Chương 4. CHUYỂN ĐỘNG PHAWMGR KHÔNG XOAY CỦA CHÁT LỎNG KHÔNG NÉN ĐƯỢC
Tải bản đầy đủ - 0trang
Hình 6
4.1.2. Hàm biến phức
Cho tập D e c và một ánh xạ f: D —*C được gọi là hàm số biến
số phức.
Ký hiêu w=fịz). Nếu biểu diẻn z=x + iy vầffz)=u(z)+iv(z) ta có:
f(z)= u(x,y)+ iv(x,y).
Như vặy hàm biến phức hoàn toàn được xác định bởi hai hàm
hai biến thực n(x,y) và v(x,y) hay hàm biến phức có thể xem là hàm
vectơ hai biến thực X và y. Vì vậy các khái niộm như sự liên tục, khả
vi cũng được xét như hàm các biến thực đã biết. Hàm biến phức f(z)
có đạo hàm tại điểm z được gọi là c - khả vi tại 2 .
Hàm f(z) =u(x,yi + iv(x,y) được gọi là R2 khả vi tại z—.x+iy nếu
các hàm hai biến thực u(.\-,y) và v(x,v) là khả vi tại ịx.y).
Định lý Cauchy - Riemann:
Đế hàm /( z J là c - khả vi tại z điểu kiện cần và đủ là: f(z), R2
khà vi tại z và thoả mãn điểu kiện Cauchy - Riemann:
ƠM
ởv
õu
õv
4.1.3. Phép biến hình báo gỉác
Hàm w =f(z) = u+iv biểu diễn một ánh xạ từ mặt pliiing phức
:=\+iy sang mặt phặt phắng phức w =/i+ỉY. Thông thường cAc trục
V.V trong mặt phức (z) và các trục n.v trong mật phảng phức (Vi’)
được chọn đồng phương với nhau. Hàm M'=f(z) là C- khá vi tại z
còn được goị là chỉnh hình tại
Trong mặt phẳng phức (z) xét một đường cong / đi qua diếtn *,
qua phép biến hình M'~f(z) dường cong / biến thành L trong mặt
phảng (w). Giả thiết f(z) chinh hình tại z„ đổng thời f'{ z n) * 0. Gọi
ỳ là góc giữa tiếp tuyến của / tại z0 với trục thực .V vù ẹ là góc giữa
tiếp tuyến L tại điểm H'„ - f ị z j với trục thực u, ta có:
lim urg{z - zfí) = lim ơrg Az = <Ị>
Um arg ( / ( r ) - /( :„ ) ) = lim urg Ạ f =
:->z„
Gọi a = q>-ệ ,một cách hình thức đó là góc quay cùa dường
c o n g / tại đ iể m zn q u a p h é p b iến h ìn h w = f ( z ) ,ta có:
ọ - ộ = lim (arg ậ f - arg Ar) = lim
Từ đó nếu v iế t:
= arỵ f '{ z 0 ).
f'{z0)=\f'{:0)\e,a
thì
ánh xạ w =f(z).
Giả sử I/.Ịị là hai đường cong trơn qua z„ và L/tL? là ảnh cùa
chúng qua ánh x ạ f(z). Kí hiệu ệ v ộì,
i là các góc tương tự như
đối với / và L. Góc hình học giữa ỉ, và Ị2 tại z0 là
- ỷ 2 và góc giira
Lị và Lị là tp\ ~(p 2 - Như vậy :
=q> 2 - < b = " ^ / ' ( z f > ) = ot
tức là góc giữa hai đường cong trơn qua zfì được bảo tồn qua phép
biến hình w=f(z). Phép biến hình như vậy được gọi là phép biến
hình bảo giác.
80
4.1.4. Tích ph ân phức
Cho hàm f(z )-u (x ,y )+ i\(x ,y ) xác dịnh và liên tục trên đường
cong trơn hoặc trơn từng khúc C.Ta định nghĩa :
j f{z)dz = ịudx - vdy + i ịud.x + vtly .
1
C
C
Trong đó các tích phân ờ vế phải là tích phân đường loại II.
Nếu c dược cho bời tham sô'
z( ị) =x(t)+iy(t) ịtữ< í < t x)
= I f [ z { t ) ị ’(t)d t.
thì:
C
t0
Tích phân phức có các tính chất của tích phân dường loại n.
Định lý Cauchy:
Nếu fịz ) chỉnh hình trong một m iền D dơn liên thì
Ịf(z)d z -0
(4.1.2)
C
với mọi đường cong đóng c ươn từng khúc nằm hồn tồn trong D.
Cơng thức (4.1.2) vẫn đúng nếu c là biên của D .Nếu D ìà
miền có nhiềubiên khơng cắt nhau CoỳC r ..C„ trong đó các đường
cong kín c, đểu nằm trong c„ khi đó ta có:
ịf(z)dz = ^ ị f (zịdz .
Co
(4.1.3)
'=> C,
Từ những kết quả củâ các cơng thức trơn ta có:
f(z) = 1L ị Ể ủ ỉ í
2 tu • q - z
trong đó
c là biên của miền D đơn liên.
(4.1.4)
Định lý Lauren:
Nếu f(z ) chinh hình trong vành khăn 0 < r < \z - z ỉtị < R thì fịz)
có khai triển Lauren duy nhất trong hình vành khán đó:
(4.1.5)
'■ = 4
í đ ỉ r
với Cp là đưòng tròn bất kỳ:
lz - £fl| = Pr> r < p , . < R .
Hệ sô' i \ị trong (4.1.5) đuợc gọi là thặng dư cùa hèanf[z) tại giá trị
4.2. HÀM DÒNG, THẾ VẬN Tố c
Chuyển động được gọi là phảng nếu các đặc trưng của chuyển
động của các hạt lỏng nằm trén cùng một đưòng thẳng vng góc
với một mặt phẳng,cố định là như nhau. Từ định nghĩa đó với
chuyển động phẳng ta chỉ cẩn xét các đặc trưng trong một mặt
phẳng xoy nào đó và khi nói về các đặc trưng trên một đường cong
nào đó trong mặt phảng xoy thì ta hiểu rằng đó là các đặc trưng trên
một hình trụ có đường chuẩn là đường cong ấy và chiểu cao là một
đơn vị.
Với chất lỏng không nén được, chuyển động là phẳng, phương
trình liên tục có dạng:
ổv’
^
õx
d\’
dv
d (—v )
dy
õx
õy
+ i a = o = > ^ = —- ( 4 . 2 . 1 )
Từ phương trình vi phân của đường dòng:
— = — =í> - V d x + v x d y - 0 .
v,
82
( 4 .2 .2 )
Kết hợp với (4 .2 .1) ta ihấy (4.2.2) là vi phân toàn phán của một
hàm 0 ?nào đó tức là:
vói:
(4.2.3)
ợv
Hàm
dx
y
d ò n g và lừ đ iểu kiện:
= 0 => (p( x , v ) = i = c o n s t .
Trên các đường dòng khác nhau
hang số ( sẽ khác nhau.
Xét một đường cong trơn, liên tục
nối giữa hai điếm A và B nẳm trong
chất lỏng (Hình 7). Thơng lượng cùa
véc tơ vẠn tổc qua đường cong sẽ là:
B
B
jVm /i- = J/V ,
o
Hình 7
Vv cos(n,y)j
Ã
Á
B
J [V( sin 0 - vy cosQ] ds =
(4.2.4)
Á
B
B
vydx + vxdy = Jí/<Ị>= ẹ(B)~q(Aị.
A
A
Véc tơ xốy trong chuyển động phẳng có thành phần :
n , = Q v =0
Q. =
ỡv„
dí
d\\
d 2ẹ
5 2(p
dy ~ ơx2
ơy2
(4.2.5)
Như vậy để cho chuyển động phẳng khơng xốy, hàm dòng
thoả mãn phương trình Laplace:
Aẹ = 0 .
(4.2.6)
4.3. VẬN TỐC PHỨC VÀ THẾ PHỨC
4.3.1. Sự liên hệ giữa hàm dòng và thẻ vận tốc
Nếu chuyên <ỉỏng có thế tức là tồn tại một hàm thê
(4.3.1)
Kết hợp với (4.2.3) ta có:
ổ(p _ ổộ
ơy
hay:
ơx
ổọ
dỊ)
dx
õy
cty ỡ(p
ỡệ ỡcp __ Q
d í õx
-ơy ơy
(4.3.2)
(4.3.3)
Hộ thức (4.3.3) chứng tô các đường cong
trực giao với nhau hay các đường dòng trực giao với các đường
đẳng thế. Vì vây về mặt động học vai trò của họ các đường đó có
thể thay đổi cho nhau. Các hàm (p,ệ gọi là các hàm liên hợp và nếu
có một bài tốn thùy động phẳng mà xác định được thế vận tốc ệ và
hàm đòng (p thì ta cũng sẽ xác định được một bài tốn thuỷ động
khác mà có (p là thế vận tốc còn ệ là hàm dòng.
4.3.2. Vận tốc phức và thế phức
Các điểu kiộn (4.3.2) chính là điều kiộn Cauchy-Riemann của
một hàm giải tích phức:
(4.3.4)
vv = (Ị) + icp = / ( z )
cùa đối số phức : z=x+iy.
Đạo hàm của f(z) sẽ là :
dw
cty
ổ(p
cty
d<Ị>
(4.3.6)
a
là lien hơp phức cùa V đổng thời :
Hàm tv = <ị>+ /
hàm ngược: z=F(wị khi đó ta có:
dz
i
ì
í/vv
dw
V, - iv v
_
V.I + n \v
V
+ Vy
V2
V*
(4.3.7)
dz
biểu thị một véc tơ cùng hướng với V
T ù (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6), (4.3.7) ta thấy nếu biết một hàm
giải tích f( : ) xác định sẽ tìm được các hàm đòng và các hàm thế và
do đó bức tranh động học cùa bài tốn thuỷ động phẳng hồn tồn
dược xác định. Vì vậy nghiên cứu bài toán thuỳ dộng phẳng cần
thiết phải nghiên cứu một số tính chất cùa hàm giải tích phức.
4.3.3. Một số ví dụ
l.H àm :
W=:(ÌZ
Với li là sỏ' thưc, ta cỏ:
vv = ộ + /'(p = u.x+iưy
.
Vậy ho các đường dòng là các đường song song với trục X
với trục y:
<Ị)- a x —const.
Vận tốc trong tồn bộ dòng: y=a không đổi và hướng theo trục V.
v = a .v y=0.
Ta gọi thế phức trên là thế phức cùa dòng tịnh tiến. Trong
trường hợp a là m ột số phức thì bức tranh cũng khơng thay đổi
n h ư n g v ậ n tố c V sẽ h ợ p với trục X m ộ t g ó c n à o đó.
w ^az2
2. Hàm :
với a là số thực. T a c ó đường họ đòng:(p = 2XV = const là các đường
hypebơn có các đường tiệm cận là các trục toạ độ. Các đường dẳng
thế:<|> = a ịx2 - y 2)= <'Ơ/Ji7cũng là các đường hypebôn nhưng các
trục toạ độ là trục đối xứng.
V ận tốc phức:
dw
— = 2az.
dz
Vì có thể lấy các dường dòng làm biên rắn của chất lòng và vì
các trục toạ độ x=0, y=() cũng là các đường dòng
kết luận chuyển động đừng khơng xốy bên trong góc vng lìk có
thể xảy ra vé mặt động học.
3. Hàm :
w=ũ
Ta có họ các đường dòng:
cp =
V
— - - const = c
x + y
h a y X 2 + y 2 - - = 0 là c á c đ ư ờ n g trò n tiế p x ú c với trục X tại g ố c toạ
c
đ ộ còn họ các đường đẳng thế (Ị) = —5 -^— - = const cũng là các
A+V
đường tròn tiếp xúc với trục y tại gốc toạ độ.
,
,
Vận tốc phức
dw
-Ị
— = —J
d z
86
z
V i thế độ lớn cua vận tốc sẽ không hĩru hạn tại gốc toạ độ. Do
dỏ dế L'ó thê áp dụng được các cơng thức trên cần phái bó gốc toạ
đò băng cách hao quanh nó một đường cong kín. Tronc trường hợp
này gốc toa dộ là một điểm kỳ dị cứa thè phức (gọi là một điểm
cực).
w=inz
4. Hàm:
Nếu biểu diễn: I = / (< Ớ.V0 + isinQ) = rclf) thì họ các đường dòng
là các tia thẳng xuất phát từ gốc toạ độ: 0 - const còn họ các đường
đẳng thế là các đường tròn đồng tâm với tâm là gốc toạ độ. Vận tốc
phức:
dw _ I
dz
z
Như vây írong trường hợp này gốc toạ độ là một điểm kỳ dị
lògarii cùa thế phức và một điểm cực đơn đối vận tốc phức.
4.3.4. Diem nguồn và điểm hút
Ọua một sơ' ví dụ trên ta thấy có thể có trường hợp về chuyển
đong phắng khơng xốy ờ dó Irường vận tốc liên tục và giới nội
khắp nơi trừ một số hữu hạn điểm cô lập.
Chẳng hạn xét thế phức lơgarit. Trong trường hợp này các đường
dòng là các đường thảng bắt đẩu phân kỳ từ gốc toạ độ cho nên có
thể hình dung rang có một lượng chất lỏng m nào đó chảy ra từ gốc
loạ độ nếu ni dương. Trong trường hợp m âm thì Urọmg chất lỏng bị
hut vào điểm gốc toạ độ, điểm như vậy người ta gọi là điểm hút.
Già sừ trong mặt phang có một điểm nguồn cơ lập tại gốc toạ
dí* với cơng suất >11. Do tính đơi xứng cùa trường vân tốc trên một
đường tròn c bán kính J tâm ờ gốc toạ độ nên thông lượng chất
lỏng không nén được chảy qua đường tròn c trong mỗi giây sẽ là:
Hì = c f v lia = í f i ’ íỉs =
ĩ
ỉ
f—
1*
rcẨB - 2 n r —
*
= > (Ị) = — - In r
2n
87
và từ điều kiên Cauchv-Riemann ta tìm dươc :
Do đó thế phức sẽ là :
m
2n
ìnz.
( 4 .3 .4 . ])
Nếu ưong mặt phẳng có n điểm nguồn tại các điểm cô lập ư,
với công suất m, tương ứng thì thế phức cùa dòng do chúng tạo liên
sẽ l à :
(4 .34 .2)
Có thể mở rộng cơng thức (4.3.4.2) cho sự phàn bố liên tục
của điểm nguồn trên một đường nào đó, chẳng hạn trên đoạn
(4 .3 )
= —- [(z + a)ln(z + a ) - { z ~ í/)/«(z - a)~ 2a\
2n
tro n g đ ó k là c ô n g suất c h u n g c h o c á c đ iể m nguồn trê n m ộ t đơn vị
đô dài.
4.3.5. Lưỡng cực - Điểm xoáy
a) Lưỡng cực
M ộ t đ iểm n g u ồ n và m ộ t điểm hút c ó cơ n g suất m v à -ni đ ặt
cách nhau một khoảng vô cùng bé d s được gọi là một lưỡng cực.
G ọ i đại lượng: M - n u ì s là m ố m en c ủ a lưỡng cực, ta có thể xác
định được thế phức của dòng do lưỡng cực tạo ra là:
w (2) =
88
( 4 3 . 5 . 1 )
2nz
b) tìiém xốy
Nếu rhay đổi vai trò cùa hàm dòng và hàm thê trong thế phức
cùa điếm nguồn (4.3.4.1) thì ta được một thơ' phức dạng:
(4.3.5.2)
Từ (4.3.5.2) ta tìm được hàm thế:
ộ = ~— e .
(4.3.5.3)
2k
Biểu thức (4.3.5.3) chứng tỏ khõng thể xem thế vận tốc là hàm
dcm trị, vì khi đi vòng quanh gốc toạ độ theo một đường cong kín
thì giá trị cùa thế thay đổi một lượng là ± m .
Đối với hàm dòng la có:
(4.3.5.4)
2 tc
Vậy họ các đường d òn g là các đường tròn đồng tâm với tâm tại
gốc toạ độ. Trong trường hợp này chuyển động sẽ là khơng xốy
khắp nơi trừ gốc toạ độ. Ta gọi thế phức (4.3.5.2) là thế phức của
điểm xoáy đật tại gốc toạ độ. Giá trị cùa lưu số vận tốc p khi tính
trên một đường cong đóng bất kỳ bao gốc toạ đơ sẽ là: r = - m và
được gọi là cường độ của điểm xoáy. Vậy điểm xoáy tại gốc toạ độ
sẽ gãy nên một chuyển động phẳng có thế phức:
(4.3.5.5)
Trong trường hợp diểm xốy đặt tại điểm z-ư thì thế phức sẽ là:
w (z)= - í—ln { z - à ) .
271/
(4.3.5.6)
c) Dòng bao quanh hình trụ
Trong phẩn này ta xét chuyển động cùa một cơ' thể trong một
thể tích lỏng vơ hạn về mọi phía n tĩnh ờ vơ cùng. Cố thể chuyển
89
