5) trờ thành:



111



Đặt: <Ị>, =<ị>- ịF ( t) d t%khi dó (6 .1. 6 ) có dạng :

0



p



(6.1.7)



Of



đổng thời:



( 6 . 1 .8 )

p = ỊỊradỳ/ .







(6.1.9).



Các phương trình (6.1.7), (6.1.8), (6.1.9) xác định chuyển dộng

gây nên do xung áp suất. Ta cần thiết lập các điểu kiện đầu và điểu

kiện biên để nghiệm của bài toán là duy nhất.

Trên các mặt c ố định (đáy )ta đều có:

v „ = % = ớ.



(6 . 1 . 1 0 ).



õìì



Trên mặt tự do áp suất là áp suất khơng khí p 0 vì thế:

Po = _



p.

Đặt:



ta có:







ệ , = , + — /

p



RZ-Pịl =- —ì l - g Z'

õt



p



(6.1.11).



5



G iả sừ tại t phương trình m ặt tự đo có dạng:



z = ị{x,y,t).

Vậy từ ( 6 .1.11) suy ra:

^ (* -ặ )+ * ỉ- 0



(6 . 1 . 1 2 )






có thể thay z = ị bởiz=0 vì



thế (6.1.12) ườ thành:



(6.1.13)

I Õỳ:ị.\.y .().r)



hoặc:



X



(6.1.14)



cV



f)ạo hàm hai vế (6.1.14) theo / ta đirợc:

(6.1.15)

ơt



g ừ -



M



Có thế giá thiết rằng — khác V . rất ít. vì thế tai z=0 (thay cho

dt

r= £, ) ta có điều kiện biên gần đúng sau:

r:= Ẽ k =- i ^ . .



-



õ=



(6. , . l6)



g õr



Điéu kiện đẩu: già sự kích động ban đáu cùa mặt tự do được

biểu diễn bời hàiT>4( v. v.O),từ (6.1.14) suy ra tại t=0 và := 0, ta có:

(6.1.17)

Xem vận tốc ban đầu sinh ra do xung áp suất Ji(.v. V',r), khi dó

thế vận tốc ban đầu sẽ là:

<ị)f) -



—7t .

p



Do dịch chuyển là vô cùng bé nên khi z = 0, la có thể xem:

„(x.y,0ì= 4>,(.v..y/>.0)= --n(.x.y.O ).

p

Vậy thè <Ị>,(x,y,z,tj trên mặt thoáng : - 0, tại thời điểm ban

đầu r = Of thoà mãn các điều kiện

ộ = -



Lp Tự V. y,0),



=



ôt



- g Ụ i . V.0).



(6.1.18).



113



*



Để đơn gian dưới đây ta thay



v .r.o b ờ i <Ị>(\. v,-.r).Tóm



lại chuyển động sóng khống xốy cùa chất lòng lý tường khơng nén

được xảy ra dưới tác dụng của trọng lực dược xác định theo các

công thức



p



dt



p



trong đó <ị» là nghiêm của phương trình Laplace A<ị> = 0 thoả mãn

điểu kiên trên biên cố đinh — = 0 ,điểu kiên trên măt tư do : - 0:

õn



— =

dz

g õt



và các điều kiên đầu trên măt tư do (6.1.18).



Thơng thường để tìm nghiệm của bài tốn trên người ta giả thiết:

ỳ ( x ,y ,z ,t ) = co s(a t + e ) & ( x .y ,z ) .



(6.1.19).



Khi đó hàm vẫn thoả mãn Laplace và các điều kiện:



d
—— = 0, —— = — tai z = 0.

dn

õz

g

6.2. SÓNG PHẲNG

6.2.Ỉ. Sóng đứng

Xét chuyển động trong đó vận tốc, áp suất không phụ thuộc

một biến không gian chẳng hạn y , nghĩa là chuyển động trong các

mặt phẳng song song với mặt cố định O . X 2 là như nhau.Với giả thiết



dó, theo (6.1.19) thế (ị) có dạng:

<Ị>(a, z ,t) = cos(at + e ) 0 (jc, z)



( 6 .2 . 1 )



Với hàm d> thoả m ãn phương trình :

AO - 0

điếu kiôn trên biên cố định



114



( 6 .2 .2 )



ỠO







= 0



(6.2.3)



on



Khi z = 0 thì:

<90



ơ' .



ơz



ỊỊ







. . . ..






(6 .2 .4 )



Ta tìm nghiệm riêng của (6.2.2) dưới dạng

, z) = p ị z)sìn k ịx - a )



(6.2.5)



trong đó k , a là các hằng số. Thay (6.2.5) vào (6.2.2) ta có phương

trình để xác định p ịz)



p(z)-k?p(z) =0 .



(6.2.6)



Nghiệm (6.2.6) sẽ là:



p(z)=c, ei:+C2e'L'



(6.2.7)



trong đó C ị .C2 là các hằng số tích phân.



Nếu chất lỏng có độ sâu vơ hạn (đủ lớn) thì từ (6.2.7) ta suy ra

C 2=0, đo đó:

p(z)= C eki

và:



0 > = C e ^ sin k(x



(6.2.8)

- a).



(6.2.9)



Thay (6.2.9) vào (6 .2 .1 ):

<Ị> = C ek: sin k( X - a)co s(G t + e ) /



(6 .2 .1 0 )



Ta có:





dz



= kC sin k ( x - a ) cosị ơ f + e),



ỳ(.x,fí) = c sin k ( x - a ) cosị ơỉ + £).

Từ (6.2.4) ta suy ra:



o2=kg



(6.2.11)



Vậy vói k tùy ý ta tìm được <7 theo (6.2.11)



115



Thê vân tốc của chuyến động sóng phẳng trong chát lòng vó

hạn được xác định llìeo (6.2.10) với tuỳ ý. Do tính tun tính của

phương trình (6.2.2), (6.2.4) nên tổng cùa một sơ' nghiệm riéng của

phưưng trình cũng là nghiệm của phương trình đó.



c



Xét trường hợp đơn gián khi a = £ = 0

(Ị) = Cek' sinkx('OSơ / . (6.2-



Ta có:



Phương trình mặt tự do được xác định từ điểu kiên :



Cơsin kx sin at



.



Ký hiệu a = —— , ta có:



s

iỈO I- .



.



0 = — e ' sinkxi ơsor

ơ



(6.2-13)



4 = a s in k x s in G ỉ.



(6.2.14)



Vậy tại mỗi thời điểm xác định tiết diện của các mặt chất lỏng

cắt bỡi một mặt phảng song song với mật Ox- là đường hình sin.



Biẽn độ sóng là:



\A\ = \usin ơ/j < jí/|.

Piơíĩn sóng là đường hình sin với độ cao thay đổi theo quy luật

đicu hòa:

116



A = asiti <7/ .

2n

Piofin dao dòng giữa hai dường với chu kỳ d a o d ộ n g là T = —



và goi là chu kỳ sóng. Giữa T và X có mỏi liên hệ:

(6 .2 .1 5 )



7Tiành phần vận tốc, với chuyển động có t h ế :

_ 54»



_ ỡệ



(6 .2. 16)



Phương trình đường dòng:



lỊ± = lli =>.. Ỉ Ỉ L - = _ JÍL . =>

V,



V.



CO.VẲ.V



+ ///Ịroiitvl = I-.



(6.2.17)



sin k .\



Đ ế nhận được họ đườiig dòng (6.2.17), ta chỉ cần vẽ một đường

ứng với một giá trị hằng sổ <■ cụ thể sau đó dịch chuyên song song

với trục o : (Hình 13). Vì đường dòng khơng phụ Ihuỏc vào Ihời

gian nên chúng là quỹ đạo.



y



o



V/



(*)



À

'



/



k



í



À



y ỉ



3k

x \\



2n



X



t y



Hình 13



Do dịch chuyển là vơ cùng bế nên có thể thay các giá trị V . ;

(rong các biểu thức (6.2.16) bời x„. z„ tương ứng với vị trí cân bằng

cúa nó. Tức là có thê xem:

117



dx



k:



,



_



^



_ 1:



V, = — = a o e ■■c o s k x . I o s a r , V. = — = ư ơ t '

'



d t



°



-







I.



s in k x . COS o f



(It



Suy ra:

•V =



<•/ +



aaet:' coskx„ sin at,



'



°



( 6 .2 . 18)



z = Cl + a a e k“ sinkx0 sinot.

Các hệ thức (6.2.18) chính !à các đao động quanh vị trí trung

bình (<•/,£ 2 ) và có thể xem đó là vị trí cân bằng(jtf,,Zfl).

V ậ y : X = xn + í/ér*^ COSkx 0 sin at, Z - zn + uek:" sin kx0 sin Gt



Quỹ đạo là đường thẳng:



;-zfì-(x -x 0)tg(kxn).

Biên độ dao động là



(6.2.19)



vì thế nó càng bé nếu hạt lỏng càng sâu.



6.2.2. Sóng tiến

Xét sóng đứng lộch pha với (6.2.12)

ộ - Cek' COSkxsincst .



(6.2.20)



Tổ hợp với (6.2.12) ta được:

ộ = C e kỉ (sin k z c o s a t + COSkx sin a t)

= C e k! sin(kx +


Thế vận tốc (6.2.21) xác định m ột chun động sóng khổng

xốy nào đó. Phương ưình mặt tự do:



cosịkx + Gỉ)



ị = - —— (z = 0 ) = g à



£





——= u



Đặt



g

ta có:



(ị) = — e t: sinỌcx + ơ ỉ ) , ị = - a cos(kx + a t ) .



ơ



(6.2.23)



Ta cũng có các prơfin sóng đạng hình sin với biên độ /a/, độ

dài sóng k = 2n / k nhưng khác c ơ bản với các sóng dã xét là mạt

118



tự do dịch chuyên về mội phía xác định. Các đinh và chân sóng ờ

các điểm:

kx + a t - /m ịn = 0 ,± J,± 2 ...),

nghĩa là tại những thời điểm khác nhau thì những vị trí của chúng

khác nhau. Ta có:

ơ



tm



k



k



Vây tồn bộ sóng dịch chuyển về phía âm của trục ox với vận tốc:



k



\k



T



2n



(Hình dạng mặt thống thì dịch chuyển còn hạt lỏng vẫn chuyển

động quanh vị trí cân bằng). Các thành phần vận tốc:

vx= — = a o e >: co sịkx + o r ),

ô.x

= u a e h sinịkx + a t ) .

dz

Ta có hàm dòng:

ọ = — e L' í os(kx + ơ r).

ơ



Do vậv phương txình đường dòng phụ thuộc thời gian và đường

dòng sẽ khác quỹ đạo. Cũng lập luận như đối với (6..2.19) ta có:

,v= x 0 + a e k:" sin(Lx + ar),

: = z0 — a e k:“c o sịkx + lơ /)

Và do đó phương trìá h quỹ đạo:



(X - A „r +(z - Zof = a-V fc' .



(6.2.25)



Nhu vây quỹ đạo gần đúng là các đường tròn với bán kính:

R = a e k'" vì th ế bán kính càng bé nếu hạt ờ càng sâu.



119



Nếu tronc biếu thức (6.2.21) ta thay (Ẳ.V+ cr/) bới (fc\ - ar)

thì đư ợ c s ó n g tiến vể phía d ư ơ n g của trục



o .x



6.2.3. Sóng tro n g c h ấ t lòng có độ sáu hữu han

Giả sứ chất lỏng có độ sâu hữu hạn //, trở lại nghiêm (6.2.7):



pịz)~ c tek: +c,e~k:,

Xem đáy nằm ngang, từ điều kiện biên :

— = 0 khi z= -h

õz



ta có:



c,e ^ -C e^ O .



Nếu chọn: Ci= —Ceu',C , Ce~u' , thì nghiệm của bài tốn

iưcmg ứng sẽ là:

C chk(: + h ).



p(7.)=



(6.3.1)



a) S ó n g đ ứ n g

T h ế vận tốc tương ứng:

4» = C c/ik(z + h )sin (x - Ị,)( o s (a t + e ) .



(6.3.2)



Từ điều kiên:



^ = ~<ị> k h i2 = 0

&



X



ta có:

ksltk/ì= —- chkh



- gkthkh .



X



Phưong trình m ặt tự do:

4 = - —— (z = ()) =

X St



120



vhkhsin k ịx - 4)i7/;(ơ/ + e)

g



(6.3.3)



Đật: - — f h k h = a và xct



ậ = E = 0 , ta dược:



(JV rhk(z + h) . ,

,

. .

d> = —- ——— - — sill k.\ cos a t.c = sill k.\ sit) Of



(6.3.4)



ilikh



Ơ



Các thành phán vận lốc:

u vk


.



V = - = - -----:------ í OS ẨLV( ỡ.v a t ,



ơ



(likh



(6.3.5)



uvk sh{z + h) . .

V. = - 2— ------ —- sin k.\ ( o.v a t .

ơ

lììkh

Ọ uỳ đạo:

cltk(zn + ii)

X = X 4- ư ------—:------ COS k.\ sin CƯ.

shkh

s h k (z 0 + h)

z - Zn + (I --------------- sin Ly sin ơ / .

shkh



(6.3.6)



b) S ó n g tiến

Thế vận rốc:

ih klì



ơ



Phương trình prơfin sióng:



C, = ucosịkx - <3ỉ) .



(6.3.7)



Prôfin là đường cosin dịch chuyển với vận tốc:

_ ơ _



‘ 'ĩ ~



Ịg th k ỉì



_



ỊgẰ



2nli



\ ~ j r ~\2nn ~



'



rất lớn thì có thể xem thhk= l, do đó:



Nếu

X



(6.3.8)

' k



V2 n

121



Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về

Chương 6 . CHUYỂN ĐỘNG SÓNG CỦA CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG

Tải bản đầy đủ ngay(0 tr)

×